总复习信号与线性系统必过知识点

信号与线性系统信号与线性系统总复习总复习内容回顾 1、信号分析时域：信号分解为冲激信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合时域：信号分解为脉冲序列的线性组合频域：不作要求z域：信号分解为不同频率复指数的线性组合连续信号离散信号信号分析抽样内容回顾 2、系统分析连续系统离散系统系统分析时域：频域：复频域：系统的描述：线性常系数微分方程系统响应的求解)(*)()(thtetyzs)()()(jHjEjYzs)()()(sHsEsYzs系统的描述：线性常系数差分方程系统响应的求解时域：频域：复频域：)(*)()(khkekyzs不作要求)()()(zHzEzYzs1 连续信号的时域描述及运算1.1 冲激信号的性质冲激信号的性质dttttf)()(0)(at)(*)(0tttf)()(0tttf)(t筛选：取样：展缩：卷积：与阶跃的关系：)2()sin()(1tttf：计算例)2()2sin()2()sin()(ttttf解：41)2)(42(2dttt：计算例4141)2)(21(41)2)(42(dtttdttt解：0注意积注意积分区间分区间)2(t1. 2 信号的运算信号的运算2）时移：时移：y(t)=f (t-to) 3）倒相：倒相：y(t)=-f (t) 当当0a1时：时： y(t)压缩压缩f(t) 的的1/a倍倍.4）展缩：展缩：y(t)=f (at) 其中：其中：a0 注意：注意：)12(tf折叠后是折叠后是不是不是)12( tf)21(tf)2( tf右移右移2后是后是不是不是)42()2(2(tftf)22(tf)2( tf压缩压缩2后是后是不是不是)22(tf)42(tf例：已知例：已知f(1-2t)如图所示，求如图所示，求f(t) 的波形。的波形。)21 (tf13t0) 2(1折叠折叠tt展宽展宽tt21右移右移1tt1t0) 2(1) 12 ( tf32t01) 4() 1( tf61t01) 4() (tf51）齐次性）齐次性2）叠加性）叠加性4）时不变性）时不变性3）线性）线性5）微分性）微分性6）积分性）积分性7）因果性）因果性)()(trte)()(tartae)()(11trte)()(22trte)()()()(2121trtrtete)()()()(2121tbrtartbetae)()(trte)()(00ttrtte)()(trte)()(trtedttdrdttde)()(ttdrde)()(0)(:00)(:0trttet1. 3 连续时间系统的概念连续时间系统的概念线性时不变系统线性时不变系统性时不变系统。试确定该系统是否为线输出关系为：一连续时间系统输入例22)(1)()( -1TtTtdeTteTtr解：所以该系统是线性系统统微、积分系统是线性系02200,)(1)(txdteTtteTTtTt令222200000)(1)(1)(TttTttTttTttdeTdxxeTtteT则：)()(1)(022000tteTdeTttrTttTtt而变系统。所以该系统是线性时不例例2： 已知某线性时不变系统：已知某线性时不变系统：求：求：（1）激励激励e(t)=0，初始状态，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时的响应时的响应r3(t)=？ （2）激励激励e(t)=2 (t)，初始状态为零时的响应，初始状态为零时的响应r4(t)=？ 当激励当激励e(t)= (t) ，初始状态，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时，时，响应响应r1(t)=(6e-2t -5e-3t) (t)； 当激励当激励e(t)=3 (t) ，初始状态保持不变时，响应，初始状态保持不变时，响应r2(t)=(8e-2t -7e-3t) (t)。 