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精品资源课 题：基本不等式（1） 课时编号：S05-03- 10教学目标（1） 了解两个正数的算术平均数与几何平均数的概念，能推导并掌握基本不等式；（2）理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式。教学重点，难点： 基本不等式的证明及其简单应用。教学过程一.问题情境1 .情境：把一个物体放在天平的盘子上，在另一个盘子上放祛码使天平平衡，称得物体的质量为a,如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的重量。不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为bo2 .问题：如何合理地表示物体的质量呢？二.学生活动引导学生作如下思考：（1）把两次称得的物体的质量 平均”一下：（2）根据力学原理：设天平的两臂长分别为l1,l2,物体的质量为 M ,则11M =l2a,12M =11b ,，相乘在除以 吊2,得M =庙（3）H也与jab哪个大？ 2三.建构数学a b 一1,算术平均数与几何平均数：设 a,b为正数，则a-b称为a,b的算木平均数， JOB称为a,b的几何 2平均数。2.用具体数据验证得：基本不等式： 、ab 三型（a_0,b_0） 2即两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两数相等时两者相等。 下面给出证明：证法 1： a-b - . ab =1 （ . a）2 （、, b）2 -2 a . b =1 （、a -Nb）2-0222当且仅当Ja = Jb即a=b时，取“=”。欢迎下载精品资源证法2：要证jab <ab,只要证2网 wa + b只要证0Ma2jab + b,只要证0M（后Jb）2因为最后一个不等式成立，所以jabalb成立，当且仅当 ja = jb即a = b时，取«="。2证法3：对于正数a,b有（而而）2之0 , = a+b2加之0=a b _ 2、. ab, = a-bab23.说明：（1）基本不等式成立的条件是：a >0,b>0（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法 1）、分析法（证法 2）、综合法（证法 3）DDAB ,则 CD2 =CA CB = ab ,从而CD = Jab,而半径ab2CD = Jab 2（4）当且仅当a=b时，取的含义：一方面是当a b = 46 ；另一方面是仅当 a - b时耳2Jab 一口 a - b。2（5）如果a, b w R ,那么a2 +b2至2ab （当且仅1四.数学运用1 .例题：例1.设a, b为正数，证明下列不等式成立：（1） b+a 之2 ；（2） a+-之2a baba证明：（1） a,b为正数，b,a也为正数，由基 a b，原不等式成立。1 -11（2） a,-均为正数，由基本不等式得 a十一至2 aa例2.已知a,b,c为两两/、相等的实数，求证： a2A' a C b Ba =b时取等号，即（图 1） D攵等号，即3 a=b时取 J"）.；本不等式得 b ,旦_2、b a =2 a ba b1 eya = 2 ,，原不寺式成乂。b2 c2 ab bc ca（3） ab之 局的几何解释：（如图1）以a+b为直径作圆，在直径 AB上取一点C,过C作弦欢迎下载精品资源证明：a,b,c为两两不相等的实数，a2 +b2 >2ab , b2 +c2 >2bc, c2+a22ca, 以上三式相加：2(a2 b2 c2) . 2ab 2bc 2ca 所以，a2+b2+c2 > ab+bc+ca .例3.已知a,b,c,d都是正数，求证(ab+cd )(ac + bd)至4abcd .证明：由a,b,c,d都是正数，得：ab cd2> Jab cd >0 ,ac bd2> Jac bd >0 ,(ab cd)(ac bd)> abcd ,欢迎下载即(ab +cd)(ac +bd) "abcd .x2 4例4.求证：>2x2 3证明：: Jx2+3>0,又 x2+3*1,22._x2_4 _ (x2 3)1,x2 3、x2 3,2.练习：1 .给出下列结论：(1)若 x >0, y >0,则 lg x +lg y -2jlgx 1g y(2)若 x >0,贝U 十cosx 2 2.1- cosx =2 cosxcosx(3)若 x<0,则 x+4 <-2jx 4= x . x(4)若 x<0,则 2x +2T >2之 2y =2其中正确的有2 .课本 P9o1,2五.回顾小结：1 .算术平均数与几何平均数的概念；2 .基本不等式及其应用条件；3 .不等式证明的三种常用方法。六.课外作业：P9o 3P93 1, 2, 3, 5补充：1. 已知 a,b,c都是正数，求证：(a+b)(b+c)(c + a)28abc ；2.已知x, y都是正数，求证：(x + y)(x2+y2)(x3+y3)主8x3y3 .第97页复习题第12题.
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