第13篇 第2节 参数方程

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第十三篇第2节 一、填空题1(2013年高考广东卷)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_解析:曲线C的参数方程为(t为参数),其普通方程为x2y22.又点(1,1)在曲线C上,切线l的斜率k1.设其方程为xym0(m<0),由知m2.故l的方程为xy20,将代入l的直角坐标方程得其极坐标方程为cos sin 2,即sin.答案:sin2(2013年高考陕西卷)如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆x2y2x0的参数方程为_解析:设圆上任一点P(x,y)(x0),则yxtan ,由x2y2x0得,x2x2tan2x0,xcos2,则yxtan cos2tan sin cos ,又时,x0,y0也适合题意,故参数方程为(为参数)答案:(为参数)3(2014陕西师大附中高三第四次模拟)直线l1:(t为参数)与圆C2:(为参数)的位置关系是_解析:直线l1的普通方程为xsin ycos sin 0,圆C2的普通方程为x2y21,圆心到直线的距离为d<1,因此直线l1与圆C2相交答案:相交4(2013年高考江西卷)设曲线C的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为_解析:(1)由参数方程得曲线在直角坐标系下的方程为yx2.由公式得曲线C的极坐标方程为cos2sin .答案:cos2sin 5(2012年高考北京卷)直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_解析:由已知得直线的普通方程为xy10,曲线的普通方程为x2y29,表示以原点为圆心,半径为3的圆,而直线xy10过点(1,0),且点(1,0)显然在圆x2y29内,直线与曲线一定有2个交点答案:26(2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a_.解析:曲线C1的普通方程为2xy3,与x轴的交点为;曲线C2的普通方程为1,与x轴的交点为(a,0)和(a,0),由题意可得a.答案:7已知抛物线C1的参数方程为(t为参数),圆C2的极坐标方程为r(r>0),若斜率为1的直线经过抛物线C1的焦点,且与圆C2相切,则r_.解析:抛物线C1的普通方程为y28x,其焦点坐标是(2,0),过该点且斜率为1的直线方程是yx2,即xy20.圆r的圆心是极点、半径为r,直线xy20与该圆相切,则r.答案:8(2014深圳市期末检测)已知曲线C的极坐标方程为6sin ,直线l的参数方程为(t为参数),则直线l与曲线C相交所得弦长为_解析:曲线C的直角坐标方程为x2y26y,即x2(y3)29,圆心C(0,3),半径r3.直线l的普通方程为x2y10.所以点C到l的距离d.故所求弦长为224.答案:49(2014湖南十二校联考)设极点与坐标原点重合,极轴与x轴正半轴重合,已知直线l的极坐标方程为sina,aR.圆C的参数方程是(为参数),若圆C关于直线l对称,则a_.解析:圆C的圆心坐标为(2,2),其极坐标为,由题意知点在直线l上,于是4sina,即a2.答案:210(2013年高考湖北卷)在直角坐标系xOy中,椭圆C的参数方程为(为参数,ab0)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l与圆O的极坐标方程分别为sinm(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点,且与圆O相切,则椭圆C的离心率为_解析:将椭圆C的参数方程(为参数,a>b>0)化为普通方程为1(a>b>0)又直线l的极坐标方程为sinm(m为非零常数),即m,则该直线的直角坐标方程为yxm0.圆的极坐标方程为b,其直角坐标方程为x2y2b2.直线与圆O相切,b,|m|b.又直线l经过椭圆C的焦点,|m|c.cb,c22b2.a2b2c23b2,e2.e.答案:二、解答题11(2013年高考新课标全国卷)已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t与t2(02),M为PQ的中点(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点解:(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos cos 2,sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数,02)(2)M点到坐标原点的距离d(02)当时,d0,故M的轨迹过坐标原点12(2013年高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1,直线C2的极坐标方程分别为4sin ,cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数),求a,b的值解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24,直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为,.(注:极坐标系下点的表示不唯一)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20,由直线PQ的参数方程可得yx1.所以解得a1,b2.
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