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突破点12圆锥曲线的定义、方程、几何性质提炼1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)(3)抛物线：|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M(l为抛物线的准线)提炼2圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系在椭圆中：a2b2c2；离心率为e；在双曲线中：c2a2b2；离心率为e.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y±x；焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)；双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y±x，焦点坐标F1(0，c)，F2(0，c)(3)抛物线的焦点坐标与准线方程抛物线y2±2px(p0)的焦点坐标为，准线方程为x；抛物线x2±2py(p0)的焦点坐标为，准线方程为y.提炼3弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2；弦长|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角)；以弦AB为直径的圆与准线相切回访1圆锥曲线的定义与方程1(20xx·天津高考)已知双曲线1(b0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1 D.1D由题意知双曲线的渐近线方程为y±x，圆的方程为x2y24，联立解得或即第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，故2b，得b212.故双曲线的方程为1.故选D.2(20xx·全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B.6C.12 D.7CF为抛物线C：y23x的焦点，F，AB的方程为y0tan 30°，即yx.联立得x2x0.x1x2，即xAxB.由于|AB|xAxBp，|AB|12.回访2圆锥曲线的重要性质3(20xx·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知×2b，解得，即e.故选B.4(20xx·北京高考)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点若正方形OABC的边长为2，则a_.2不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示四边形OABC为正方形，|OA|2，c|OB|2，AOB.直线OA是渐近线，方程为yx，tanAOB1，即ab.又a2b2c28，a2.回访3弦长问题5(20xx·全国卷)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|()A3 B.6C.9 D.12B抛物线y28x的焦点为(2,0)，椭圆中c2，又，a4，b2a2c212，从而椭圆方程为1.抛物线y28x的准线为x2，xAxB2，将xA2代入椭圆方程可得|yA|3，由图象可知|AB|2|yA|6.故选B.6(20xx·全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B.2C.2 D.4C设P(x0，y0)，则|PF|x04，x03，y4x04×324，|y0|2.F(，0)，SPOF|OF|·|y0|××22.热点题型1圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”(1)(20xx·全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B.(1，)C.(0,3) D.(0，)(2)(20xx·通化一模)已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若4，则|QF|()A.B.3C.D.2(1)A(2)B(1)若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1<n<3.若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为1，即即n>3m2且n<m2，此时n不存在故选A.(2)如图所示，因为4，所以，过点Q作QMl垂足为M，则MQx轴，所以，所以|MQ|3，由抛物线定义知|QF|QM|3.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程2计算，即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设mx2ny21(m0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0)变式训练1(1)(20xx·郑州二模)经过点(2,1)，且渐近线与圆x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为()【导学号：85952050】A.1 B.y21C.1 D.1(2)(20xx·合肥二模)已知抛物线y22px(p0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为()A± B.±1C.± D.±(1)A(2)A(1)设双曲线的渐近线方程为ykx，即kxy0，由题意知1，解得k±，则双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1，则有解得故选A.(2)设M(x0，y0)，由题意x02p，则x0，从而y3p2，则M或M，又F，则kMF±.热点题型2圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a，c的方程或不等式是求解的关键(1)(20xx·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A.B.C.D.(2)(20xx·西安三模)已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，且|BC|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()Ay±3x B.y±2xC.y±(1)x D.y±(1)x(1)A(2)C(1)如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)由PFx轴得P.设E(0，m)，又PFOE，得，则|MF|.又由OEMF，得，则|MF|.由得ac(ac)，即a3c，所以e.故选A.(2)由题意作出示意图，易得直线BC的斜率为，cosCF1F2，又由双曲线的定义及|BC|CF2|可得|CF1|CF2|BF1|2a，|BF2|BF1|2a|BF2|4a，故cosCF1F2b22ab2a2022201，故双曲线的渐近线方程为y±(1)x.1求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值2双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得(2)用法：可得或的值利用渐近线方程设所求双曲线的方程变式训练2(1)(20xx·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B.C. D.2(2)(名师押题)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()【导学号：85952051】A. B.2C.2 D.(1)A(2)D(1)法一：如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.法二：如图，因为MF1x轴，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)设|F1F2|2c，|AF1|m，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，|AB|AF1|m，|BF1|m.由椭圆的定义可知F1AB的周长为4a，4a2mm，m2(2)a.|AF2|2am(22)a.|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，4(2)2a24(1)2a24c2，e296，e.
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