三角函数恒等变换知识点总结

高考网 高考网 高考网 三角函数三角恒等变换知识点总结-、角的概念和弧度制：(1) 在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在 X轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的 角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。(2) 与:-角终边相同的角的集合：=360k * ,k Z或C H = 2k : , Z与角终边在同一条直线上的角的集合： ；与：角终边关于 x轴对称的角的集合： ；与：角终边关于 y轴对称的角的集合： ；与角终边关于 y = x轴对称的角的集合： ；一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；终边在四个象限的平分线上角的集合： ；(3) 区间角的表示： 象限角： 第一象限角： ; 第三象限角： ；第一、三象限角： ； 写出图中所表示的区间角：(4) 正确理解角：要正确理解“ 0o90间的角” =；“第一象限的角” =； “锐角” =；“小于90的角” =；a(5) 由的终边所在的象限，通过 来判断一所在的象限。2来判断一所在的象限3(6) 弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角:-的弧度数的绝对值| ： | =丄，其中|为以角作为圆心角时所对圆弧的长,rr为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。(7) 弧长公式： ;半径公式： ;扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：(1) 任意角的三角函数定义：以角:-的顶点为坐标原点，始边为 X轴正半轴建立直角坐标系，在角 :-的终边上任取一个 异于原点的点 P(x, y)，点P到原点的距离记为 r，则sin =； cos二=tan：二； cot：二； sec：二； esc：二；女口：角的终边上一点(a,-.3a)，则cos工-2sin=。注意r0(2) 在图中画出角:-的正弦线、余弦线、正切线；高考网 高考网 高考网 高考网 3T比较(0,)， sinx， tanx， x的大小关系： 2(3)特殊角的三角函数值:a0316714313JI2313兀2si ncos atan。cota三、同角三角函数的关系与诱导公式:(1)同角三角函数的关系倒数关系平方关系tan_：i cot_：:=1sin2 -：i + cos2 二=1 , 1+tan2爲=2cos2 aw !sin -商数关系sin :=tan 二cos-作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。(2) 诱导公式：2k 二：=n +ot n a二-? = ?:ji2ji-:- :2 3 二- :23: .:2、的三角函数奇变偶不变，符号看象限诱导公式可用概括为:作用：“去负一一脱周一一化锐”，是对三角函数式进行角变换的基本思路即1 3 i2K 二 ，-用，一 二，二 J 二的三角函数2 2利用三角函数的奇偶性将负角的三角函数变为正角的三角函数一一去负；利用三角函数的周期性将任意角的三角函数化为角度在区间0,360 )或0,180)内的三角函数脱周；利用诱导公式将上述三角函数化为锐角三角函数一一化锐.(3) 同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以 讨论。求任意角的三角函数值。步骤:公式二、四、五、六、七、八、九已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个.高考网 高考网 步骤： 确定角:-所在的象限； 如函数值为正，先求出对应的锐角二；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角宀; 根据角:所在的象限，得出0 2二间的角一一如果适合已知条件的角在第二限；则匕是眞-.笛；如果在第三或第四象限，则它是 /二1或2蔥-总1 ； 如果要求适合条件的所有角，再利用终边相冋的角的表达式写出适合条件的所有 角的集合。如 tan : - m ,贝U s i n 二, cos ：；sin() = ；215 二cot( a) =。2注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：(3 , 4 , 5) ; ( 6, 8 , 10) ; ( 5 , 12, 13);(8，15，17)；四、三角函数图像和性质1.周期函数定义定义对于函数f (x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f (x TH f (x)都成立，那么就把函数f (x)叫做周期函数,不为零的常数T32.高考网 32.高考网 叫做这个函数的周期.请你判断下列函数的周期y 二 sinxy = cosxy =| cosx |y = cos | x |y=ta n xy=ta n |x|y=|ta n x|y 二 sin | x |k例 求函数f(x)=3sin ( x )( k = 0)的周期。53并求最小的正整数k,使他的周期不大-2tt 10依题意，0W即(亘中川=0, 3 = 0)的周期为*(罟丢1,二代谆使这个不等式咸立的最，卜正整魏为注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数高考网 32.高考网 f(x) = c (c为常数)是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期.结论：如函数f (x k) = f (k)对于任意的R，那么函数f(x)的周期T=2k;如函数f (x k)二f (k 一 x)对于任意的x R ,那么函数f(x)的对称轴是xx k) (kk2 .图像j= smxj=cosry tanxy= cotx團象Jy17AX0 ： p :J :? 1出一定文域2J(帧nn+s)佰域r -taiL-1J(+)(J +*)最；小 值 ()当 r=2ki+ -2时1；时，1 ；当-2时f 1 当r= 时.FwMWr= 1 ? 