2015《创新大课堂》高三人教版数学（理）一轮复习课时作业 第二章 函数、导数及其应用 第十三节

- 1 - / 7 课时作业 一、选择题 1f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a，b，若ab，则必有 ( ) Aaf(b)bf(a) Bbf(a)af(b) Caf(a)f(b) Dbf(b)f(a) A xf(x)f(x)，f(x)0， f（x）xxf（x）f（x）x22f（x）x20. 则函数f（x）x在(0，)上是单调递减的， 由于 0a0 时，函数f(x)(x22ax)ex的图象大致是 ( ) B 利用导数研究函数的单调性、极值等函数性质 由f(x)0 且a0 得函数有两个零点 0，2a，排除 A 和 C； - 3 - / 7 又因为f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，有(22a)28a0 恒成立，所以f(x)0 有两个不等根，即原函数有两个极值点，排除 D，故选 B. 6若函数f(x)2x33x21（x0），eax（x0）在2，2上的最大值为 2，则a的取值范围是 ( ) A.12ln 2， B.0，12ln 2 C(，0 D.，12ln 2 D 当x0 时，f(x)6x26x，易知函数f(x)在(，0上的极大值点是 x1，且f(1)2，故只要在(0，2上，eax2 即可，即axln 2 在(0，2上恒成立，即aln 2x在(0，2上恒成立，故a12ln 2. 二、填空题 7已知函数f(x)是 R R 上的偶函数，且在(0，)上有f(x)0，若f(1)0，那么关于x的不等式xf(x)0，所以f(x)在(0，)单调递增又函数f(x)是 R R 上的偶函数，所以f(1)f(1)0.当x0 时，f(x)0，0 x1；当x0，x1. 答案 (，1)(0，1) 8直线ya与函数f(x)x33x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是_ 解析 令f(x)3x230，得x1，可得极大值为 f(1)2，极小值为f(1)2，如图，观察得2a2 时恰有三个不同的公共点 答案 (2，2) 9(2014广州模拟)设函数f(x)ax33x1(xR R)，若对于任意x1，1，都有f(x)0 成立，则实数a的值为_ - 4 - / 7 解析 (构造法)若x0，则不论a取何值，f(x)0 显然成立； 当x0，即x(0，1时，f(x)ax33x10 可化为a3x21x3.设g(x)3x21x3，则g(x)3（12x）x4， 所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1 上单调递减，因此g(x)maxg124，从而a4. 当x0，即x1，0)时，同理a3x21x3. g(x)在区间1，0)上单调递增， g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4. 答案 4 三、解答题 10已知函数f(x)x2ln x. (1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值； (2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)23x312x2的下方 解析 (1)f(x)x2ln x，f(x)2x1x. x1 时，f(x)0，故f(x)在1，e上是增函数， f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2. (2)证明：令F(x)f(x)g(x)12x223x3ln x， F (x) x 2x21xx22x31xx2x3x31x（1x）（2x2x1）x. x1，F(x)0. F(x)在(1，)上是减函数 F(x)F(1)1223160，即f(x)g(x) - 5 - / 7 当x(1，)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方 11(2014泰安模拟)某种产品每件成本为 6 元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知5858u与x2142成正比，且售价为 10 元时，年销量为 28 万件 (1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式； (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润 解析 (1)设5858ukx2142， 售价为 10 元时，年销量为 28 万件， 585828k102142，解得k2. u2x214258582x221x18. y(2x221x18)(x6) 2x333x2108x108(6x0； 当x(9，11)时，y0. 函数y2x333x2108x108 在(6，9)上是递增的，在(9，11)上是递减的 当x9 时，y取最大值，且ymax135， 售价为 9 元时，年利润最大，最大年利润为 135 万元 12(2014济南模拟)已知函数f(x)axln x，其中a为常数，设 e 为自然对数的底数 (1)当a1 时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值； (3)当a1 时，试推断方程|f(x)|ln xx12是否有实数解 - 6 - / 7 解析 (1)当a1 时，f(x)xln x， f(x)11x1xx. 当 0 x0；当x1 时，f(x)0. f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数， f(x)maxf(1)1. (2)f(x)a1x，x(0，e，1x1e， . 若a1e，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数， f(x)maxf(e)ae10，不符合题意 若a0 得a1x0， 即 0 x1a， 由f(x)0 得a1x0，即1axe. 从而f(x)在0，1a上是增函数，在1a，e 上是减函数 f(x)maxf1a1ln1a. 令1ln1a3，则 ln1a2， 1ae2，即ae21e，ae2为所求 (3)由(1)知，当a1 时，f(x)maxf(1)1， |f(x)|1. 令g(x)ln xx12，则g(x)1ln xx2， 令g(x)0，得xe， 当 0 x0，g(x)在(0，e)上单调递增； 当xe 时，g(x)0，g(x)在(e，)上单调递减 - 7 - / 7 g(x)maxg(e)1e121.g(x)g(x)，即|f(x)|ln xx12. 当a1 时，方程|f(x)|ln xx12没有实数解