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第4讲直线、平面垂直的判定与性质考纲展示命题探究1直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(2)图形语言：如图1所示(3)符号语言：a，b，abP，la，lbl.2直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言：如图2所示符号语言：a，bab.3直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0角因此，直线与平面所成的角的范围是0，904二面角(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2)二面角的平面角：如下图，在二面角l的棱l上任取一点P，以点P为垂足，在半平面，内分别作垂直于棱l的射线PA和PB，则射线PA和PB构成的APB叫做二面角l的平面角二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度我们约定，二面角的取值范围是0，180平面角是直角的二面角叫做直二面角(3)找二面角的平面角的方法垂面法：由二面角的平面角的定义知，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的夹角即二面角的平面角5平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言：如下图所示符号语言：AB，AB.6平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直图形语言：如下图所示符号语言：，CD，AB，ABCDAB.注意点斜线在平面上的射影的理解斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段.1思维辨析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(2)若直线a平面，直线b，则直线a与b垂直()(3)直线a，b，则ab.()(4)若，aa.()(5)a，a.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2正方体ABCDABCD中，E为AC的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCAD DAA答案B解析连接BD，BDAC，BDCC， 且ACCCC，BD平面CCE.而CE平面CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.3m，n是空间中两条不同直线，、是两个不同平面，下面有四个命题：m，n，mn；mn，mn；mn，mn；m，mn，n.其中，所有真命题的编号是_答案解析中，由n，得n或n，又m，mn，故正确；中，也可能n，故错误；中，直线n也可能与平面斜交或平行，也可能在平面内，故错；中，由mn，m，可得n，又可得n，故正确考法综述本考点在高考中多次出现，考题模式主要有三类：直线与平面垂直的判定与证明；利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直；利用定义求直线与平面所成的角和二面角命题法1证明线、面垂直问题典例1(1)设l是直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l(2)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD.E和F分别是CD和PC的中点求证：PA底面ABCD；BE平面PAD；平面BEF平面PCD.解析(1)对于A，若l，l，则，可能相交；对于B，若l，则平面内必存在一直线m与l平行，则m，又m，故.选项C，l可能平行于或l在平面内；选项D，l还可能平行于或在平面内(2)证明：因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.因为ABAD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.又因为CD面PCD.所以平面BEF平面PCD.答案(1)B(2)见解析【解题法】线面垂直、面面垂直的证法及三种垂直关系的转化(1)线面垂直的证法利用线面垂直的判定定理利用“两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”利用面面垂直的性质定理(2)面面垂直的证法用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题(3)垂直问题的转化关系命题法2求线面角、二面角典例2已知ABC和DBC所在的平面互相垂直，且ABBCBD，CBADBC120，求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)二面角ABDC的余弦值解(1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，交CB的延长线于H，连接DH，则AH平面DBC，所以ADH即直线AD与平面BCD所成的角，由题设知AHBDHB，所以AHDH，ADH45，所以直线AD与平面BCD所成的角为45.(2)过H作HRBD，垂足为R，连接AR，因为AH平面BCD，所以AHBD，AHHRH，所以BD平面AHR，所以BDAR.故ARH为二面角ABDC的平面角的补角，设BCa，则由题设知，AHa，BH.在RtHDB中，HRa，在RtAHR中，ARa，从而cosARH，故二面角ABDC的余弦值为.【解题法】线面角、二面角的求法(1)用几何法求空间角的三个步骤找：即找出相关的角证：即证明找出的角即为所求的角计算：即通过解三角形的方法求出所求角(2)空间角的找法线面角找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足二面角二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：a.定义法；b.垂面法其中定义法是最常用的方法1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析由l1l2，l2l3可知l1与l3的位置不确定，若l1l3，则结合l3l4，得l1l4，所以排除选项B、C，若l1l3，则结合l3l4，知l1与l4可能不垂直，所以排除选项A.故选D.2如下图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值解(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE.由CE2，CDDE，得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE.如下图，过D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2.由ACB得DFAC，故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，(1，1,0)，(1，1,3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1,0)，从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角APDC的余弦值为.3如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O为EF的中点(1)求证：AOBE；(2)求二面角FAEB的余弦值；(3)若BE平面AOC，求a的值解(1)证明：因为AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB，又OG平面EFCB，所以OAOG.如右图建立空间直角坐标系Oxyz，则E(a,0,0)，A(0,0，a)，B(2，(2a)，0)，(a,0，a)，(a2，(a2)，0)设平面AEB的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则x，y1.于是n(，1,1)平面AEF的法向量为p(0,1,0)所以cosn，p.由题知二面角FAEB为钝角，所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC，所以BEOC，即0.