全国通用高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题8 平面向量含解析

高考数学精品复习资料 2019.5 【走向高考】 （全国通用）【走向高考】 （全国通用）20 xx20 xx 高考数学二轮复习高考数学二轮复习 第一部分第一部分 微专题微专题强化练强化练 专题专题 8 8 平面向量平面向量 一、选择题 1设xR R，向量a a(x,1)，b b(1，2)，且a ab b，则|a ab b|( ) A. 5 B. 10 C2 5 D10 答案 B 解析 本题考查向量的模及垂直问题 a ab b，a ab b0，x20，x2， a ab b(3，1)，|a ab b| 10. 方法点拨 1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一， 此类题常见命题形式是：考查坐标表示；与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决 2点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别 3注意垂直与平行的坐标表示不要混淆 2(文)(20 xx新课标理，3)设向量a a、b b满足|a ab b| 10，|a ab b| 6，则a ab b( ) A1 B2 C3 D5 答案 A 解析 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积 |a ab b| 10，|a ab b| 6，a a2b b22abab10，a a2b b22abab6. 联立方程解得abab1，故选 A. (理)设向量a a，b b满足|a a|2，a ab b32，|a ab b|2 2，则|b b|等于( ) A.12 B1 C.32 D2 答案 B 解析 |a ab b|2|a a|22a ab b|b b|243|b b|28，|b b|1. 3(文)(20 xx四川文，2)设向量a a(2,4)与向量b b(x,6)共线，则实数x( ) A2 B3 C4 D6 答案 B 解析 由向量平行的性质，有x，解得x3，选 B. 方法点拨 若a a与b b都是非零向量0， 则a ab b0a a与b b共线； 若a a与b b不共线，则a ab b00，a a(x1，y1)与b b(x2，y2)共线x1y2x2y10 x1y1x2y2(y1y20) (理)(20 xx新课标文，2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC( ) A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4) 答案 A 解析 本题主要考查平面向量的线性运算 BCBAAC(3，1)(4，3)(7，4)故本题正确答案为 A. 4(20 xx北京文，6)设a a，b b是非零向量，“ab“ab|a|b|”|a|b|”是“ab”“ab”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 A 解析 考查充分必要条件、向量共线 abab|a|b|a|b|cosa a，b b ，由已知得 cosa a，b b1 1，即a a，b b0 0，ab.ab.而当abab时， a a，b b还可能是 ，此时abab|a|b|a|b|，故“ab“ab|a|b|”|a|b|”是“ab”“ab”的充分而不必要条件 5 5(文)如果不共线向量a a、b b满足 2|a a|b b|， 那么向量 2a ab b与 2a ab b的夹角为( ) A.6 B.3 C.2 D.23 答案 C 解析 (2a ab b)(2a ab b)4|a a|2|b b|20， (2a ab b)(2a ab b)，选 C. (理)若两个非零向量a a、b b满足|a ab b|a ab b|2|a a|，则向量a ab b与a ab b的夹角是( ) A.6 B.3 C.23 D.56 答案 C 解析 解法 1：由条件可知，a ab b0，|b b| 3|a a|， 则 cosa ab ba ab b|a ab b|a ab b|a a2b b2a a22a a24a a21223. 解法 2：由向量运算的几何意义，作图可求得a ab b与a ab b的夹角为23. 方法点拨 两向量夹角的范围是0，a ab b0 与a a，b b为锐角不等价；a ab b0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使(OPOF2)F2P0，O为坐标原点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C2 D. 5 答案 D 解析 由(OPOF2)F2P0，得(OPOF2)(OPOF2)0，即|OP|2|OF2|20，所以|OP|OF2|c， 所以PF1F2中， 边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半， 则PF1PF2， 即|PF1|2|PF2|24c2，又|PF1|2|PF2|，解得|PF1|45c，|PF2|25c. 所以|PF1|PF2|25c2a，所以 eca 5. 二、填空题 11(文)在边长为 1 的正三角形ABC中，设BC2BD，CA3CE，则ADBE_. 答案 14 解析 如图，令ABa a，ACb b，AD12(a ab b)，BEBCCE(b ba a)b b3 23b ba a， ADBEa a2b b223b ba a 13a ab b|a a|22|b b|2312a ab b |b b|23|a a|2216a ab b1312161214. (理)(20 xx天津文，13)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60 .点E 和F 分别在线段BC 和DC 上， 且BE23BC，DF16DC， 则AEAF 的值为_ 答案 2918 解析 考查平面向量的数量积 如图，O为AB的中点，设A Oa a，A Db b，则|a a|b b|1 且a ab b12，根据梯形的性质可得D CA Oa a，B CO Db ba a.所以A EA BB EA B23B C2a a23(b ba a)43a a23b b.A FA DD FA D16D C16a ab b.所以A EA F4 43 3a a2 23 3b b 1 16 6a ab b29a a2139a ab b23b b22918. 12(文)已知单位向量e e1与e e2的夹角为，且 cos13，向量a a3e e12e e2与b b3e e1e e2的夹角为，则 cos_. 