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高考数学精品复习资料 2019.5第2节空间几何体的表面积和体积 课时训练 练题感 提知能【选题明细表】知识点、方法题号几何体的表面积6、9、11、12、14、15几何体的体积1、2、3、4、5、7、8、11与球有关的问题5、15折叠与展开问题10、13、16A组一、选择题1.一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥体积是(B) (A)8(B)83(C)4(D)43解析:由题意可以得到原四棱锥的底面正方形的边长为2,四棱锥的高为2,体积为V=13×4×2=83,故选B.2.(20xx陕西宝鸡市模拟)若一个底面是等腰直角三角形(C为直角顶点)的三棱柱的正视图如图所示,则该三棱柱的体积等于(A) (A)1(B)13(C)33(D)3解析:由正视图知,该三棱柱的底面两直角边的长为2,高为1,所以该三棱柱的体积V=12×2×2×1=1.故选A.3.(20xx西安联考)某个容器的三视图中正视图与侧视图相同,如图所示,则这个容器的容积(不计容器材料的厚度)为(B)(A)37(B)73(C)67(D)76解析:由三视图知,原几何体为圆锥和圆柱的组合体,其中圆锥和圆柱的底面半径为1,圆柱的高为2,圆锥的高为1,所以这个容器的容积为V=×12×2+13××12×1=73,故选B.4.(20xx兰州市诊断测试)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(C)(A)23 (B)8-3(C)8-23(D)8-2解析:由三视图知,几何体为一个正方体里面挖去一个圆锥,正方体的棱长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,所以该几何体的体积为V=23-13××12×2=8-23,故选C.5.(20xx年高考广东卷)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(C)(A)72(B)48(C)30(D)24解析:由三视图可知该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体,球的半径为3,圆锥的底面半径为3、高为4,那么根据体积公式可得组合体的体积为30,故选C.6.(20xx梅州市高三质检)一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,如图所示,则该三棱锥的外接球表面积为(A)(A)29(B)30(C)292(D)216解析:如图,由题中三视图知三棱锥直观图为D1ACD.其中D1D,AD,DC两两垂直,则其外接球直径2R=32+42+22=29.则外接球表面积为S=4·2922=29,故选A.二、填空题7.(20xx年高考江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点.设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1V2=. 解析:V1V2=13×12AD·AE·sinEAD·AF12AC·AB·sinCAB·AA1=13ADAB·AEAC·AFAA1=13×12×12×12=124.答案:1248.(20xx天津市一中月考)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为. 解析:由三视图可知几何体是一个圆柱体由平面截后剩余的一部分,并且可知该几何体是一个高为6,底面半径为1的圆柱体的一半,则知所求几何体体积为12××12×6=3.答案:39.(20xx山西师大附中模拟)如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为32,一个内角为60°的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为. 解析:由三视图知,该几何体是由两个完全相同的正四棱锥组合在一起的.因为正视图、侧视图都是面积为32,一个内角为60°的菱形,所以菱形的边长为1,即正四棱锥的底面边长为1,侧面的斜高为1.因此,这个几何体的表面积为S=12×1×1×8=4.答案:410.(20xx广东六校第三次联考)有一个各棱长均为1的正四棱锥,想用一张正方形包装纸将其完全包住,不能剪裁,可以折叠,那么包装纸的最小面积为. 解析:这是一个折叠与展开的问题,将展开平铺后的正四棱锥放在正方形的纸上,当正四棱锥的顶点和正方形的顶点重合(如图所示)时,纸的面积最小.此时,设正方形的边长为a,由余弦定理a2=12+12-2cos 150°=2+3,故Smin=a2=2+3.答案:2+3三、解答题11.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);(2)求这个几何体的表面积及体积.解:(1)这个几何体的直观图如图所示. (2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1QA1D1P的组合体.由PA1=PD1=2,A1D1=AD=2,可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S=5×22+2×2×2+2×12×(2)2=22+42(cm2),体积V=23+12×(2)2×2=10(cm3).12.(20xx山东潍坊期末)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,求该球的表面积.解:如图所示该几何体的直观图是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥C1ABCD.其中底面ABCD是边长为4的正方形,高为CC1=4,该几何体的所有顶点在同一球面上,则球的直径为AC1=43=2R,所以球的半径为R=23,所以球的表面积是4R2=4×(23)2=48.13.如图所示,在边长为5+2的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,由已知条件l+r+2r=(5+2)×2,2rl=2,解得r=2,l=42,S=rl+r2=10,h=l2-r2=30,V=13r2h=2303.B组14.(20xx大连市一模)一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的表面积为92 m2,则h等于(C)(A)2(B)3(C)4(D)5解析:由三视图可知该几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱,几何体的表面积是2×2+52×4+(2+4+5+32+42)h=92,即16h=64,解得h=4.故选C.15.(20xx潍坊市一模)已知一圆柱内接于球O,且圆柱的底面直径与母线长均为2,则球O的表面积为. 解析:圆柱的底面直径与母线长均为2,所以球的直径=22+22=8=22,即球半径为2,所以球的表面积为4×(2)2=8.答案:816.(20xx安徽黄山三校联考)如图(1)所示,ABC是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F分别为AC、AB的中点,将AEF沿EF折起,使A在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点,得到图(2).(1)求证:EFAC;(2)求三棱锥FABC的体积.(1)证明:在ABC中,EF是等腰直角ABC的中位线,EFAC,在四棱锥ABCEF中,EFAE,EFEC,又ECAE=E,EF平面AEC,又AC平面AEC,EFAC.(2)解:在直角梯形BCEF中,EC=2,BC=4,SFBC=12BC·EC=4,AO平面BCEF,AOEC,又O为EC的中点,AEC为正三角形,边长为2,AO=3,VFA'BC=VA'FBC=13SFBC·AO=13×4×3=433.
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