分式的概念与基本性质

精品文档分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式.一般地，如果 A, B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 A叫做分式.B整式与分式统称为有理式.在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0;分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0,故分式有意义的条件是分母不为0,当分母为。时，分式无意义.如：分式1,当x#0时，分式有意义；当 x=0时，分式无意义.分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是同时”.分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.上述性质用公式可表示为：-=m, a=a2m（ m0）.b bm b b 十 m注意：在运用分式的基本性质时，基于的前提是m#0;强调 同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个非零”的数字或者整式；分式的基本性质是约分和通分的理论依据.、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式?，3(x 2)2x -2x 1x -1哪些是整式？2x +4 5a2mx 123x -2x -13x7ta2 3 a23a16欢迎下载分式的基本概念根据分式的概念可知，分式的分母中必然含有字母,.2由此可知1, 王卫士1, 24,t x5a(x +2),，x -123中分母中的 兀x三2为整式.兀x 13x2 -2x -132a一L为分式.3a兀是一个常数，因此它不是分式.232x3x,-一a-,分式的概念 x -13a是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式2x 432, Ja-为分式3x -2x -13a三2为整式.兀【例2】2代数式13A.1 个 B.1-1x 1C.1a -b2个yD.1,m + n , xy中分式有（）【考点】分式的基本概念x 1 x2 -1,2x x 1【解析】分母中含有字母的式子是分式，所以上式中分式有【答案】选C二、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件:/x y x 2x - 81x x 3【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义的条件是分式有意义的条件是分式有意义的条件是分式有意义的条件是分式有意义的条件是 _lb(4)42a -b m 1x00;x+3#0,即 x0 3 ;2a b#0 ，即 2a #b+1¥0,即m为任何实数;22x +y #0,故 x#0或者 y ¥0 ;分式有意义的条件是x2 2x8 = (x4)(x+2) =0 ,即 *。4且*#2 ;当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果 分式有意义的条件是 x +3 00 ,即x = 4【答案】6x00；x03，一、1 a # b;2m为任何实数；故x ¥0或者y #0 ; x #4且 x。-2 ;即x#T【例4】 要使分式 互有意义，则x须满足的条件为 x -3【考点】分式有意义的条件【解析】x-3丰0【答案】x=31例5 x为何值时，分式 有意义？1 1 x要使分式 a14没有意义,求a的值.1 .3 2a【考点】分式有意义的条件1【斛析】 61+#0且1+x =0,则x #-2且x#11 x13a1根据题息可信1+=0或2a =0,所以a=-或a=02a5【答案】（1） *#-2且*#一1.1 a =一一 或 a =05【例6】x为何值时，分式12 12 x有意义?【考点】分式有意义的条件【解析】【答案】【例7】【考点】根据题意可得:二05x # -2 且 x # 21x为何值时，分式 有意义?12 x2 x分式有意义的条件【解析】2 +x 1 #0 且 2+x=0,则 x#1,且 x ¥3 ,且 x ¥ -2 , 2 x【答案】则x ¥ -1 ,且x ¥ 3 ,且x # -2【例8】若分式区一250有意义,则x;11250 x若分式因一250无意义,则x1 1250 x【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义，根据题意可得：分式无意义，根据题意可得：【答案】（1） x¥-251 且 x#250;(2)1上 12250 +x ,解得 x#251 且 x¥250；250 x =01+ =0 或 250 + x=0,即 x = 251 或 x = 250;250 x*=-251或*=-250【例9】若也有意义，则）. 3-a3-aA.无意义 B. 有意义 C. 值为0 D.以上答案都不对【考点】分式有意义的条件【解析】 也 有意义的条件为3-a#0, a¥3.同理有意义的条件为a¥13.3 -a3-a所以 里有意义，不一定有意义，应选 D.3 -a3 - a|【答案】D【例10】x为何值时，分式x29有意义?1 -3 x【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得:3 x :0x ¥-3且 x / Y11 - - 0f 3+x 0,解得【例11】若分式x2 -16若分式(x -3)(x 4)x2 -16有意义，则(x -3)(x 4)无意义，则【考点】分式有意义的条件【解析】若分式若分式x2 -16(x 3)(x 4)x2 -16有意义，则x#3且x#-3且x #-4 ;(x -3)(x 4)无意义，则x =3或x =-3或x =4 ;【答案】(1) x#3且x#-3且x #/；(2) x=3或 x=-3或 x=.B三、分式值为零的条件【例12当x为何值时，下列分式的值为0?