专题60 化角为边法判断三角形的形状(解析版)

专题60 化角为边法判断三角形的形状一、单选题1在中，角，所对的边分别为，且，则的形状是（ ）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【答案】B【分析】利用正弦定理，边角互化，转化为边的关系，再化简判断三角形的形状.【详解】因为，利用正弦定理边角互化，得到，所以，所以，即，则是直角三角形.故选：B2在中，若，则的形状一定是（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D不能确定【答案】A【分析】根据题中条件，先得到，利用正弦定理，即可得出结果.【详解】由可得，即，因为为的内角，所以，因此，由正弦定得有，故为等腰三角形.故选：A.3在中，若，则的形状一定是（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以三角形是直角三角形.故选：B【点睛】方法点睛：判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边.在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理.4在中，角、所对的边分别为、，且，若，则的形状是（ ）A等腰且非等边三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形【答案】C【分析】先根据余弦定理可知，再利用边角互化，以及条件证明，从而判断的形状.【详解】根据余弦定理可知，因为，所以，根据正弦定理可知，所以，所以，则的形状是等边三角形.故选：C5在中，若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正弦定理进行角化边可得是以为直角的直角三角形，进而得解.【详解】，由正弦定理得：，所以是以为直角的直角三角形，故.故选：C.6在中，角所对的边分别为.且则是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D无法确定【答案】A【分析】由条件利用正弦定理可得，利用余弦定理可得角为钝角，可得答案.【详解】由可得由正弦定理可得：由余弦定理可得： ，又 所以角为钝角.故选：A7在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（ ）A直角三角形B等腰三角形C锐角三角形D等腰或直角三角形【答案】A【分析】由条件和余弦定理可得，然后化简可得答案.【详解】因为，所以由余弦定理可得，即所以，所以三角形的形状为直角三角形故选：A8若，且，那么是（ ）A直角三角形B等腰直角三角形C等腰三角形D等边三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再利用正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可得，即可求出角，进而可得角，即可判断出的形状.【详解】由余弦定理得推论可得，因为，所以，因为，由正弦定理可得：，整理可得：，所以，所以或，因为，所以，所以，所以是等腰直角三角形，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟练运用余弦定理得推论求出角，运用正弦定理化边为角求出角和角的关系，求出角，判断三角形形状的关键就是化边为角或化角为边.9已知的三个内角，所对的边分别为，满足，且，则的形状为（ ）A等边三角形B等腰直角三角形C顶角为的非等腰三角形D顶角为的等腰三角形【答案】D【分析】利用平方关系式和正弦定理得，根据余弦定理求出，再根据求出，从而可得解.【详解】因为，所以，所以，根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，由得，得，得，得，得，因为为三角形的内角，所以，所以为顶角为的等腰三角形.故选：D【点睛】思路点睛：判断三角形形状从两个方面入手：利用正余弦定理角化边，利用边的关系式判断形状，利用正余弦定理边化角，利用角的关系式判断形状.10在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）A若，则B若，则是等腰三角形C若，则是直角三角形D若，则是锐角三角形【答案】C【分析】对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A错；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确；对D，首先根据余弦定理得到为锐角，但，无法判断，故D错误.【详解】对选项A，故A错；对选项B，因为所以或，则是等腰三角形或直角三角形.故B错误；对选项C，因为，所以，即，即，因为，所以，是直角三角形，故C正确；对D，因为，所以，为锐角.但，无法判断，所以无法判断是锐角三角形，故D错误.故选：C.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查三角函数恒等变换，属于常考题型.11在中，内角，的对边分别是、，若，则的形状是（ ）A等腰三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由，根据正弦定理求得，进而得到或，即可求解.【详解】因为，可得，由正弦定理得，即，又因为，则，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角形的形状的判定，以及正弦定理的应用，其中解答中合理利用正弦定理和正弦的倍角公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12的内角，的对边分别为，.若，则为（ ）.A等腰直角三角形B等腰或直角三角形C直角三角形D等腰三角形【答案】D【分析】由题意结合余弦定理化简得，即可得解.【详解】由结合余弦定理可得，化简得，即，所以为等腰三角形.故选：D.