【走向高考】全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题11 空间几何体含解析

【走向高考】（全国通用）2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题11 空间几何体一、选择题1(2015·河北衡水中学三调) 如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A8 cmB6 cmC2(1) cmD2(1) cm答案A解析 由直观图得，原图形是如图所示的平行四边形OABC，其中AOOB，可得OA1，OB2OB2，故AB3，原图形的周长为：2×(31)8.方法点拨空间几何体的直观图画法规则空间几何体直观图的画法常采用斜二测画法用斜二测画法画平面图形的直观图规则为“轴夹角45°(或135°)，平行长不变，垂直长减半”2(文)某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于()A1B2C3D4答案B解析由三视图知，该几何体底面是正方形，对角线长为2，故边长为，几何体是四棱锥，有一条侧棱与底面垂直，其直观图如图，由条件知PC，AC2，PA3，体积V×()2×32.(理)(2014·新乡、许昌、平顶山调研)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ACBC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是()AAD平面PBC，且三棱锥DABC的体积为BBD平面PAC，且三棱锥DABC的体积为CAD平面PBC，且三棱锥DABC的体积为DAD平面PAC，且三棱锥DABC的体积为答案C解析PA平面ABC，PABC，又ACBC，PAACA，BC平面PAC，又AD平面PAC，BCAD，由正视图可知，ADPC，又PCBCC，AD平面PBC，且VDABCVPABC××4×(×4×4).方法点拨1.空间几何体的三视图画法规则三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对正、高平齐、宽相等”2识读三视图时，要特别注意观察者的方位与三视图的对应关系和虚实线3(文)(2015·洛阳市期末)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是()A. B.C D.答案C解析由三视图知，该几何体是一个球切去后所得的几何体，故其体积为：V××13，选C.(理)(2015·河南八市质检)已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的外接球的表面积为()A4B12C2D4答案B解析根据三视图可知该几何体是一个四棱锥D1ABCD，它是由正方体ABCDA1B1C1D1切割出来的，所以外接球的直径2RBD12，所以R，所以S4R212.方法点拨在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状4(2015·唐山市一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C8D8答案C解析由三视图知原几何体是棱长为2的正方体中挖掉一个圆锥，VV正方体V圆锥2×2×2×(×12)×28.方法点拨1.求几何体的表面积与体积问题，熟记公式是关键，应多角度全方位的考虑(1)给出几何体的形状、几何量求体积或表面积，直接套用公式(2)用三视图给出几何体，先依据三视图规则想象几何体的形状特征，必要时画出直观图，找出其几何量代入相应公式计算(3)用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积或表面积(4)求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法2涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系3若球面上四点P、A、B、C构成的线段PA、PB、PC两两垂直，一般先将四棱锥PABCD补成球的内接长方体，利用4R2PA2PB2PC2解决问题5(文)(2015·山东文，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B.C2D4答案B解析考查1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积由题意知，该等腰直角三角形的斜边长为2，斜边上的高为，所得旋转体为同底等高的两个全等圆锥，所以，其体积为2××()2×，故选B.(理)(2015·山东理，7)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周所形成的曲面围成的几何体的体积为()A. B.C.D2答案C解析梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成的曲面围成的几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥所得的组合体；所以该组合体的体积为VV圆柱V圆锥×12×2×12×12.故选C.6(文)(2014·安徽理，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为()A21B18C21D18答案A解析如图，还原直观图为棱长为2的正方体截去两个角，其6个面都被截去了一个直角边长为1的等腰直角三角形，表面增加了两个边长为的正三角形，故其表面积S6×(2×2×1×1)×()2×221.(理)一个半径为1的球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为()A. B.C4 D.答案D解析由三视图知该几何体是一个球体，保留了下半球，上半球分为四份，去掉了对顶的两份，故表面积为球的表面积，去掉球表面积加上6个的圆面积S4R2(4R2)6×R2R2，又R1，S.方法点拨注意复合体的表面积计算，特别是一个几何体切割去一部分后剩余部分的表面积计算要弄清增加和减少的部分7(文)(2015·福建文，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A82B112C142D15答案B解析考查三视图和表面积由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底长分别为1,2，直角腰长为1，斜腰为.底面积为2××33，侧面积为224282，所以该几何体的表面积为112，故选B.(理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A1616B88C168 D.