当激励当激励e(t)= (t) ，初始状态，初始状态x1(0-)=1， x2(0-)=2时，时，响应响应)()()(1trtrtrzszi=6e-2t -5e-3t当激励当激励e(t)= 3(t) ，初始状态保持不变时，响应，初始状态保持不变时，响应)(3)()(2trtrtrzszi=8e-2t -7e-3t可得可得 rzs(t) =e-2t -e-3trzi(t) =5e-2t -4e-3t所以，所以，响应响应 r3(t)=rzi(t) =5e-2t -4e-t r4(t) =2rzs(t) =2e-2t -2e-3t解解:2、连续时间系统的时域分析系统传输算子和自然频率时域零输入响应连续系统冲激响应与阶跃响应卷积积分时域零状态响应：卷积分析法2.1 求解系统零输入响应的一般步骤求解系统零输入响应的一般步骤:1 1）求系统的自然频率；）求系统的自然频率；2 2）写出零输入响应）写出零输入响应r rzi zi(t (t) )的通解表达式的通解表达式；3 3）根据电路定理求出系统的初始值）根据电路定理求出系统的初始值 ：)0(),0(),0()1( nzizizirrr4 4） 将初值带入将初值带入r rzi zi(t (t) )的通解表达式，求出待定系数。的通解表达式，求出待定系数。例例1：已知某系统激励为零，初始值已知某系统激励为零，初始值r(0)=2， r(0)=1，r”(0)=0，描述系统的传，描述系统的传输算子为输算子为求系统的响应求系统的响应 r (t)。22)3)(1(382)(pppppH解：解：0)3p)(1p()p(D2系统时域响应为系统时域响应为11 1p3pp32 2ttttececectr333210)(210)0(ccr32103)0(cccr321069)0(cccr =2=1=05,4,6321ccc0546)(330tteeetrttta a）求传输算子）求传输算子H(p)H(p)；b b）如果）如果mn, mn, 用长除法将用长除法将H(p) H(p) 化为真分式；化为真分式；c c） H(p)H(p)部分分式部分分式；d d） 根据根据H(p)H(p)部分分式的各项，写出单位冲激响应部分分式的各项，写出单位冲激响应h(t)h(t)；求单位冲激响应的一般步骤求单位冲激响应的一般步骤2.2 单位冲激响应单位冲激响应 激励为单位冲激信号时系统的激励为单位冲激信号时系统的零状态响应零状态响应。)(t)(th2.3 卷积积分卷积积分1) 定义：定义：积分式：积分式：dtfftf)()()(21称为函数称为函数 f1(t)与与 f2(t) 的卷积，记作：的卷积，记作：)()()(21tftftf2) 卷积积分的计算卷积积分的计算利用定义计算利用定义计算 利用利用i）d(tff)(21ii）iii）iv）v）)(),(21tftf)(),(21ff（折叠）（折叠）)(2f)(2f（平移）（平移）（相乘）（相乘）)(2f)(2tf)()(21tff（积分）（积分）3) 卷积积分的性质卷积积分的性质卷积结果与交换两函数的次序无关。卷积结果与交换两函数的次序无关。 dtff)()(12 dtff)()(21 )()()()(1221tftftftf交换律交换律 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf)()()()()()(2121ththtfththtf)()()(TtfTttf)()()(tfttf)()()(00TttfTtttfa）求传输算子）求传输算子H(p)；b）求单位冲激响应）求单位冲激响应h(t) ；c） 计算卷积；计算卷积；2.4 求零状态响应的一般步骤求零状态响应的一般步骤3、连续时间系统的频域分析完备正交函数集的概念周期信号的傅立叶级数展开非周期信号的傅立叶变换傅立叶变换的性质3.1 常用完备正交函数集常用完备正交函数集1）三角正交函数集三角正交函数集t t) )s si in n( (n nt t) ), ,c co os s( (n n( t0，t0 +T ) , ,1 1, ,2 2, ,n n, 02）指数函数集指数函数集t tj jn ne e, ,2 2, ,1 1, ,n n, 0( t0，t0 +T ) 3.2 周期信号的傅里叶级数展开周期信号的傅里叶级数展开（1） f(t)为奇函数为奇函数（2） f(t)为偶函数为偶函数（3） f(t)为奇谐函数为奇谐函数（4） f(t)为偶谐函数为偶谐函数余弦分量余弦分量+直流分量直流分量奇次谐波奇次谐波偶次谐波偶次谐波+直流分量直流分量正弦分量正弦分量 周期信号频谱特点：周期信号频谱特点： 1）离散性）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成；频谱由频率离散而不连续的谱线组成； 2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍；）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍； 3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。