【点睛】本题考查了利用余弦定理判断三角形形状的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.13已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（ ）A直角三角形B等腰直角三角形C等边三角形D钝角三角形【答案】C【分析】根据三角形中三个角依次成等差数列，可得；由三边成等比，可得，代入余弦定理可求得关系，结合三角形判定方法即可得解.【详解】中，三内角依次成等差数列，则，因为，则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选：C.【点睛】本题考查了等差中项与等比中项的简单应用，余弦定理求边的关系，三角形形状的判断，属于基础题.14中，角，的对边分别为，若，则的形状为（ ）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】利用正弦定理、余弦定理将角化为边，即可得到之间的关系，从而确定出三角形的形状.【详解】因为，所以，所以，所以，所以三角形是等腰三角形，故选：B.【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形的形状，难度一般.本例还可以直接利用，通过三角函数值找到角之间的联系从而判断三角形形状.15在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（b+c+a）（b+c-a）=3bc，则ABC 的形状为（ ）A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形【答案】C【详解】由及正弦定理得，即三角形ABC为等腰三角形又由,得，所以由余弦定理得，又，所以综上，三角形为等边三角形.故选：C16在中，已知，则该的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰或直角三角形【答案】D【分析】运用正弦定理以及化切为弦，将已知等式化为，结合角的范围，即可得出结论.【详解】化为，至少有一个是锐角，或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.故选:D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，以及三角恒等变换判定三角形形状，由三角函数值确定角要注意角的范围，属于中档题.17在中，则一定是( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D以上都有可能【答案】B【分析】利用正弦定理及余弦定理可得，整理可得的关系，进而判断三角形的形状.【详解】，由正弦定理及余弦定理可得，是直角三角形.故选：B【点睛】本题主要考查了综合利用正弦定理与余弦定理判断三角形的形状，考查了学生的运算求解能力.18已知的内角的对边分别为，则一定为（ ）A等腰三角形B钝角三角形C锐角三角形D等腰直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理角化边，即可得出答案.【详解】由结合正弦定理得，,从而.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角函数的形状，属于基础题.熟记正弦定理是解本题的基础.19在中，（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则的形状为（ ）A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【答案】B【分析】由二倍角公式和余弦定理化角为边后变形可得【详解】，整理得，三角形为直角三角形故选：B【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角为边是解题关键20设在中，若，且，则的形状为（ ）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D不确定【答案】C【分析】根据正弦定理：，化简所给条件，即可求得答案.【详解】，根据，“角化边”可得：，即：，是等腰直角三角形故选：C.【点睛】本题主要考查了根据正弦定理判断三角形形状问题，解题关键是掌握正弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.21在中，若，则是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D可能是锐角三角形也可能是钝角三角形【答案】A【分析】首先根据题意设，计算，即可得到是钝角三角形.【详解】因为，设，则角为中最大内角.，所以角为钝角，是钝角三角形.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于简单题.22中，且，则的形状是（ ）A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】C【分析】由正弦定理可得，则，再由另一个条件结合诱导公式即可求得，由此可得答案【详解】解：，则，是等腰直角三角形，故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题二、多选题23对于，有如下命题，其中正确的有（ ）A若，则是等腰三角形B若是锐角三角形，则不等式恒成立C若，则为钝角三角形D若，则的面积为或【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换，诱导公式，正弦定理，余弦定理分别对选项进行求解；【详解】对于对A，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；对B，是锐角三角形，化为恒成立，因此正确；对C，由正弦定理可得：，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；对D，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或2则的面积，或的面积，因此正确综上可得：只有BCD正确故选：BCD【点睛】正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、三角函数的单调性等知识的综合运用，是求解本题的关键.24设动点在正方体上(含内部)，且，当为锐角时，实数可能的取值是（ ）ABCD【答案】CD【分析】设，设正方体的棱长为1，在中，利用余弦定理求出，在中，再利用余弦定理即可求解.