答案A解析由三视图可知，几何体为圆柱中挖去一个正四棱柱，所以体积V×22×42×2×41616.8(文)已知一个三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图面积为()A. B.C1 D.答案B解析由题意知，此三棱锥的底面为有一个角为30°的直角三角形，其斜边长AC2，一个侧面DAC为等腰直角三角形，DE1，BF，其侧视图为直角三角形，其两直角边与DE、BF的长度相等，面积S×1×.(理)某几何体的三视图(单位：m)如图所示，则其表面积为()A(9632)m2B(6432)m2C(1141616)m2D(801616)m2答案D解析由三视图知该几何体是一个组合体，中间是一个棱长为4的正方体(由正、侧视图中间部分和俯视图知)，上部是一个有一条侧棱与底面垂直的四棱锥，下部是一个正四棱锥，表面积S2(×4×4×4×)4×424×(×4×2)801616(m2)二、填空题9(文)某几何体的三视图如图所示，则其体积为_答案解析由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为2的半个圆锥V×(×12×2).(理)(2014·天津文，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.答案解析本题考查三视图及简单几何体的体积计算，考查空间想象能力和简单的计算能力由三视图知，该几何体下面是圆柱、上面是圆锥V×12×4×22×2.10(文)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为_答案48解析由三视图知，该几何体是一个组合体，其上部为长方体，下部为横放的四棱柱，其底面是上底长2，下底长6，高为2的等腰梯形，柱高为4，其体积V2×4×2(26)×2×448.(理)某几何体的三视图(单位：cm)如下图，则这个几何体的表面积为_cm2.答案122解析由三视图知，该几何体为正三棱柱，底面积S12×(×2×)2，侧面积S23×(2×2)12，表面积SS1S2122cm2.三、解答题11(文)(2015·北京文，18)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积分析本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得OMVB，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC中得到OCAB，再利用面面垂直的性质得OC平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用VCVABVVABC，先求出三角形VAB的面积，由于OC平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可解析(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，平面VAB平面ABCAB所以OC平面VAB.又因为OC平面MOC所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于×OC×SVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.(理)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.解析(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE.所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF，又因为CDBE，BEEFE，所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCD.12(文)在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求证：AC平面FBC；(2)求四面体FBCD的体积；(3)线段AC上是否存在点M，使得EA平面FDM？证明你的结论解析(1)证明：在ABC中，AC，AB2，BC1，ACBC.又ACFB，AC平面FBC.(2)解：AC平面FBC，ACFC.CDFC，FC平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得BCD120°，CBDC1，FC1.SBCD，四面体FBCD的体积为：VFBCDSBCD·FC.(3)线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA平面FDM，证明如下：连接CE，与DF交于点N，连接MN.因为CDEF为正方形，所以N为CE中点所以EAMN.因为MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M，使得EA平面FDM成立(理)如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大小；(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值解析解法一：(1)设AB1与A1B相交于点P，则P为AB1中点，连接PD，D为AC中点，PDB1C.又PD平面A1BD，B1C平面A1BD.B1C平面A1BD.(2)正三棱柱ABCA1B1C1，AA1底面ABC.又 BDAC，A1DBDA1DA就是二面角A1BDA的平面角AA1，ADAC1，tanA1DA.A1DA，即二面角A1BDA的大小是.(3)由(2)作AMA1D，M为垂足BDAC，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BD平面A1ACC1，AM平面A1ACC1，BDAM，A1DBDD，AM平面A1DB，连接MP，则APM就是直线AB1与平面A1BD所成的角AA1，AD1，在RtAA1D中，A1DA，AM1×sin60°，APAB1.sinAPM.直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为.解法二：(1)同解法一(2)如图建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，)，B(0，0)，B1(0，)，(1，)，(1,0，)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)则n·xyz0，n·xz0，则有，得n(，0,1)由题意，知(0,0，)是平面ABD的一个法向量设n与所成角为，则cos，.二面角A1BDA的大小是.(3)由已知，得(1，)，n(，0,1)，设直线AB1与平面A1BD所成角为，则sin.