（不发散不发散） )2(2nSaTAaAnn3.3 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换)()()(tfFdtetfjFtj)()(21)(1jFFdejFtftj象函数象函数原函数原函数 jFtf3.4 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质线性性质线性性质延时特性延时特性移频特性移频特性尺度变换特性尺度变换特性奇偶特性奇偶特性对称特性对称特性微分特性微分特性积分特性积分特性频域的微分积分特性频域的微分积分特性卷积定理卷积定理4、连续时间系统复频域分析拉氏变换：定义、性质典型信号拉氏变换求拉氏逆变换：利用部分分式法及变换性质复频域系统分析：电路的复频域模型复频域系统函数：H(s)系统稳定性判断4.1单边拉普拉斯变换的定义单边拉普拉斯变换的定义)()() t () t (f)(sFtftf变换对：对于有始信号，ROCsfsF，0stdte) t ()(0,)(21)(tdsesFjtfjjst4.2拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域)(Re( 0)(lim00setftt4.3 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换) s (D) s (N)(ssiiiiississississin1itsin1iii) s (Ddsd) s (Nssdsdlim) s (D) s (Nsslimkik) t (k) t (ssk)(或利用洛必塔法则，确定系数：sFefsF无重根）单阶（0D(s),ss / ii阶重根p,ss /iii利用利用部分分式法部分分式法和和性质性质。)(ssp1dsd!k-p1kssksskssk)ss (k)ss (k)ss (k)()ss ()ss ()ss () s (Dissk-pk-p1knn1p1p1121121 -p11 -p1p11pn1pp1sFsF 确定系数：4.4 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质性质时域复频域收敛域线性尺度时移频移)()(2211tfatfa)()(2211sFasFa),max()Re(21s0),(aatf)(1asFa0)Re( as0)()(000tttttf)(0sFest0)Re(s)(tfet)(sF0)Re(s性质时域复频域收敛域时域微分时域积分dttdf)()0()( fssF0)Re(s22)(dttfd)0()0()(2fsfsFs0)Re(sdft0)(ssF)()0 ,max()Re(0sdft)( sdfssF0)()0 ,max()Re(0s性质时域复频域收敛域频域微分时域卷积 时域乘积初值终值)(ttfdssdF)(0)Re(s)(*)(21tftf)()(21sFsF),max()Re(21s)()(21tftf)(*)(2121sFsFj21)Re(s)(lim)0(0tfft)(limssFs)(lim)(tfft)(lim0ssFs例例1:？，求求已已知知)()1()(2tfsesFs)()1()(0nttfnn例例2:)2()2() 1() 1(2)()(tttttttf？，求求已已知知)()1 (1)(tfessFs)21 (1)(22sseessF)1 (1)(32ssseeessF) 3() 2() 1()()(tttttf6116332)(232 ssssssF )3)(2)(1(3322 ssssssF 321321 sksksksF362511)( ssssF)(65)(32teeetfttt例例3:stet1)(根据例例4：3)1)(2(3)(ssssF2111)1(1)1(2)(23sssssF)(!212)(22teeteettftttt4.5 连续时间系统复频域系统分析连续时间系统复频域系统分析1）电）电 路基尔霍夫定律的复频域模型路基尔霍夫定律的复频域模型（1）KCL:u(t)=Ri(tu(t)=Ri(t) )U(s)=RI(s)U(s)=RI(s)2 ）电路元件的复频域模型）电路元件的复频域模型（2）KVL:（1）电阻元件）电阻元件0)(1nkkti0)(1nkksI0)(1nkktu0)(1nkksU（2）电容元件）电容元件dttduCti)()(0)()u(sU(s)CsI)(110sIsCs)u(U(s)1/Cs：运算容抗运算容抗Cu(0-)、 u(0-) /s：附加内电源附加内电源diCtut)(1)(或diCut0)(1)0()Cu(U(s)Cs01)(10sICss)u(（3）电感元件）电感元件dttdiLtu)()(0)()i(sI(s)LsULssUs)i(I(s)(0Ls：运算感抗：运算感抗Li(0-)、 i(0-) /s：附加内电源附加内电源duLtit)(1)(或duLit0)(1)0()Li(LsI(s)0基本步骤：基本步骤：1 1） 画画t=0t=0- -等效电等效电 路，求初始状态路，求初始状态2 2） 画画s s域等效模型域等效模型)()(sFtf3 3） 列列s s域电路方程（代数方程）域电路方程（代数方程）4 4） 解解s s域方程，求出域方程，求出s s域响应域响应5 5） 反变换求反变换求t t域响应域响应。3）复频域分析法）复频域分析法4.6 复频域系统函数复频域系统函数1）定义：）定义： 零状态响应象函数零状态响应象函数 sHth) 1)()()(sEsRsHzs 激励信号象函数激励信号象函数系统单位冲激响应的拉氏变换系统单位冲激响应的拉氏变换)()()(tethtrzs系统函数：系统函数：)()()(sEsHsRzs拉氏变换拉氏变换2）零状态下零状态下复频域电路模型复频域电路模型 H(s)（1）应用：）应用：2） 系统函数系统函数H(s)的应用的应用rzi(t):其中的常数其中的常数由初始状态确定由初始状态确定求系统零输入响应求系统零输入响应rzi(t): )(1sHLth)()()(sDsNsH(系统自然频率系统自然频率) )()(1sEsHLtrzs0)(sD求系统零状态响应求系统零状态响应rzs(t):求系统单位冲激响应求系统单位冲激响应 h(t):34)(2ssssH例：例： 线性时不变电路的模型如下，且已知激励线性时不变电路的模型如下，且已知激励i(t)=(t)，响应为，响应为u(t)，且，且iL(o-)=1A，uc(o-)=1V。 求求: 1) H(s)； 2) h(t)； 3) 全响应全响应u(t)。解：解：零状态分量零状态分量1) 零状态下求零状态下求H(s)ssI1)()()2123()(3teethtt3) 求全响应：求全响应：2）求单位冲激响应）求单位冲激响应 h(t) )()(1sIsHLtuzs)()2121(3teett) (1sI) (2sIVuzi3)0(零输入分量零输入分量ttziBeAetu3)( 全全响应：响应：BAuzi)0(1BAuzi3)0(3tzietu3)()()()(tututuzszi)()2121(33teeettt021213teett4.7 系统的稳定性分析系统的稳定性分析1 1）定义）定义（1) 1) 若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，若一个系统对于有界激励信号产生有界的响应，则该系统是稳定的。即：则该系统是稳定的。即：（2 2）稳定性准则（充要条件）稳定性准则（充要条件） 可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，可见，系统稳定性取决于系统本身的结构和参数，是系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。是系统自身性质之一。系统是否稳定与激励信号无关。yfMtyMtf)(,)(则则有有若若其中：其中：Mf ， My为有限正实常数为有限正实常数Mdtth)(M：有限正实常数：有限正实常数即：系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。即：系统的单位冲激响应绝对可积，则系统稳定。2 2）稳定性判断）稳定性判断（1）极点判断：）极点判断：)()()(sDsNsH0)(sDH(s)极点全部位于极点全部位于s左半平面：左半平面： 系统稳定系统稳定含有含有j 轴轴单极点，其余单极点，其余位于位于s左半平面：左半平面：系统临界稳定系统临界稳定含有含有s右右半平面或半平面或j 轴重极点轴重极点： 系统不稳定系统不稳定 由系统极点判断由系统极点判断（2）霍尔维茨（）霍尔维茨（Hurwitz）判断法）判断法：0111)(asasasasDnnnn成为霍尔维茨多项式成为霍尔维茨多项式必要条件：必要条件： （a）系数无缺项；）系数无缺项；（b）ai0 i=0,1,n D(S)=0所有的根均在所有的根均在S平平面的左半平面，称面的左半平面，称D(S)为为霍尔维茨多项式。