【详解】设，设正方体的棱长为1，则，在中，由余弦定理得，若为锐角，则，则，在中，于是由余弦定理得，于是，即，解之得：或，由，故(舍)或.故选：CD25在ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，下列叙述正确的是（ ）A若 则ABC为等腰三角形B若 则ABC为等腰三角形C若则ABC为锐角三角形D若，则C【答案】ACD【分析】根据正余弦定理、三角形内角和性质，结合三角恒等变换有：A可得，B可得或，C可得，D中，即可判断各选项正误.【详解】A：有，即，故ABC为等腰三角形，正确.B：有，即，所以或，ABC不一定为等腰三角形，错误.C：，所以ABC为锐角三角形，正确.D：知：，所以，有C，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角互化及三角形内角和，两角和差公式等转化条件确定三角形形状.26在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（ ）A若 ，则 ；B若，则一定为等腰三角形；C若，则为直角三角形；D若为锐角三角形，则 .【答案】AC【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案.【详解】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；对于C，则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误.故选：AC.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.三、解答题27在中，分别为角，的对边，.（1）求角；（2）若的面积为，边上的高，求和的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量数量积的定义以及余弦定理得推论即可得出，再利用余弦定理即可求角；（2）由题意可得结合，可以求出，再利用余弦定理即可求出，即可求出和的大小.【详解】（1）因为，所以，即，所以，所以.因为，所以.（2）因为的面积为，所以又因为，所以，.又，即.联立，解得.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用数量积的定义，再利用余弦定理可得，进而求出角，第二问的关键是利用三角形面积公式求出，再结合利用余弦定理可求出，解方程组即可.28在锐角中，角A，B，C满足条件：（1）求角；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据正弦定理边角互化得：，再根据余弦定理即可得；（2）结合（1），由内角和定理得，再根据恒等变换得，再根据锐角三角形得，最后根据三角函数性质求解即可得答案.【详解】解：（1）根据正弦定理边角互化得： 整理得所以由余弦定理得：，因为为锐角三角形，所以.（2）由（1）得，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，所以.故的取值范围.【点睛】本题考查解三角形，三角函数的性质与恒等变换，考查运算求解能力.解题的关键在于先利用正弦定理边角互化得，进而由余弦定理得；第二问的解题关键是将问题转化为求，的取值范围问题，容易忽视三角形为锐角三角形导致出错.29已知中，三内角、的度数成等差数列，边、依次成等比数列.求证：是等边三角形.【答案】证明见解析【分析】根据内角、的度数成等差数列，易得，再由边、依次成等比数列得到，然后利用余弦定理判断即可.【详解】因为内角、的度数成等差数列，所以，又 ，所以 ，因为边、依次成等比数列，所以，由余弦定理得：，即 ，解得 ，所以是等边三角形.【点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.30在中，分别是角，所对的边，已知，（1）判断的形状；（2）若，求的面积【答案】（1）等腰三角形；（2）.【分析】（1）利用余弦定理由所给等式可得，即可判断三角形为等腰三角形；（2）求出，由利用二倍角公式即可求出，代入三角形面积公式即可得解.【详解】（1），则，为等腰三角形；（2），则，的面积.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理判断三角形形状、三角形面积公式，属于基础题.31在中，内角、的对边分别是、（1）若，求；（2）若，试判断的形状【答案】（1）或；（2）等边三角形【分析】（1）利用正弦定理求得的值，利用大边对大角定理结合角的取值范围可求得角的值；（2）由正弦定理得出，代入可得出，进而可得出，由此可判断出的形状【详解】（1）由正弦定理得，则，因此，或；（2）由得又，所以，所以因为，所以所以是等边三角形【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形，同时也可考查了利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查推理能力与计算能力，属于基础题.32在中，角，所对的边分别是，且.（）求证：；（）若，成等比数列，求证：为正三角形.【答案】（）证明见解析；（）证明见解析.【分析】（）利用正弦定理化边为角，两角和的正弦公式，即可得，从而求出角.（）利用余弦定理的推论结合，可证明为正三角形.【详解】（），（）因为，成等比数列，所以由（）可知，由余弦定理的推论得：，又因为，为正三角形.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形，判断三角形的形状，属于中档题.33已知的三个内角，满足.（1）判断的形状；（2）设三边成等差数列且，求三边的长.【答案】（1）为直角三角形；（2）.【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，由此判断出为直角三角形.（2）利用已知条件列方程，解方程求得的值.【详解】（1）由已知等式变形得：，利用正弦余弦定理化简得：，整理得：，为直角三角形（2）由已知得：，由得：，代入得：，即，即，代入得：，.