因为(a2，(a2)，0)，(2，(2a)，0)，所以2(a2)3(a2)2.由0及0a2，解得a.4如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解(1)证明：在图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图2中，BEOA1，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC.如下图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则得取n1(1,1,1)；得取n2(0,1,1)，从而cos|cosn1，n2|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.5九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE.(1)证明：PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值解(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.(2)如图，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线由(1)知，PB平面DEF，所以PBDG.又因为PD底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD，在RtPDB中，由DFPB，得DPFFDB，则tantanDPF，解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，.6.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2，AD1，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解(1)证明：因为DAB60，AB2AD2，由余弦定理得BD.从而BD2AD2AB2，BDAD.PD平面ABCD，BD平面ABCD，PDBD.又ADPDD，所以BD平面PAD，所以PABD.(2)如图，以D为坐标原点，DA，DB，DP分别为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)，(1，0)，(0，1)，(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此，令y1，则n(，1，)设平面PBC的法向量为m(x0，y0，z0)，则即可取m(0,1，)，则cosm，n，由图知二面角APBC为钝角，故二面角APBC的余弦值为.7如图，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，DPC30，AFPC于点F，FECD，交PD于点E.(1)证明：CF平面ADF；(2)求二面角DAFE的余弦值解(1)证明：PD平面ABCD，PDAD，又CDAD，PDCDD，AD平面PCD，ADPC，又AFPC，AFADA，PC平面ADF，即CF平面ADF.(2)设AB1，则RtPDC中，CD1，DPC30，PC2，PD，由(1)知CFDF，DF， CF，又FECD，DE，同理，EF，如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1)，E，F，P(，0,0)，C(0,1,0)设m(x，y，z)是平面AEF的法向量，则又令x4，得z，故m(4,0，)，由(1)知平面ADF的一个法向量为(，1,0)，设二面角DAFE的平面角为，可知为锐角，cos|cosm，|，故二面角DAFE的余弦值为.8.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACBC2，ACBC，点S是AA1延长线上一点，EF是平面SBC与平面A1B1C1的交线(1)求证：EFAC1；(2)求直线A1C与平面A1ABB1所成角的正弦值解(1)证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面A1B1C1，又平面ABC平面SBCBC，平面A1B1C1平面SBCEF，EFBC.平面AA1C1C平面ABC，且ACBC，BC平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，BCAC1，EFAC1.(2)取A1C1的中点D1，连CD1，AA1A1CAC2，CC1A1CA1C12，CD1A1C1.由(1)知BC平面ACC1A1.以点C为原点，CA，CB、CD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,2,0)，C(0,0,0)，A1(1,0，)，A(2,0,0)(1,0，)设平面A1ABB1的法向量为n，则nn0，而(1,0，)，(2,2,0)，可求得平面A1ABB1的一个法向量为n(3,3，)，|cos，n|.故直线A1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面ACD1.错解错因分析面面垂直的性质定理是：如果两个平面互相垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面错解忽略了“垂直于交线”这个条件导致错误正解连接B1D，A1D，在B1BD中，E，O分别是B1B和DB的中点，OEB1D.A1B1平面AA1D1D，A1B1AD1，又AD1A1D，AD1平面A1B1D，AD1B1D.同理可证B1DCD1.又AD1CD1D1，AD1，CD1平面ACD1，B1D平面ACD1.B1DOE，OE平面ACD1.心得体会时间：45分钟基础组1.2016冀州中学猜题设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()Am，n，且，则mnBm，n，且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则答案B解析对于A，m，n的位置关系应该是平行、相交或异面，故A不正确；对于B，由面面垂直及线面垂直的性质知，mn，故B正确；对于C，与还可以平行或相交，故C不正确；对于D，与还可以相交，所以D不正确故选B.22016武邑中学仿真已知不同直线m、n及不重合平面、给出下列结论：m，n，mnm，n，mnm，n，mnm，n，mn其中的假命题有()A1个 B2个C3个 D4个答案C解析为假命题，m不一定与平面垂直，所以平面与不一定垂直命题与为假命题，中两平面可以相交，与可能相交只有是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补32016衡水中学模拟设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当l时，lm且ln.但当lm，ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l.即l是lm且ln的充分不必要条件故选A.42016冀州中学期中已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m Bmn，且nC，且m Dmn，且n答案B解析根据定理、性质、结论逐个判断因为，m，则m，的位置关系不确定，可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误52016衡水中学仿真设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出.62016枣强中学预测PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是()平面PAB平面PBC；平面PAB平面PAD；平面PAB平面PCD；平面PAB平面PAC.A BC D答案A解析易证BC平面PAB，则平面PAB平面PBC.又ADBC，故AD平面PAB，则平面PAD平面PAB.72016冀州中学一轮检测如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(答案不唯一)解析由定理可知，BDPC.当DMPC时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.82016武邑中学一轮检测已知a、b、l表示三条不同的直线，、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若a，b，且ab，则；若a、b相交，且都在、外，a，a，b，b，则；若，a，b，ab，则b；若a，b，la，lb，l，则l.