(1)x11'-1冈 -3'+3(5) x + 2x 3x24xx 1x-3x 7x-1x 2x【考点】分式值为零的条件【解析】x+1=0=x =，此时分母不为0,故当x = 1时，原式的值为0;2x1=0=x=1或者x = 1 ,但当x=1时，分母为0,故x = 1时，原式的值为 0;由 x -3 =0= x=：K3,又 x3#0n x=3,故 x = 4;由x2+3至3 >0可知，无论x为何值，分式的值都不为 0;由 x2 +2x -3=0= x =1 或者 x =-3,又 x-1 #0n x#1,故 x = -3;由 x2-4=0=x=：2,又 x2+2x¥0nx¥0且 x#-2,故 x = 2.【答案】x = 1时； x =1; x =7;(4)无论x为何值，分式的值都不为0; x = -3; x =2 .【巩固】当x为何值时，下列分式的值为 0?-.2(1) 2x -1 x -2x-3x 3(x 1)(x 2)2-x-(6) 25-x2x2 8(x -5)lx -6x2 -5x-6(x -8)(x 1)x -1(4)x2 -16x 3x -4【考点】【解析】分式值为零的条件2x -1 =0根据题意可得：('0,则x=1x 3-02根据题意可得:jx2-2x-3 = 0 则x=3或x = -1?x+1)(x+2)#0'、(x#1 且x#2，所以x=3根据题意可得:根据题意可得:根据题意可得:根据题意可得:i x -6 = 02x -5x -6 :0lx2 -16 =0x2 3x -4 二 0则 x - 6则x = 48x =0i 2,x 8=025 -x2 =0(x -5)2 :0根据题意可得:(x -8)(x 1) =0 xr1:01【答案】 x =一;x=3;x =-6 ;x =4 ;x=0;x = -5;x=8 2【例13】若分式x上的值为0,则x的值为x -1【考点】分式值为零的条件 【关键词】2010年，昌平一模【解析】-4【答案】-4【巩固】若 x 一2的值为0,则x =.2x a【考点】分式值为零的条件.2x aa 0【解析】根据题意可得：2 a ,即x=2且a=/.x-2=0【答案】*=2且2#-4.【巩固】若分式 x -4的值为0,则x的值为.x -2【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，朝阳一模【解析】-2【答案】-2x2 x【巩固】若分式与二的值为0,则x的值为x -1【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，房山二模【解析】0【答案】0【例14】如果分式x -3：+2的值是零,那么 x的取值是.【考点】分式值为零的条件【关键词】2010年，石景山二模【解析】2【答案】2【巩固】若分式 一x-3一 的值不为零，求 x的取值范围.x -2 x 1【考点】分式值为零的条件“x2Yx+1#0 【解析】当，') 时，原分式的值不为零.,+3¥0由得：x#2且x¥T .由得：x#-3.若原分式的值不等于零，x的取值范围是x #2且x # 1且x # -3 【答案】x #2且x ¥ -1且x ¥32【例15】x为何值时，分式 x -9分式值为零?1 3 x【考点】分式值为零的条件、x2 -9 工【解析】若分式 x 19值为零，x=3.1 3 xx2 3x值为零?【答案】x =3【巩固】x为何值时，分式 【考点】分式值为零的条件2 2x +3x=0【解析】根据题意可得5 x4#0,解得x=0,若问此分式何时无意义，则*=邙或*=-5或* = _7.x 5x 5:0x = -3 或 x = -5 或 x = 7【巩固】若分式q一3的值为0,则x =x -3x【考点】分式值为零的条件x -3x2 -3x忸一3 ,根据题意可得:x(x -3)I x( x - 3) - 0上，所以x = Jx -3=0x - -3若分式x|250 =0 ,则11250 x分式值为零的条件分式值为零，根据题意可得:1 +1 #0250 +x<250 +x#0,解得 x = 250.x -250 =0x =250四、分式的基本性质【例16】填空:(1)ab b尸一(2)3xx2 - xy(3)x - y x2 - xy【考点】 【答案】 【例17】xy分式的性质(1) a； (2) x2; (3)(4) x2 - yy的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化?2x -y 分式的性质 3x 3y3x - 3y 3x 3y2 x -y3(x y)3(x -y)9xyx,不发生变化x -y=3*是原来的3倍3x -3y 3(x -y) x -y3x -3y 2(3x)(3y)不发生变化是原来的3倍是原来的1倍33(x -y)29(x与二冬，是原来的-倍x y3把下列分式中的字母(1)一x y分式的性质x和y都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化?9x2四22x 3y【解析】(1)扩大5倍后的分式为5x+1 2(5y)=5(x+2y )=x+2y。因此分式值不变。5x-5y 5x-y x-y(2)扩大5倍后的分式为 著一2 =一519x1 =一9x一，因此分式值为原来的 1。2 5x 3 5y 25 2x2 3y25 2x2 3y5【答案】(1)分式值不变。