霍尔维茨多项式。 (由由H(s)分母多项式判断分母多项式判断)系统稳定充要条件：系统稳定充要条件：D(S)为霍尔维茨多项式。为霍尔维茨多项式。(a)、(b)是一、二阶系统稳定充要条件。是一、二阶系统稳定充要条件。稳定条件：A 0 、 B0BAss21ii/首列元素有变号时，有根在右半平面，个数为变号次数。首列元素有变号时，有根在右半平面，个数为变号次数。（3）罗斯（）罗斯（Routh）判断法：）判断法：（a）D(s)满足必要条件；满足必要条件；（b）排列罗斯阵列（）排列罗斯阵列（排到排到n+1行行)；（c）罗斯准则：）罗斯准则：i/阵列中首列阵列中首列元素同号时，元素同号时，其根全位于其根全位于s左左半平面。半平面。0321sssssnnnn42nnnaaa531nnnaaa531nnnbbb531nnnccc312111nnnnnnaaaaab514131nnnnnnaaaaab3131111nnnnnnbbaabc5151131nnnnnnbbaabcAs1125265是否稳定？5228)(234sssssD52801234sssss2不稳定5、离散时间系统的时域分析取样定理离散时间系统的描述和模拟离散时间系统的时域响应5.1 5.1 取样定理取样定理ms25.2 5.2 离散时间系统的描述和模拟离散时间系统的描述和模拟mllniilkebikya00)()(描述：差分方程描述：差分方程模拟：模拟：Da 对于一般差分方程，由于对于一般差分方程，由于mn，取极限情况，取极限情况m=n时，时，可用下面方法模拟：可用下面方法模拟： )()()()()() 1() 1()k(q0011mkqbkqbkykekqakqankqanmn当mn时，可得bm+1，bn=0 5.3 5.3 离散时间系统的时域响应离散时间系统的时域响应零输入：零输入：零状态响应：零状态响应：0,)()(10111kvckavavavkykiniinnn0)(112211kvcvckckakckykjnrjjkrrrrr0k )(*)(h)(h*)()k(yzslelllenikiiniiikvkkhvsksDsNsH111) 1()()()()()(nikiiniikvkkhvsssDsNsH11)()()()()()(系统全响应求解系统全响应求解 y(k)=yzi(k)+yzs(k) 通常所给初始值，在没有特别说明的情况下，通常所给初始值，在没有特别说明的情况下，应该是系统全响应的初始条件。应该是系统全响应的初始条件。统作用而引起的零状态时外加激励对系零输入时的初始条件初始条件6、离散时间系统的Z域分析z变换定义及收敛域z变换的性质反z变换离散时间系统的z变换分析法离散时间系统的稳定性判定6.1 Z6.1 Z变换及其收敛区变换及其收敛区 单边单边ZTZT0)()(kkZkfZF左边序列：左边序列：双边序列：双边序列：收敛域收敛域右边序列：右边序列：0)Re(z)Im(zja)Re(z)Im(zj0a6.2 Z6.2 Z变换的性质变换的性质 序号性质名称Z变换1线性性质2移序性质10)()()(n)f(kniinzifzFzk左移：)()()()()()(22112211zFazFakkfakkfa)()()(. 0)(, 0zFzknkfkfkn右移：对于有始序列，序号性质名称Z变换3 尺度变换4Z域微分5卷积定理6初值定理7终值定理)()()(zFdzdzkkf)0)()(aazFkfak zFzFkfkf2121)(*)()(lim)0(zFfz)() 1(lim)(1zFzfz6.3 6.3 反反Z Z变换变换幂级数法幂级数法部分分式法部分分式法围线积分法围线积分法6.4 6.4 离散时间系统的离散时间系统的Z Z变换分析法变换分析法6.5 6.5 离散时间系统的稳定性（罗斯判据）离散时间系统的稳定性（罗斯判据）零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应全响应全响应0)11()(0)(,11 DGzDz域中方程：可得，代入双线性变换：根据初根据初始条件始条件选择方选择方法法