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于中档题.34ABC的内角、 的对边分别为 、 ，设.（1）求；（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.【答案】（1）；（2），等边三角形.【分析】（1）利用角为边的思想，由余弦定理求出 ，再结合角的范围可求出角的值.（2）利用余弦定理，结合基本不等式，求出的最大值，即可计算出三角形面积的最大值.【详解】（1），由正弦定理可得：，由余弦定理得:，又，（2）由余弦定理和基本不等式得： ， ，当且仅当时，“=”成立，的面积，此时，由于，则是等边三角形.【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角形内角和定理、两角和与差的正弦函数公式、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.35设内角，的对边分别是，且三个内角，依次成等差数列.若，求角；若为钝角三角形，且，求的取值范围.【答案】；.【分析】根据，依次成等差数列，推出，即可判断出结果；利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简，进而求出取值范围.【详解】解：，依次成等差数列，.，.又，即，为正三角形，.由已知，.，为钝角三角形， ，.故的取值范围是.【点睛】本题考查三角函数化简求值，正弦定理的运用，二倍角公式、两角和的正弦公式的运用，考查计算能力，属于中档题.36在中,abc分别是角ABC的对边,且.(1)求角B的大小;(2)若,求的周长.【答案】(1);(2).【分析】(1)利用余弦定理及变形化简，可得角B的大小（2）利用余弦定理求解的值，即可求解的周长.【详解】(1)由余弦定理,得,将上式代入,整理得,角B为的内角,.(2)将,代入,即,的周长为.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的周长，属于中档题.37已知的角的对边分别为、，设向量，（1）若，判断的形状；（2）若，边长，求的面积【答案】（1）等腰三角形；（2）.【分析】（1）根据，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状；（2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得，再根据余弦定理，两式联立可直接求得，并求得三角形的面积.【详解】（1）若，则，即，解得：，是等腰三角形.（2）若，则，解得：，根据余弦定理可得：，即，即 解得：（舍）或 ，所以的面积是.【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.38在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（1）判断的形状；（2）若，求的面积【答案】（1）等腰三角形；（2）.【分析】（1）由题意结合余弦定理可转化条件为，即可得解；（2）由题意结合余弦定理可得，再由三角形面积公式即可得解.【详解】（1），即，为等腰三角形；（2）由（1）知，解得， 【点睛】本题考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.39在ABC中，判断的形状.【答案】为直角三角形.【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，得到，由此判断出三角形的形状.【详解】因为据正、余弦定理得：，由于，所以，所以，所以为直角三角形.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状，属于中档题.40在中，角，的对边分别为，已知，.（1）求的值，并判定的形状；（2）求的面积.【答案】（1），为等腰三角形；（2）.【分析】（1）根据题意，由余弦定理求出，即可得出结果；（2）根据求出，再由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】（1）在中，因为，所以由余弦定理可得，所以，又，所以为等腰三角形.（2）因为，所以，因此.【点睛】本题主要考查由余弦定理判定三角形形状，以及求三角形的面积，熟记余弦定理与三角形面积公式即可，属于常考题型.四、填空题41设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c且满足，a、b不相等，的周长为，则面积的最大值为_【答案】【分析】由余弦定理及已知条件知，有，由的周长为知即有，最后根据三角形面积公式求面积最大值即可【详解】由余弦定理知：，即，又的周长为有，当且仅当时等号成立，而故面积的最大值为故答案为：【点睛】本题考查了利用余弦定理化角为边、基本不等式、三角形面积公式求三角形面积最值；利用余弦定理化简已知等式并确定三角形形状，根据三角形周长一定求两边乘积的范围，结合三角形面积公式即可求面积最值42在中，内角，所对的边分别是，若，则_.【答案】【分析】由正弦定理可得.又，即可得，再结合余弦定理求解即可.【详解】解：因为，所以由正弦定理可得.又，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，重点考查了运算能力，属基础题.43在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAsinB，则AB；若sin2Asin2B，则ABC一定为等腰三角形；若，则ABC为直角三角形；若ABC为锐角三角形，则sinAcosB以上结论中正确的有_.（填正确结论的序号）【答案】【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个结论逐个分析可选出答案.【详解】对于，由正弦定理，所以由sinAsinB，可推出，则，即正确；对于，取，则，而ABC不是等腰三角形，即错误；对于，则，由正弦定理可得，故ABC为直角三角形，即正确；对于，若ABC为锐角三角形，取，此时，即，故错误.故答案为：.【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题.