(2)分式值为原来的15【例18】不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. 1.03x 0.02y3.2x -0.5y32-x - y_3_15-x - y32分式的性质 1.03x 0.02y3.2x -0.5y1.03x 0.02y 100 - 3.2x0.5yi0Q-103x 2y320x -50y323212-x- y- x y12 4 3 431515x - y x - y ： 123232 103x 2y320x -50y(力 9x -8y4x 30y9x - 8y4x 4 30y【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。(1)0.3x Q.2 .0.05x -1 '1 1-x - - y(2) -5_-1x 0.1y 2分式的性质(1)原式 J3x 1.2 200.05x -120x -20(2)原式11-x y5770一 1x 0.1y b 70214x -10y35x 7y(2)32-aa 53 -a2【考点】分式的性质 【解析】(1)原式=T：+1)=WUa -2a -22232(2)原式二-aa -5 _ a -a -52323 -a -aa a -3【答案】(1)a 1-2-a -232a-a-5732a a3【例20】求下列各组分式的最简公分母23ab -a(c -a)(c -b) (a -b)(b -c)(c - a)【例22】下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式。 ) ,2 ,27 -7a1 -2a a a -1, ,-x -4x -5 x 3x 2 x -3x -10 2, 2 a ab ab a ab b 3(4)x -18x 81, 一-ab a21281 -x2a工-b?1x 18x 81(x5)(x+1)(x+2);22 ab(a +b)(a -b);(x 9) (x + 9)【考点】分式的性质【关键词】最简公分母【答案】7(1-a)2(1+a)【例21】通分：28x yn5 A3 ，312x yz 20xy z2 m - mnm2-mnx(x -1)1(4)*x -1x -2x 11(a - b)(a - c)(b - c)(b - a)(c-a)(c b)【考点】分式的性质【关键词】通分245 xy z23 3,8x y 120x y z5312x yz50y23120x y z先分解因式，而后找公分母为x 1 (x 1)2(x -1)x(x 1)(x -1)-33-20xy z2x2(x -1)18x23 3120x y z2x(x 1)-2-1 x(x 1)(x -1)mn(m - n)(m -n)2_2x -2x 1 x(x 1)(x -1)一2 ，2x(x -1) x(x 1)(x -1) x先分解因式，而后找公分母为(4)n2(m n)2一 ，、，、m -mn mn(m n)(m - n)c -bm _m2 (m - n) 二 二 -7n - mn mn(m n)(m - n)1mnmn(m - n)(m - n)(a -b)(a - c) (a -b)(b -c)(c - a)(b - c)(b - a) (a -b)(b -c)(c - a)(1) 4x -46 3a(a-b3)4 b a22(3) y(4)2x 2x 122x 8x 8【考点】分式的性质【关键词】最简分式3)和(4)。(1)和(2)分【解析】分式的分子和分母中没有公因式的分式是最简分式。因此最简分式是(3别化简得xN和_3ae二【答案】最简分式是(3)和(4)。(1)和(2)分别化简得3豆和3ab)【巩固】以下分式化简:36x -1212；釜 3x -1x bx 22 .2x y2 _2'二T =x+y。其中错误的 x yA.1 个 B.2个 C.3 个 D.4【考点】分式的性质【关键词】约分【解析】约分是约去分子和分母中的公因式，而不是分子与分母中的部分因式或多项式式中的某些项，故、错误。而式中约分应得x-y ,所以选D。【答案】DD、【例23】约分：-24x3ycc 2-330x y2;6x +2x3x 1【考点】分式的性质【答案】空;5y2x2n 3- 2nx -8xn 2n4x 16x【例24】化简：-4 n 4x【考点】分式的性质【关键词】约分【解析】原式2n / 3x (x -8)x2n(x -2)(x2 2x 4)n . 422、x (x 8x 16 - 4x )xn(x2 2x 4)(x22x 4)nx (x - 2)x - 2x 4n ,x (x -2)x 2x 4约分：(1)23m 6m(3)2m - mn 1 46a b2anb（n是大于2-4, X2 2-x4xy -4 y1的整数）；（4）2n 2 x2n-4xn 2 n 1 nx -x -2x（n是正整数）分式的性质【关键词】约分【解析】（1）原式=3mm 2m -3 m 23mm -3原式x 2y x -2y(3)原式2x -2y3a 2 b3 2an 1b2 3c n 互=3a b 。2a bx 2yx 2y(4)原式x2n x 2 x -2xn x -2 x 1xn x 2x 1n 1 nx 2xx 1【答案】（1）(3)(4)3mm3x 2yx-2y2 33a b 。n 1 nx 2xx 1欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求21 x -2x 1t x -1x5a(x +2),32(1) 6x-24x -20 14x -10y35x 7y【例19】不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数: