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高考数学精品复习资料 2019.5第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程考纲传真(教师用书独具)1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系(对应学生用书第130页)基础知识填充1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，当直线l和x轴平行时，它的倾斜角为0.(2)倾斜角的范围是0，)2直线的斜率(1)定义：当90时，一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即ktan_，倾斜角是90的直线斜率不存在(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率()(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大()(4)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程yy0k(xx0)表示()(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()答案(1)(2)(3)(4)(5)2直线xya0的倾斜角为()A30B60C150D120B设直线的倾斜角为，则tan ，0，)，.3过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A1B4C1或3D1或4A由题意知1(m2)，解得m1.4(教材改编)直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.1或2令x0，则l在y轴上的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1.依题意2a1，解得a1或a2.5过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_4x3y0或xy10若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点，设1，即xya，则a3(4)1，所以直线方程为xy10.(对应学生用书第130页)直线的倾斜角与斜率(1)直线xsin y20的倾斜角的范围是()A0，)B.C D.(2)若直线l过点P(3,2)，且与以A(2，3)，B(3,0)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是_(1)B(2)(1)设直线的倾斜角为，则有tan sin ，又sin 1,1，0，)，所以0或.(2)因为P(3,2)，A(2，3)，B(3,0)，则kPA5，kPB.如图所示，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为.规律方法1.倾斜角与斜率k的关系(1)当时，k0，).(2)当时，斜率k不存在.(3)当时，k(，0).2.斜率的两种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率.(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率.3.倾斜角范围与直线斜率范围互求时，要充分利用ytan 的单调性.跟踪训练(1)(20xx九江一中)若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a()A1或0 B.或0C D.或0(2)直线l经过A(3,1)，B(2，m2)(mR)两点，则直线l的倾斜角的取值范围是_(1)A(2)(1)平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，kABkAC，即，即a(a22a1)0，解得a0或a1.故选A(2)直线l的斜率k1m21，所以ktan 1.又ytan 在上是增函数，因此.求直线方程根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)直线过点(3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.【导学号：79140262】解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式设倾斜角为，则sin (0)，从而cos ，则ktan .故所求直线方程为y(x4)即x3y40或x3y40.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为1，又直线过点(3,4)，从而1，解得a4或a9.故所求直线方程为4xy160或x3y90.规律方法求直线方程应注意以下三点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).(3)截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.跟踪训练求适合下列条件的直线方程：(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；(2)过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍解(1)当直线过原点时，方程为yx，即3x2y0.当直线l不过原点时，设直线方程为1.将P(2,3)代入方程，得a1，所以直线l的方程为xy10.综上，所求直线l的方程为3x2y0或xy10.(2)设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.因为tan 3，所以tan 2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.直线方程的综合应用过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点(1)当AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|OB|取最小值时，求直线l的方程解设直线l：1(a0，b0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以1.(1)12，所以ab16，当且仅当a8，b2时等号成立，所以当a8，b2时，AOB的面积最小，此时直线l的方程为1，即x4y80.(2)因为1，a0，b0，所以|OA|OB|ab(ab)5529，当且仅当a6，b3时等号成立，所以当|OA|OB|取最小值时，直线l的方程为1，即x2y60.规律方法与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.跟踪训练已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个四边形，则当a为何值时，四边形的面积最小？ 【导学号：79140263】解由得xy2，直线l1与l2交于点A(2,2)(如图)易知|OB|a22，|OC|2a，则S四边形OBACSAOBSAOC2(a22)2(2a)a2a42，a(0,2)，当a时，四边形OBAC的面积最小
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