其中正确命题的序号是_答案解析在正方体A1B1C1D1ABCD中，令平面A1B1CD为，平面DCC1D1为，平面A1B1C1D1为，又平面A1B1CD平面DCC1D1CD，平面A1B1C1D1平面DCC1D1C1D1，则CD与C1D1所在的直线分别表示a，b，CDC1D1，但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行，即与不平行，故错误因为a、b相交，假设其确定的平面为，根据a，b，可得.同理可得，因此， 故正确如果两平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线和另一个平面垂直，故正确当ab时，l垂直于平面内两条不相交直线，不能得出l，故错误92016武邑中学月考如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)证明：PD平面ABE；(3)求二面角APDC的正切值的大小证明(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD，ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE，(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，E是PC的中点，AEPC，由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD，PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，ABPD，又ABAEA，综上可得PD平面ABE.(3)解法一：过点A作AMPD，垂足为M，连接EM，则由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，得CAD30.设ACa.可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME，tanAME.解法二：由题设PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ACD，交线为AD，过点C作CFAD，垂足为F，故CF平面PAD，过点F作FMPD，垂足为M，连接CM，故CMPD，因此CMF是二面角APDC的平面角，由已知，可得CAD30，设ACa，可得PAa，ADa，PDa，CFa，FDa.FMDPAD，.于是，FMa，在RtCFM中，tanCMF.102016衡水中学热身如图，已知ABCD是正方形，直线AE平面ABCD，且ABAE1.(1)求二面角ACED的大小；(2)设P为棱DE的中点，在ABE的内部或边上是否存在一点H，使PH平面ACE，若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由解(1)如图，连接BD交AC于O，则DO平面ACE，作OMCE于M，连接DM，则OMD就是二面角ACED的平面角sinOMD，OMD60，二面角ACED为60.(2)如图，存在BE的中点H，使PH平面ACE.PH是BDE的中位线，则PHBD，而BD平面ACE，故PH平面ACE.112016武邑中学模拟如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值解(1)证明：由条件知四边形PDAQ为直角梯形，因为QA平面ABCD，QA平面PDAQ，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，DCAD，所以DC平面PDAQ，又PQ平面PDAQ，所以PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DCQDD，所以PQ平面DCQ.(2)设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.122016枣强中学一轮检测如图，在三棱锥PABC中，PAPBPCAC4，ABBC2.(1)求证：平面ABC平面APC；(2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值解(1)证明：如图所示，取AC中点O，连接OP，OB.PAPCAC4，OPAC，且PO4sin602.BABC2，BA2BC216AC2，且BOAC，BO2.PB4，OP2OB212416PB2，OPOB.ACOBO，OP平面ABC.OP平面PAC，平面ABC平面APC.(2)设直线PA与平面PBC所成角的大小为，A到平面PBC的距离为d，则sin.PBPC4，BC2，SPBCBC22.由(1)知，VPABCSABCPO，又VAPBCVPABC，2d，d，sin，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为.能力组13.2016衡水中学周测已知平面与平面相交，直线m，则()A内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案C解析如图，在平面内的直线若与，的交线a平行，则有m与之垂直但却不一定在内有与m平行的直线，只有当时才存在142016冀州中学月考如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，AC1A1B，M，N分别为A1B1，AB的中点，给出下列结论：C1M平面A1ABB1；A1BAM；平面AMC1平面CNB1.其中正确结论的个数为()A0 B1C2 D3答案D解析由于ABCA1B1C1为直三棱柱，所以A1AC1M.由B1C1A1C1，M为A1B1的中点，得C1MA1B1.又AA1A1B1A1，所以C1M平面A1ABB1，所以正确因为C1M平面A1ABB1，所以C1MA1B.又AC1A1B，C1MAC1C1，所以A1B平面AMC1，所以AMA1B，所以正确由AMB1N，C1MCN，可得平面AMC1平面CNB1，所以正确故正确结论共有3个152016武邑中学周测如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点(1)求证：PA平面MBD；(2)求二面角PBDA的余弦值；(3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN平面PQB，若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由解(1)证明：连接AC交BD于点O，连接MO，由正方形ABCD知O为AC的中点，M为PC的中点，MOPA，MO平面MBD，PA平面MBD，PA平面MBD.(2)取OD中点G，连接QG，PG，则QGAC，又由四边形ABCD是正方形得ACBD，QGBD.又平面ABCD平面PAD，PAD为正三角形，Q为AD中点，PQ平面ABCD，而BD平面ABCD，PQBD，BD平面PQG，BDPG.PGQ即为二面角PBDA的平面角由题意可得，QG，PQ2，PG，cosPGQ.(3)存在点N，当N为AB中点时，平面PQBPCN.四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，BQNC，由(2)知，PQ平面ABCD，NC平面ABCD，PQNC，又BQPQQ，NC平面PQB，NC平面PCN，平面PCN平面PQB.162016衡水中学月考如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2AD2，BD，PD底面ABCD.(1)证明：平面PBC平面PBD；(2)若二面角PBCD为，求AP与平面PBC所成角的正弦值解(1)证明：CD2BC2BD2，BCBD.又PD底面ABCD，PDBC.又PDBDD，BC平面PBD.而BC平面PBC，平面PBC平面PBD.(2)由(1)所证，BC平面PBD，PBD即为二面角PBCD的平面角，即PBD.BD，PD1.分别以DA，DB，DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1,0,1)，(1,0,0)，(0，1)设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即可解得平面PBC的一个法向量为n(0,1，)，AP与平面PBC所成角的正弦值为sin.
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