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本本章章将将从从二二元元、三三元元线线性性方方程程组组的的解解引引出出二二阶阶及及三三阶阶行行列列式式的的概概念念，然然后后推推广广到到n阶阶行行列列式式，最最后后给给出出解解n元元线线性性方方程程组组的的克克拉拉默默法法则则 行行列列式式的的概概念念是是人人们们从从解解线线性性方方程程组组的的需需要要中中建建立立起起来来的的 考考虑虑二二元元线线性性方方程程组组 ,22221211212111bxaxabxaxa (1.1) 这里这里21,bb是常数项，是常数项， 下下面面用用消消元元法法解解此此方方程程组组 ija叫叫做做未未知知量量系系数数 下下标标i表表示示它它 在在第第i个个方方程程 下下标标j表表示示它它是是第第 j个个未未知知量量的的系系数数 ,22221211212111bxaxabxaxa (1.1) (第第一一个个方方程程)22a(第第二二个个方方程程) 12a，消消去去2x，得得 类类似似地地，消消去去1x，得得 故故当当021122211aaaa时时，(1.1)有有惟惟一一解解： 211222111222211aaaaababx， 211222112111122aaaaababx 122221121122211)(ababxaaaa 112211221122211)(ababxaaaa 二二阶阶行行列列式式的的值值是是这这样样两两项项的的代代数数和和： 一一项项是是从从左左上上角角到到右右下下角角的的对对角角线线（又又称称主主对对角角线线）上上两两个个元元素素的的乘乘积积，取取正正号号； 另另一一项项是是从从右右上上角角到到左左下下角角的的 2112221122211211aaaaaaaaD 它含有两行、两列，横写的叫做它含有两行、两列，横写的叫做行行，竖写的叫做，竖写的叫做列列 行行列列式式中中数数又又叫叫行行列列式式的的元元素素 如如21a是是第第 2 行行第第 1 列列元元素素 D叫叫做做二二阶阶行行列列式式 为为方方便便记记，引引进进记记号号 对对角角线线上上两两个个元元素素的的乘乘积积，取取负负号号 利用利用二阶行列式二阶行列式，线性方程组线性方程组(1.1)解的结果可写为解的结果可写为： 当当 022211211aaaaD时时， 方方程程组组(1.1)有有惟惟一一解解： DDx11， DDx22， 其其中中 2221211ababD ， 2211112babaD 当当021122211aaaa时时，(1.1)有有惟惟一一解解： 211222111222211aaaaababx， 211222112111122aaaaababx ,22221211212111bxaxabxaxa (1.1) 称称D为为方方程程组组(1.1)的的系系数数矩矩阵阵 解解 因因 2312D 又又 , 723381D .1431822D 例例 1 解解线线性性方方程程组组 . 32, 8322121xxxx 方方程程组组的的惟惟一一解解为为： , 111DDx 222DDx 所所以以方方程程组组有有惟惟一一解解 43 70 ， 利用消元法可知，当利用消元法可知，当 , 0312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaaD 方程组方程组(1.6)有惟一解：有惟一解： 完完全全类类似似地地，对对于于三三元元线线性性方方程程组组 ,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa (1.6) ),(13221333212322313221332312332211baaabaaabababaaaabDx ),(13121333211323113211331231332112abaaabbaabaaaababaDx ).(13122132112322113221131212322113aabbaaabaaabababaaDx 为为方方便便记记，我我们们引引进进三三阶阶行行列列式式 它它是是由由九九个个数数排排成成三三行行、三三列列的的一一个个方方块块， 其其值值是是六六项项的的 代代数数和和， 每每一一项项均均为为不不同同行行不不同同列列的的三三个个元元素素之之积积再再冠冠以以 适适当当的的正正负负号号 312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 例例 211325132D 8 59306228. 当当 0333231232221131211aaaaaaaaaD时时， 方方程程组组(1.6)有有惟惟一一解解： DDx11， DDx22， DDx33， 其其中中 3332323222131211aabaabaabD ,3333123221131112abaabaabaD,3323122221112113baabaabaaD 利利用用三三阶阶行行列列式式，三三元元线线性性方方程程组组(1.6)解解的的结结果果可可写写为为： 例例 2 解线性方程组解线性方程组 . 423, 1523, 02321321321xxxxxxxxx 解解 因因 , 028231523112D 以上求解线性方程组的方法称为克拉默以上求解线性方程组的方法称为克拉默（Cramer）法则法则 故故方程组方程组有有惟一解惟一解 ,132345211101D ,28231523112D ,472415131022D .214311230123D 方程组方程组的的惟一解惟一解为为： ,28131x28472x，28213x 补补充充定定义义一一阶阶行行列列式式为为 1111aa 二二阶阶行行列列式式的的定定义义可可以以表表述述为为： 2112221122211211aaaaaaaaD 下下面面我我们们对对上上述述定定义义的的二二阶阶、三三阶阶行行列列式式做做一一分分析析 21122211aaaa 注注意意 一一阶阶行行列列式式11a就就等等于于11a 三三阶行列式的定义可以表述为：阶行列式的定义可以表述为： 312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 3332232211aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 2112221122211211aaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3332232211aaaaa 3331232112aaaaa 3231222113aaaaa 它它们们的的规规律律是是：把把该该行行列列式式的的第第一一行行诸诸元元素素分分别别乘乘以以划划去去该该元元素素所所在在的的行行和和列列之之后后剩剩下下的的低低一一阶阶行行列列式式，前前面面冠冠以以正正、负负相相间间的的符符号号，最最后后求求其其代代数数和和 按按照照此此规规律律，利利用用递递归归方方法法可可逐逐次次定定义义四四阶阶行行列列式式、五五阶阶行行列列式式等等等等 本节完本节完
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