当范= 2h+ifi也Jam 1无无哥离性奇函数偶函数奇函数奇函数周期性1r=2nT=2tic卫r=7i有界性有界有界无畀无界单调性&EZ)在L寸,2帧+兰上都2 是噌函数， 在卫舸+二22*1+ 上都2 是减函数在就一 l)i,2知上都是增函 数,在珈(肚+1网上 韶是碱函数在(负一-,2H+兰)內都2 是增函数在(htpfcn+ 堤减函 数3、图像的平移高考网 高考网 对函数y= Asin（ 3 x +9） + k （ A0, 30,0 , kO）,其图象的基本变换有: 振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的.A 1,伸长；Av 1,缩短.周期变换（横向伸缩变换）:是由3的变化引起的.3 1，缩短；3 V 1,伸长.相位变换（横向平移变换）:是由0的变化引起的. 上下平移（纵向平移变换）:是由k的变化引起的. 0,左移；k 0,上移;V 0,右移. k v 0,下移四、三角函数公式:倍角公式I11 U UIA11 MiM 1*1 U MI laUU I IWil：IBIMM IUM4 G IMiWIBIMBI I UMi两角和与差的三角函数关系sin（ ： 二）=sin、； cos I-：二 cos、 sin-cos（、乂 二 r）=cos.二 cos ：- sin 工 sin I;-sin2 二=2sin _：i cos 二2 2cos2 _：i =cos 二-sin :-2 2=2cos a -1=1-2sin a2ta nata n2 =21 - ta n a1 二 tan ： tan -sin .：sin Jj1cos “ = sin（、； + l ）+sin（、 - l ）21sin ” = sin（、； +）-sin（、； - ）21cos : = cos（二 + ，- ）+cos（ 一:：-:）21sin L： = - cos（+，）-cos（ _：i -：l ）2半角公式i1 - cosaa：1+ cosasin= J,cos=土屮2 22 2a 亠1 - cos1 - costsi natan=片2 1 + cosasi na1 + cost升幂公式和差化积公式sin+sin I；-=sin -：-sin : =2COSa + P a - P2si ncos2 2a + P a _ Psin =2 2R a + P a - Pcos -： +cos - = 2 coscos2 2R . a + P . a - Pcos、*-cos - = - 2sinsin2 21 22 a1+cos- = 2 cos 22 口1-cos、f=2s in 2a1 土sin ： =（sin 士21=sin2 二 + cos2 -2COS）2aasin ： = 2 sin cos22降幂公式tan -：匚 + cot 二=sin ： cos:tan _：l - cot J = -2cot2 二sin 2:sin2 1 - cos 2：cos221 cos2：高考网 2 G1+cos -： = 2 cos22 1-cos“ = 2sin 一2a_a21 sin=（ sin COS ）22 22sin2 a + cos2a =1高考网 www.gaokao.cosin -：i cos_, = sin 2工2高考网 三倍角公式：33sin3)- 3sin - 4sin ； cos3v - 4cos v -3cosv ；五、三角恒等变换:三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：(1)角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角 之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使 问题获解，对角的变形如：3 -2是的二倍；是2 的二倍；:-是一的二倍；是一的二倍；3：是的二2242Ot OLJTHT倍；一是一的二倍；一_2是一:-的二倍。362415o= 45-30o= 60o -45o30问：sin:cos21212：=(:)-兀: 一 ：(f-:)；424 2=(： 亠卩)(-)=()-()；等等4 4(2) 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是 基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。(3) 常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常 数“ 1”的代换变形有：1 =si n2：、cos2： -sec2： -ta n2 ： = ta n ： cot ： = si n90=ta n45o(4) 幕的变换：降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处理的方法。常用降幕公式有： ； 。降幕并非绝对，有时需要升幕，如对无理式.1 cos 常用升幕化为有理式，常用升幕公式 有：；(5) 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。1 tan1 -tan ：1 -1 a n? 1 +ta ntan a +tan P =:1 - tan ： tan :tan -tan P =:1 + tan a tan P2ta n：二2:1 - ta n =高考网 高考网 tan20 tan 403ta n20ta n40 =；sint cos： -=；as in 二亠 bcos： -=；(其中 tan =；)1 cos： -； 1-cos =)(6) 三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幕”四方面入手；1 li IB -I.“ = - _ - -I-11. Li. - -i- - -11- - - - 1 - - - -1-1-、-基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有 理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。女口： sin50(1、3tan10) =； tan： - cot =兀2兀4兀CO 丁 cos C0L 二；999兀3兀5兀coscoscos；推广：7772 二 4 二6 :cos cos cos;推广：777广州卓越教育：广州卓越教育个性化辅导中心，华南地区领先的教育品牌，教师一对一课外辅导 全城之最！提供各年级文化课、奥数、奥英等课外辅导。在这里，孩子将得到前所未有的辅导与 关爱！高考网