人教版 高中数学【选修 21】习题：第二章2.32.3.2第1课时双曲线的简单几何性质

20192019 年编人教版高中数学年编人教版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 2.3 双曲线双曲线 2.3.2 2.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 第第 1 1 课时课时 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 A A 级级 基础巩固基础巩固 一、选择题一、选择题 1 1已知定点已知定点A A，B B，且且| |ABAB| |4 4，动点动点P P满足满足| |PAPA| | |PBPB| |3 3，则则| |PAPA| |的最小值为的最小值为( ( ) ) A.A.1 12 2 B.B.3 32 2 C.C.7 72 2 D D5 5 解析：如图所示解析：如图所示，点点P P的轨迹是以的轨迹是以A A，B B为焦点的双曲线的右支为焦点的双曲线的右支，当点当点P P与双曲线右支顶与双曲线右支顶点点M M重合时重合时，| |PAPA| |最小最小，最小值为最小值为a ac c3 32 22 27 72 2. . 答案：答案：C C 2 2已知双曲线已知双曲线C C：x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1 的焦距为的焦距为 1010，点点P P(2(2，1 1) )在在C C的渐近线上的渐近线上，则椭圆则椭圆C C的方程的方程为为( ( ) ) A.A.x x2 22020y y2 25 51 1 B.B.x x2 25 5y y2 220201 1 C.C.x x2 28080y y2 220201 1 D.D.x x2 22020y y2 280801 1 解析：双曲线解析：双曲线C C的渐近线方程为的渐近线方程为x x2 2a a2 2y y2 2b b2 20 0 及点及点P P(2(2，1 1) )在渐近线上在渐近线上，所以所以4 4a a2 21 1b b2 20 0， 即即a a2 24 4b b2 2， 又又a a2 2b b2 2c c2 22525， 解解得得b b2 25 5，a a2 22020，故选故选 A.A. 答案：答案：A A 3 3双曲线双曲线 3 3x x2 2y y2 23 3 的渐近线方程是的渐近线方程是( ( ) ) A Ay y33x x B By y1 13 3x x C Cy y 3 3x x D Dy y3 33 3x x 解析：令解析：令x x2 2y y2 23 30 0，则则y y 3 3x x. . 答案：答案：C C 4 4双曲线双曲线x x2 26 6y y2 23 31 1 的渐近线与圆的渐近线与圆( (x x3)3)2 2y y2 2r r2 2( (r r0)0)相切相切，则则r r等于等于( ( ) ) A.A. 3 3 B B2 C2 C3 D3 D6 6 解析：双曲线的渐近线方程为解析：双曲线的渐近线方程为y y2 22 2x x，圆心坐标为圆心坐标为(3(3，0 0) )，由题意知圆心到渐近线的由题意知圆心到渐近线的距离等于圆的半径距离等于圆的半径r r， 即即r r|3|3 2 20|0|2 24 43 3 2 26 6 3 3. . 答案：答案：A A 5 5在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中，双曲线的中心在坐标原点双曲线的中心在坐标原点，焦点在焦点在y y轴上轴上，一条渐近线的一条渐近线的方程为方程为x x2 2y y0 0，则它的离心率为则它的离心率为( ( ) ) A.A. 5 5 B.B.5 52 2 C.C. 3 3 D D2 2 解析：由题意知解析：由题意知，这条渐近线的斜率为这条渐近线的斜率为1 12 2，即即a ab b1 12 2， 而而e ec ca a 1 1 b ba a2 2 1 12 22 2 5 5. . 答案：答案：A A 二、填空题二、填空题 6 6与双曲线与双曲线x x2 2y y2 24 41 1 有共同的渐近线有共同的渐近线，且过点且过点(2(2，2 2) )的双曲线的标准方程是的双曲线的标准方程是_ 解析：依题意设双曲线的方程解析：依题意设双曲线的方程x x2 2y y2 24 4( (0)0)， 将点将点(2(2，2 2) )代入求得代入求得3 3， 所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为x x2 23 3y y2 212121.1. 答案：答案：x x2 23 3y y2 212121 1 7 7双双曲线曲线x x2 24 4y y2 2k k1 1 的离心率的离心率e e(1(1，2 2) )，则则k k的取值范围是的取值范围是_ 解析：双曲线方程可变为解析：双曲线方程可变为x x2 24 4y y2 2k k1 1， 则则a a2 24 4，b b2 2k k，c c2 24 4k k，e ec ca a4 4k k2 2， 又因为又因为e e(1(1，2 2) )，则则 1 14 4k k2 22 2，解得解得1212k k0.0. 答案：答案：( (1212，0 0) ) 8 8若双曲线中心在原点若双曲线中心在原点，焦焦点在点在y y轴轴，离心率离心率e e13135 5，则其渐近则其渐近线方程为线方程为_ 答案：答案：y y5 51212x x 三、解答题三、解答题 9 9焦点在焦点在x x轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是轴上的等轴双曲线的焦点到渐近线的距离是 2 2，求此双曲线的标准方程求此双曲线的标准方程 解：设双曲线方程为解：设双曲线方程为x x2 2y y2 2a a2 2( (a a0)0)，则它的渐近线方程为则它的渐近线方程为y yx x，焦点坐标为焦点坐标为( ( 2 2a a，0 0) )，( ( 2 2a a，0 0) ) 所以所以2 2a a2 2 2 2，a a 2 2. . 所以双曲线的标准方程为所以双曲线的标准方程为x x2 22 2y y2 22 21.1. 1010设双曲线设双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1( (b b a a0)0)的半焦距为的半焦距为c c，直线直线l l过过 ( (a a，0 0) )，(0(0， b b) )两点已知原两点已知原点到直线点到直线l l的距离为的距离为3 34 4c c，求双曲线的离心率求双曲线的离心率 解：直线解：直线l l的方程为的方程为x xa ay yb b1 1， 即即bxbxayayabab0 0， 于是有于是有| |b b0 0a a00abab| |a a2 2b b2 23 34 4c c， 即即 4 4abab 3 3c c2 2， 两边平方得两边平方得，1616a a2 2b b2 23 3c c4 4， 所以所以 1616a a2 2( (c c2 2a a2 2) )3 3c c4 4， 3 3c c4 41616a a2 2c c2 21616a a4 40 0， 即即 3 3e e4 41616e e2 216160 0，解得解得e e2 24 4 或或e e2 24 43 3， 因为因为b b a a00，所以所以b b2 2a a2 211， e e2 2a a2 2b b2 2a a2 21 1b b2 2a a2 222，故故e e2 24 4， 所以所以e e2.2. B B 级级 能力提升能力提升 1 1已知中心在原点已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点对称轴为坐标轴且经过点P P(1(1，3 3) )，离心率为离心率为 2 2的双曲线的标准的双曲线的标准方方程为程为( ( ) ) A.A.x x2 24 4y y2 24 41 1 B.B.y y2 24 4x x2 24 41 1 C.C.x x2 28 8y y2 28 81 1 D.D.y y2 28 8x x2 28 81 1 解析：因为离心率为解析：因为离心率为 2 2， 所以所以e e2 2c c2 2a a2 2a a2 2b b2 2a a2 21 1b b2 2a a2 22 2，即即a ab b， 所以双曲线为等轴双曲线所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为故设所求双曲线的标准方程为x x2 2y y2 2( (0)0)， 又点又点P P(1(1，3 3) )在双曲线上在双曲线上，则则1 19 98 8， 所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为y y2 28 8x x2 28 81.1. 答案：答案：D D 2 2 求 与 双 曲 线求 与 双 曲 线x x2 21616y y2 29 9 1 1 共 渐 近 线 且 过共 渐 近 线 且 过A A(3(33 3 ， 3)3) 的 双 曲 线 的 方 程的 双 曲 线 的 方 程_ 解析： 设与解析： 设与x x2 24 42 2y y2 23 32 21 1 共渐近线且过共渐近线且过A A(3(3 3 3， 3)3)的双曲线的方程为的双曲线的方程为x x2 24 42 2y y2 23 32 2， 则则（3 3 3 3）2 24 42 2（3 3）2 23 32 2， 从而有从而有11111616，所求双曲线的方程为所求双曲线的方程为x x2 211111616y y2 299991.1. 答案：答案：x x2 211111616y y2 299991 1 3 3设设F F1 1，F F2 2分别是双曲线分别是双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(1(a a00，b b00) )的左、右焦点的左、右焦点，若双曲线若双曲线上存在点上存在点A A，使使F F1 1AFAF2 29090且且| |AFAF1 1| |3|3|AFAF2 2| |，求双曲线的离心率求双曲线的离心率 解：因为解：因为AFAF1 1AFAF2 2， 所以所以| |AFAF1 1| |2 2| |AFAF2 2| |2 2| |F F1 1F F2 2| |2 24 4c c2 2. . 因为因为| |AFAF1 1| |3|3|AFAF2 2| |， 所以点所以点A A在双曲线的右支上在双曲线的右支上 则则| |AFAF1 1| | |AFAF2 2| |2 2a a， 所以所以| |AFAF2 2| |a a，| |AFAF1 1| |3 3a a， 代入到代入到式得式得(3(3a a) )2 2a a2 24 4c c2 2，c c2 2a a2 210104 4. . 所以所以e ec ca a10102 2. .