答案 2 23 解析 本题考查平面向量数量积的性质及运算 依题意e e1e e2|e e1|e e2|cos13，|a a|29e e2112e e1e e24e e229，|a a|3， |b b|29e e216e e1e e2e e228，a ab b9e e219e e1e e22e e228，|b b|2 2， cosa ab b|a a|b b|832 22 23. (理)如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若OCmOAnOB，则mn的取值范围是_ 答案 (1,0) 解析 根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则ODtOC. D在圆外，t1， 又D、A、B共线，存在、，使得ODOAOB，且1，又由已知，OCmOAnOB， tmOAtnOBOAOB， mn1t，故mn(1,0) 13(20 xx安徽文，15)ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量a a，b b满足AB2a a，AC2a ab b，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号) a a为单位向量； b b为单位向量； a ab; b; b bBC； (4a ab b)BC. 答案 解析 考查 1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质 等边三角形ABC的边长为 2，AB 2a2a， |AB |2|a a|2|a a|1， 故正确； AC AB BC 2a aBC ，BC b b|b b|2，故错误，正确；由于AB 2a a，BC b ba a与b b夹角为 120，故错误；又(4a4ab b)BC (4a4ab b)b b4ab4ab|b|b|2412(12)40，(4a4ab b)BC ，故正确，因此，正确的编号是. 14(文)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设ADa a，ABb b，若AB2DC，则AO_(用向量a a和b b表示) 答案 23a a13b b 解析 据题意可得ACADDCAD12ABa a12b b，又由AB2DC，可得AO23AC23(a a12b b)23a a13b b. (理)已知O为坐标原点，点M(3,2)，若N(x，y)满足不等式组 x1，y0，xy4.则OMON的最大值为_ 答案 12 解析 据不等式组得可行域如图所示： 由于zOMON3x2y， 结合图形进行平移可得点A(4,0)为目标函数取得最大值的最优解即zmax342012. 三、解答题 15(文)已知向量a a(cos，sin)，0，向量b b( 3，1) (1)若a ab b，求的值； (2)若|2a ab b|m恒成立，求实数m的取值范围 解析 (1)a ab b， 3cossin0，得 tan 3. 又0，3. (2)2a ab b(2cos 3，2sin1)， |2a ab b|2(2cos 3)2(2sin1)2 88(12sin32cos)88sin(3) 又0，33，23， sin(3)32，1， |2a ab b|2的最大值为 16，|2a ab b|的最大值为 4. 又|2a ab b|4. (理)在ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c. (1)设向量x x(sinB，sinC)，向量y y(cosB，cosC)，向量z z(cosB，cosC)，若z z(x xy y)，求 tanBtanC的值； (2)若 sinAcosC3cosAsinC0，证明：a2c22b2. 解析 (1)x xy y(sinBcosB，sinCcosC)， z z(x xy y)， cosB(sinCcosC)cosC(sinBcosB)0， 整理得 tanCtanB20， tanCtanB2. (2)证明：sinAcosC3cosAsinC0， 由正、余弦定理得：aa2b2c22ab3b2c2a22bcc0， a2c22b2. 16(文)已知向量a a(sinx2，12)，b b(cosx2，12)(0，x0)，函数f(x)a ab b的第n(nN N*)个零点记作xn(从左向右依次计数)，则所有xn组成数列xn (1)若12，求x2； (2)若函数f(x)的最小正周期为 ，求数列xn的前 100 项和S100. 解析 f(x)a ab bsinx2cosx21412sinx14. (1)当12时，f(x)12sin(12x)14， 令f(x)0，得x4k3或x4k53(kZ Z，x0)，取k0，得x253. (2)因为f(x)最小正周期为 ，则2， 故f(x)12sin2x14， 令f(x)0 得xk12或xk512(kZ Z，x0)， 所以S100k049(k12)(k512) k049 (2k2)2(01249)502 5049252475. 方法点拨 1.不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，则建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理 2向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法 (理)(20 xx太原市一模)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率 e12，点P为椭圆上的一个动点，PF1F2内切圆面积的最大值为43. (1)求a，b的值； (2)若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足F1AF1C，F1BF1D，ACBD0，求|AC|BD|的取值范围 解析 (1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，PF1F2内切圆面积取最大值，设PF1F2内切圆半径为r，则 r243，r2 33， 此时SPF1F212|F1F2|OP|bc， 又SPF1F212(|F1F2|F1P|F2P|)r 2 33(ac)， bc2 33(ac)，eca12，a2c， b2 3，a4. (2)F1AF1C，F1BF1D，ACBD0，直线AC与BD垂直相交于点F1， 由(1)得椭圆的方程为x216y2121，则F1的坐标为(2,0)， 当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得|AC|BD|6814， 当直线AC斜率k存在且k0 时，则其方程为yk(x2)，设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则点A，C的坐标是方程组 ykx，x216y2121的两组解 (34k2)x216k2x16k2480. x1x216k234k2，x1x216k24834k2， |AC| 1k2|x1x2|k234k2. 此时直线BD的方程为y1k(x2) 同理，由 y1kx，x216y2121，可得|BD|k23k24. |AC|BD|k24k23k23k24 k22k2k2. 令tk21(k0)，则t1，|AC|BD|16812t1t2， t1，0t1t214，|AC|BD|967，14 ， 由可知，|AC|BD|的取值范围是967，14 .