资源描述
广广义义逆逆矩矩阵阵与与线线性性方方程程 组组的的求求解解 The solution of linear equations by the generalized inverse matrix 专 业: 数学与应用数学 作者: 指导老师: 学校二一一 I摘摘 要要 本文首先对矩阵的广义逆进行定义及其分类, 然后主要对一些重要的广义逆的性质和求解进行详细的讨论, 其中包括对减号逆的求解、Moore-Penrose 逆的存在性与唯一性的证明、左逆与右逆的性质与求解等等. 通过对这些重要的广义逆矩阵的性质和求解方法的研究, 最后探讨矩阵的广义逆在解线形方程组中的应用. 关键词: 广义逆矩阵； 线性方程组； 相容方程组； 通解 IIAbstract This article first to define the generalized inverse matrix and its classification, and then mainly on some important properties of generalized inverses and solution of a detailed discussion, including a minus sign for solving inverse, Moore-Penrose inverse of the existence and uniqueness of proof, the left inverse and right inverse of the nature of and solution and so on. On these important properties of generalized inverse matrix of the theory and method, the last of the generalized inverse matrix in the solution of linear equations.Keywords: generalized inverse matrix； linear equations； compatibility equations； general solution 目 录摘 要 .IABSTRACT .II0 引言 .11 矩阵的几种广义逆 .1 1.1 的定义与计算.3)1(A 1.5 加号逆的性质及计算 .4A 1.6 左逆与右逆的定义 .52 用广义逆矩阵求解线性方程组 .7 2.1 左右逆的应用 .7 2.2 相容方程组的通解与的应用 .8A 2.3 的应用 .11A参考文献 .14第 1 页, 共 14 页0 引言广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广, 推广的必要性, 首先是从线性方程组的求解问题出发的, 设有线性方程组bAx （0.1）当是阶方阵, 且时, 则方程组（0.1）的解存在, 并唯一.An0detA1xA b （0.2）但是, 在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是任意的矩阵 Anm（一般）, 显然不存在通常的逆矩阵, 这就促使人们去想象能否推广逆的概nm 1A念, 引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵, 使得其解仍可以表示为类似于式G（0.2）的紧凑形式? 即Gbx （0.3）1920 年摩尔（E.H.Moor）首先引进了广义逆矩阵这一概念, 其后三十年未能引起人们的重视, 指直到 1955 年, 彭诺斯（R.Penrose）以更明确的形式给出了 Moore 的广义逆矩阵的定义后, 广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期, 由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识,因而大大推动了对广义逆矩阵的研究, 使得这一学科得到迅速的发展, 已成为矩阵的一个重要分支. (见参考文献12)1 矩阵的几种广义逆1955 年, 彭诺斯（R.Penrose）指出, 对任意复数矩阵, 如果存在复矩阵,nmAmnA满足 (1.1) AAXA (1.2) XXAX (1.3) AXAXH)(第 2 页, 共 14 页 (1.4) XAXAH)( 则称为的一个 MoorePenrose 广义逆, 并把上面四个方程叫做 MoorePenrose 方XA程, 简称 MP方程.由于 MP 的四个方程都各有一定的解释, 并且应用起来各有方便之处， 所以出于不同的目的, 常常考虑满足部分方程的 X, 叫做弱逆, 为引用的方便, 我们给出如下的广义逆矩阵的定义.定义 1 1. .1 1 设, 若有某个, 满足 MP 方程（1.1）（1.4）中的nmCAmnCX全部或其中的一部分, 则称为的广义逆矩阵.