直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为.13(文)(2015·郑州市质检)如图，已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90°，点M，N分别为AB和BC的中点(1)证明：MN平面AACC；(2)设ABAA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论解析(1)取AB的中点E，连接ME，NE，因为M，N分别为AB和BC的中点，所以NEAC，MEAA又因为AC平面AACC，AA平面AACC，所以ME平面AACC，NE平面AACC，所以平面MNE平面AACC，因为MN平面EMN，所以MN平面AACC；(2)连接BN，设AAa，则ABAAa，由题意知BCa，NCBN，因为三棱柱ABCABC侧棱垂直于底面，所以ABC平面BBCC，因为ABAC，点N是BC的中点，所以AN平面BBCC，CNAN，要使CN平面AMN，只需CNNB即可，所以CN2NB2BC2，即222a2，则时，CN平面AMN.(理)(2015·天津文，17)如图，已知AA1平面ABC，BB1AA1，ABAC3，BC2，AA1，BB12，点E和F分别为BC和A1C的中点(1)求证：EF平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小分析考查1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角(1)要证明EF平面A1B1BA，需在平面A1B1BA内找到一条直线与EF平行，结合条件用中位线定理先证线线平行，再用判定定理证明；(2)先证明线面垂直，再利用面面垂直的判定定理证明；(3)先结合上面证明过程和题设条件找出线面角，再利用斜三角形知识求解；也可利用图形特征，建立坐标系用空间向量求解解析(1)如图，连接A1B，在A1BC中，因为E和F分别是BC，A1C的中点，所以EFBA1，又因为EF平面A1B1BA，所以EF平面A1B1BA.(2)因为ABAC，E为BC中点，所以AEBC，因为AA1平面ABC，BB1AA1，所以BB1平面ABC，从而BB1AE，又BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因为AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，因为N和E分别为B1C、BC的中点，所以NEBB1，NEBB1，故NEAA1，NEAA1，所以A1NAE，A1NAE.又因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，从而A1B1N就是直线A1B1与平面BCB1所成角，在ABC中，可得AE2，所以A1NAE2，因为BMAA1，BMAA1，所以A1MAB，A1MAB，又由ABBB1，有A1MBB1.在RtA1MB1中，可得A1B14，在RtA1NB1中，sinA1B1N，因此A1B1N30°，所以，直线A1B1与平面BCB1所成角为30°.14(文)(2015·陕西文，18)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC, BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.图1图2(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值分析考查1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空间几何体的体积(1)利用转化思想及BECD，先证BE平面A1OC.(2)利用平面A1BE平面BCDE找出棱锥的高，利用方程思想和棱锥的体积公式，列出关于a的方程求解解析(1)在题图1中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，故在题图2中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC；(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE， 又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高，由题图1可知，A1OABa，平行四边形BCDE面积SBC·ABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为V×S×A1O×a2×aa3，由a336，得a6.(理)(2015·四川理，18)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)证明：直线MN平面BDH；(3)求二面角AEGM的余弦值分析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、二面角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力(1)注意ABCD是底面，将平面展开图还原可得点F、G、H的位置. (2)根据直线与平面平行的判定定理，应考虑证明MN平行于平面BDH内的一条直线连接O、M，易得MNHO是平行四边形，从而MNOH，进而证得MN平面BDH.(3)求二面角的方法一是几何法，要作出二面角AEGM的平面角，首先要过M作平面AEGC的垂线，然后再过垂足作棱EG的垂线，再将垂足与点M连接，即可得二面角AEGM的平面角二是向量法，由于几何体是特殊的正方体，便于建立坐标系，故可转化为两向量夹角求解解析(1)点F、G、H的位置如图所示(2)连接BD，设O为BD的中点因为M、N分别是BC、GH的中点，所以OMCD，且OMCD，NHCD，且NHCD，所以OMNH，OMNH，所以MNHO是平行四边形，从而MNOH，又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(3)连接AC，过M作MPAC于P. 在正方体ABCDEFGH中，ACEG，所以MPEG.过P作PKEG于K，连接KM，所以EG平面PKM，从而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角设AD2，则CM1，PK2，在RtCMP中，PMCMsin 45°.在RtKMP中，KM.所以cosPKM.即二面角AEGM的余弦值为.(另外，也可利用空间坐标系求解)方法点拨1.折叠问题中，要画出折叠前的平面图形与折叠后的直观图，对比找出其位置关系和数量关系弄清其不变量和变化量及折叠前后的垂直性与平行性是关键2立体几何中的存在型问题，主要题型是，是否存在点P，使点P满足某种要求(如线线平行或垂直、线面平行或垂直等).