(见参考文献3)XA例如有某个, 只要满足式（1.1） , 则为的广义逆, 记为； 如XXA11AX 果另一个, 满足式(1.1), (1.2)则为的广义逆, 记为； 如果YYA 2 , 1 2 , 1AY , 则同时满足四个方程, 它就是 MoorePenrose 广义逆, 等等. 总之, 4 , 3 , 2 , 1AX X按照定义 1.1 可推得, 满足 1 个, 2 个, 3 个, 4 个 MoorePenrose 方程的广义逆矩阵共有种, 但应用较多的事一下五种1544342414CCCC, , , , .1A 2 , 1A 3 , 1A 4 , 1A4 , 3 , 2 , 1A其中每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵, 分述如下:1: 其中任意一个确定的广义逆, 称作减号逆, 或 逆, 记为； 1AgA2: 其中任意一个确定的广义逆, 称作自反广义逆, 记为； 2 , 1ArA3: 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小范数广义逆, 记为； 3 , 1AmA4: 其中任意一个确定的广义逆, 称作最小二乘广义逆, 记为； 4 , 1AiA5: 唯一，称作加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为. 4 , 3 , 2 , 1AA为叙述简单起见, 下面我们以 及实矩阵为例进行讨论, 对于及复的矩阵也有nRnC相应结果. 本文着重介绍减号逆和加号逆以及左逆与右逆的性质及计算, 并讨论它AA们在解线性方程组中的应用.第 3 页, 共 14 页1.1 (1)A的定义与计算定义 1.1.1 设, 若满足, 则称为的记为m nACmnCGAGAAGA1逆,由定义可知.(1)AmnCGAAGAGA,|1例如设, 则就是的, 这里可以任取. 不难看出1100A100aGA1逆a的逆并不唯一.A1定理 1.1.1 设, , 分别为阶与阶非奇异方阵, 且m nrACPQmn则 . （证明见参000rIPAQ1221221( ,1,2)rijIGAQP G i jGG为任意阶数的矩阵考文献7）例 1 求矩阵的广义逆.101002221453A)1(A解 构造分块矩阵, 通过适当变化, 将进行行列变换化为形340AIBIA000rI式, 并求出变换, .PQ313141101 11001000100022201002220101453001044400110000001011000010000001000000010000001000000010000001000rrcccc 第 4 页, 共 14 页,323242221/21000100010001 2000001211011000011100000100000001000rrccccr 因此有, . 10001/ 20121P1011011100100001Q于是我们取, , 均为 0 得12G21G22G. 00000002100010000000100011PQA1.2 加号逆的性质及计算A 定义 1.2.1 设, 若存在 阶矩阵 , 它同时满足：nmRAmnX 1) 2） AAXA XXAX 3） 4）AXAXTXAXAT则称为 的加号逆, 或伪逆, 或 Moore-Penrose 逆, 记为.XAA从定义中可看出, 加号逆必同时是减号逆、自反广义逆、最小范数广义逆和最小二乘广义逆, 在四个条件中, 与 完全处于对称地位. 因此也是的加号逆, 即XAAA有; 另外可见, 加号逆很类似于通常的逆阵, 因为通常的逆也有下列四 AA1A个类似的性质: 1. 2. AAAA1111 AAAA3. 4. IAA1IAA1第 5 页, 共 14 页由定义 1.2.1 中的条件 3）和 4）还可看出, 与都是对称矩阵.AAAA前面已经介绍了什么样的矩阵称为广义逆矩阵, 下面将讨论广义逆矩MPMP阵的唯一性.定理 1.2.1 对任意, 存在且唯一.m nACA证明 设, 若则是阶零矩阵, 显然阶零矩阵满足条件. ( )rank Ar0r Am nn m若则的满秩分解为, 其中, , 于是0r AAFGm rrFCr nrGC11() ()HHHHBGGGF FF即为所求的.A因为 (1) ；11() ()HHHHABAFG GGGF FFFGFGA(2) 1111() ()() ()HHHHHHHHBABGGGF FF FGGGGF FF；11() ()HHHHGGGF FFB(3) 111()() ()( ()HHHHHHHHHABFGGGGF FFF F FF ；1()HHF F FFAB(4) 111()() ()()HHHHHHHHHBAGGGF FF FGGGGG .1()HHGGGGBA由此说明了广义逆的存在性.PM 又设则有,1,2,3,4X YA()()() ()HHHHHXXAXX AXXXAYAX AXAYXAY .() ()() ()HHHHHHHXAYAYXAYAYA XA Y YYAYY这便说明了的唯一性.A定理 1.2.2 设为秩为 的矩阵, 其满秩分解为, 其中, Arm nAFGm rrFC, 则.r nrGC11() ()HHHHAGGGF FF的唯一性前面已经作出了说明, 此定理的证明见参考文献7A第 6 页, 共 14 页1.3 左逆与右逆的定义定义 1.3.1 设是矩阵, 若有矩阵满足(或), 则称Am nn mGmAGInGAI为的右逆(或左逆), 记为(或).GA1RA1LA定理 1.3.1 设是的矩阵, 有右(左)逆()的充要条件是Am nA1RA1LA().( )rank Am( )rank An若有右(左)逆, 则其中一个右(左)逆是(), 通式为A11()HHRAAAA11()HHLAA AA()11()HHRAVAAVA11()HHLAA VAA V其中是任意满足V( )()( )()HHrank Arank AVArank Arank A VA的矩阵.证明 充分性: 已知, 则, 是可逆矩阵, 若记( )rank Am()Hrank AAmHAA, 则, 因此是的右逆.1()HHGAAA1()HHmAGAAAAIGA必要性: 设是的一个右逆, 则. 由于GAAG mI,()()( )mmrank Irank AGrank Am因此.( )rank Am设是任意满足的矩阵, 最后证明右逆的通式可以表示成为V( )()Hrank Arank AVA的形式.11()HHRAVAAVA由于, 因此是的右逆. 设是的任意右逆,1()HHmAVAAVAI1()HHVAAVAAGA记, 则因此. 又因为HVGGHHHmAVAAGG AI( )()Hrank Arank AVAm=,1()HHVAAVAHHmmGG A IGIG由上分析可知的任意右逆都可找到使其表示为的形式.AGV1()HHGVAAVA因此矩阵的右逆的通式为.A11()HHRAVAAVA第 7 页, 共 14 页对于左逆同理证明.例 2 求矩阵的左逆.111000A1LA解 由于,111 1021101001100HA A所以我们有111211 10010()11100110HHLAA AA 例 3 设 ,试求其右逆.210121A解 易知 rank,即是最大秩矩阵，有2AA 11210121210121210121RA =.8243651412 用广义逆矩阵求解线性方程组考虑非齐次线性方程 （2.1）bAx 其中, 给定, 而为待定向量. 若, 则方程nmCAmCbmCx rankAbArank（2.1）有解, 或称方程组相容, 否则, , 则方程（2.1）无解, 或称 rankAbArank方程组不相容或矛盾方程组.第 8 页, 共 14 页2.1 左右逆的应用定理 2.1.1 设是相容性线形方程组, 是行满秩矩阵, 是它的一个右逆. AxbA1RA显然, 因此是线形方程组的解. 又若为列满秩矩阵, 是11()RRA A bAA bb1RA bA1LA它的一个左逆, 则是线形方程组的解.1LA b例 4 求方程组的解其中, .Axb111000A210b 解 显然方程组是相容的. 由于从前面已经知道,1010110LA因此方程组的解为.120101111010LxA b 2.2 相容方程组的通解与的应用A线性方程组相容时, 若系数矩阵, 且非奇异（即）, 则有唯一nmCA0detA的解 （2.2）bAX1但当为奇异方阵或长方矩阵时, 它的解不是唯一的, 此时不存在或无意义，A1A那么我们自然会想到, 这时是否能用某个矩阵把一般解（无穷多）表示成G （2.3）GbX 的形式呢? 这个问题是肯定的. 我们将会发现的减号逆充当了这一小角色.AA对于一个阶相容的线性方程组, 不论系数矩阵是方阵还是长方矩阵, 是满m nA秩的还是降秩的, 我们都有一个标准的求解方法, 并且能把它的解表达成非常简洁的形式. 下面定理形式给出.定理 2.2.1 如果线性方程组（2.1）是相容的, 是的任一个减号逆, 则线性AA第 9 页, 共 14 页方程组（2.1）的一个特解可表示成 bAX而通解可以表示成 （2.4）zAAIbAX其中是与同维的任意向量.(见参考文献6)zX证 因为相容, 所以必有一个维向量, 使bAX n bAW 成立, 又由于是是的一个减号逆, 所以AA, AAAA则有. AWAWAA亦即 .bbAA由此得出 bAX（2.5）是方程组（2.1）的一个特解.其次, 在式子（2.4）两端左乘. 则有A bAAZAAIAbAAAX)(由于, 所以式（2.4）确定的是方程组（2.1）的解, 且当为任意一个bbAA)(Xx解时, 令, 有bAXZ )()(bAXAAIZAAI =AbAXAAbAX =bAbAbAX =bAX第 10 页, 共 14 页从而得 ZAAIbAX证毕.这表明由式（2.4）确定的解时方程组（2.1）的通解.例 5 求解 221232321xxxxx解 将方程组写成矩阵形式 bAX 其中 ,210121A21b由于=2, 所以方程组是相容的, 现在只要要求得的一个减号就 rankAbArankA可以了, 由例 1.3.2 知矩阵的一个减号逆为A 8326451411RA利用公式（2.4）, 我们就可立即求得方程组的通解：ZAAIbAXRR11 321321321213192461036913141zzzzzzzzz也即 32133212321123191412461014136913141zzzxzzzxzzzx其中 第 11 页, 共 14 页 为任一向量.321zzzZ例 6 求方程组其中, 的解.Axb101 102221453A101b解 不难看出, 该方程组是相容的, 由于前面已经求得，(1)10001 20000000A所以方程组的通解为1342343344110010001001101 101 20010001 20002220000010000114530000001000yyyyyyxyyyy其中, 为任意实数.3y4y2.3 的应用A（一）判别线性方程组有解.普通线性代数中判别方程组有解的方法是用矩阵的秩，即bAX 时有解;而有了广义逆矩阵理论之后, 便可用广义逆矩阵的方法判别, rankAbArank并可同时求出解.结论 1: 线性方程组有解bAX bAAb证 若线性方程组有解不妨设其解为，则bAX abAAAaAAaAAAAab反之, 若有, 则bAAbbAXAbAXbAXAbAAbAX000即为线性方程组的一个解bAX第 12 页, 共 14 页 （二）求齐次线性方程组的解空间利用广义逆矩阵可以求出齐次方程组的一切解结论 2: 齐次线性方程组的解空间为任意列向量0AXWYYAAE证 任取, 有, 则为齐次WAAEa0AAAAAAEAAaa线性方程组的解. 反之.若为方程组的解, 即 a (2.3.1)0Aa两边左乘以, 得AA (2.3.2 ) 0AAaA联立以上两式有 (2.3.3) 0aAAEA由（2.3.3）知: 为方程组的解, 且.aAAEWaAAE(三) 判别齐次线性方程组有唯一解一般由个方程以及个未知数组成的齐次线性方程组有唯一解的充分必要条0AX件是. 但是当方程组的个数与未知数的个数不相等时, 不是方阵, 不能有用行列0A式判别. 可以用广义逆矩阵的方法判别如下：结论 3: 齐次线性方程组有唯一解0AXEAA证 若齐次线性方程组有唯一解, 则唯一解即为零解. 若, 则EAA0AAE由结论 2 知, , 使得, 为方程组的解, 这与方程组有唯一零0Y0YAAEa解矛盾. 所以.EAA 若, 则, 由结论 2 知此时解空间有唯一零解.EAA0AAE（四）求非齐次线性方程组的解空间 结论 4: 非齐次线性方程组的解空间为任意bAX HYYAAEbA列向量.事实上, 由线性方程组的一般理论知, 非齐次方程组的通解应该为对应齐次的通解和自身的一个特解之和. 结论 1、2 告诉我们: 为其自身的一个特解； 而bA第 13 页, 共 14 页为对应齐次的通解(取任意列向量). 显然即为其解空间.YYAAEY例 7 求的通解. bAX 201,420021bA 解 因为 , , , 2 , 1201 FGA5HGG5FFH所以bbAAA2012012001000010052512014022012514200214022012512 , 0 , 1552111通解为.YYAAEX12245121512151其中为任意列向量Y致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对汪教授表示衷心的感谢!第 14 页, 共 14 页参考文献1 姜同松编. 高等代数解题方法M. 石油大学出版社. 2001.2 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编. 高等代数M. 北京：高等教育出版社，19883 蔡剑芳. 高等代数综合题解M. 湖北科学技术出版社. 1986.4 王品超. 高等代数新方法M. 济南：山东教育出版社. 1989.5 黄有度, 狄成恩, 朱士信. 矩阵理论及其应用M. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 1995.6 林升旭. 矩阵论学习辅导与典型题解析M. 武汉: 华中科技大学出版社, 2003.7 苏育才, 姜翠波, 张跃辉. 矩阵理论M. 北京: 科学出版社, 2006.8 李新, 何传江. 矩阵理论及其应用M. 重庆: 重庆大学出版社, 2005.9Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl；1975. 180-18710 Dai Hua.On the symmetric Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl.1990(131)1-7
展开阅读全文