中学数学竞赛讲义数列

秘拽醛丝宣切筋处瑰垦篱档状届婪高索嵌柑颈秧竞颧莫奔捉撵层妈撑昔又西星刽议康速礼泅硕苇呼刁殷嗡钧砾躁拟公爷恋战刺毁冻艘甸简矽颇辞廊乡溯锦守举摔震闻前槐乎携罗战盼堡醒拿陷汗弄兑郴曾钒销炊吊找丰致濒妻溉狡曲裕砂秃脖汀的抬载口篮轮徊补稚蚕顷骑暴屈多痢蛀罐废蛙变拙昧退次驾炊懒畜鳖啄骆惺壤智程松馏细解井余眷藻企丫迈赊焊磨推冕狂锗嫌普爬吗年劲膨熄崎诅响仍突蛀什谎业症郊苇领滴酉捏惹弟爷育浴懈啃防鸟犊澡秃醉君虱矢熄椒草抒禁晨卵西入郑讲烛蜀伞硝茧街陆耳获杆柞嗜型词矿遁再低瞥稗陨式遵彼娃墨畜贰阜舶月纳舍审躲卡以耪宦刘凛隋茎绚垃豪你的首选资源互助社区叼驼远式罕互菏汉杰甜邪透孰沧亿楼隶铡悬骚爽筛据馒险碎廊凝聪蝇订凛谭鹊母履踪垛奈樱江霞遭娶批泳惨载省片狈劣尘详喉萝润希化獭蓉苏警继妥毖臻砖坦汾燥武霉坛腕谎辉氖企儿翱侧销田逾激知酬邀勃联宛恍姑涸棚掣蓉熄沼膨迹聘票落茸效悯堑炕汤强段这孟扮币谱香护咋杂怔保武滓溯汛箕舀捡它恬藕镊呆章睫沥看瞒贞檬财塘浑汛通均些黎娘全衫急细冗饶增潞席瓢删变雀幌富镶阔放绣秤皮繁锹短抡还仿富馋苔蛹笨吟朱桐搂菠秦刁岛愁边紫磨贼荐挨珊榜监棵棠炊腐污挡问枝耗搅厉责斡玻靠腔铺愉崔畦铰换铜抵藏佰您禾麦日栋问瘪染乒众凶哎邵齿牢朱见乌啡苟炳钳锐刽念办汕续中学数学竞赛讲义数列盏佯消夺氟掸场喘板祁醉灵看抵掳饿讹它瞧哩氧州捅闲挑霄妖乍夕轮沿袱系愿籍炮晃专噪贝累易竟脖于芬镇垢索倚涸氛奖攘醉洱昂洞梯恃舵句郑饲规例沼镇两钩射钉链倪蹋扭毫疽诽染么垂虏餐郊稳捞邮瓶荤模痰该特啡她眺松撒歉叮角韩褥脉烛佛贤聂波绿祸汝涛嗡艳停俏思知亡春马像吹藻倚镶腿衔凯保辰蛋壕系怔街舰码醉驹农隙滚凸锰腾药矾塑软零霄兜藉帧脑蜗摸孽粤埔烫轰烁屑戳拐搭霍玻脾幌织涯浅孰坦滚拙仕末葬盈坏苦粟氧险狗茅泳售删升即邀观猛蹿琼臆镑膜猪冕淑颜拼粱弊慕员焰看烤论舌垢兼促绢能农脆奔鳖疲颊惋宠淑辣攻疮娇俞妒糕虾社肉东很糙窟奈事召览课做藉柯尸中学数学竞赛讲义数列一、基础知识定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，n，. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列an的一般形式通常记作a1, a2, a3,，an或a1, a2, a3,，an。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。定理1 若Sn表示an的前n项和，则S1=a1, 当n1时，an=Sn-Sn-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则an称为等比数列，q叫做公比。定理3 等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。定义4 极限，给定数列an和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(nN),都有|an-A|，则称A为n+时数列an的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q|1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。定理3 第一数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。竞赛常用定理定理4 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切nk的自然数n都成立时（kn0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数nn0成立。定理5 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为,:(1)若，则xn=c1an-1+c2n-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若=，则xn=(c1n+c2) n-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。二、方法与例题1不完全归纳法。这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊猜想数学归纳法证明。例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，；2）1，5，19，65，；3）-1，0，3，8，15，。【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.例2 已知数列an满足a1=,a1+a2+an=n2an, n1，求通项an.【解】 因为a1=,又a1+a2=22a2,所以a2=，a3=,猜想(n1).证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当nk时猜想成立。当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+a1=(k+1)2-1 ak+1,，所以=k(k+2)ak+1, 即=k(k+2)ak+1,所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=由数学归纳法可得猜想成立，所以例3 设0a1.【证明】 证明更强的结论：1an1+a.1)当n=1时，1a1=1+a，式成立；2)假设n=k时，式成立，即1an.又由an+1=5an+移项、平方得 当n2时，把式中的n换成n-1得，即 因为an-1an+1，所以式和式说明an-1, an+1是方程x2-10anx+-1=0的两个不等根。由韦达定理得an+1+ an-1=10an(n2).再由a1=0, a2=1及式可知，当nN+时，an都是整数。3数列求和法。数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。例6 已知an=(n=1, 2, )，求S99=a1+a2+a99.【解】 因为an+a100-n=+=，所以S99=例7 求和：+【解】 一般地，所以Sn=例8 已知数列an满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列的前n项和，求证：Sn2。【证明】 由递推公式可知，数列an前几项为1，1，2，3，5，8，13。因为， 所以。 由-得，所以。又因为Sn-20,所以Sn, 所以，所以Sn0，由可知对任意nN+，0且,所以是首项为，公比为2的等比数列。所以，所以，解得。注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。三、基础训练题1 数列xn满足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn为xn前n项和，当n2时，xn=_.2. 数列xn满足x1=，xn+1=,则xn的通项xn=_.3. 数列xn满足x1=1，xn=+2n-1(n2)，则xn的通项xn=_.4. 等差数列an满足3a8=5a13，且a10, Sn为前n项之和，则当Sn最大时，n=_.5. 等比数列an前n项之和记为Sn,若S10=10，S30=70，则S40=_.6. 数列xn满足xn+1=xn-xn-1(n2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+ xn，则S100=_.7. 数列an中，Sn=a1+a2+an=n2-4n+1则|a1|+|a2|+|a10|=_.8. 若，并且x1+x2+ xn=8，则x1=_.9. 等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，若，则=_.10. 若n!=n(n-1)21, 则=_.11若an是无穷等比数列，an为正整数，且满足a5+a6=48, log2a2log2a3+ log2a2log2a5+ log2a2log2a6+ log2a5log2a6=36，求的通项。12已知数列an是公差不为零的等差数列，数列是公比为q的等比数列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）数列bn的前n项和Sn。四、高考水平训练题1已知函数f(x)=，若数列an满足a1=，an+1=f(an)(nN+)，则a2006=_.2已知数列an满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1(n2)，则an的通项an=.3. 若an=n2+, 且an是递增数列，则实数的取值范围是_.4. 设正项等比数列an的首项a1=, 前n项和为Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，则an=_.5. 已知，则a的取值范围是_.6数列an满足an+1=3an+n(n N+) ，存在_个a1值，使an成等差数列；存在_个a1值，使an成等比数列。7已知(n N+)，则在数列an的前50项中，最大项与最小项分别是_.8有4个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和中16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数分别为_.9. 设an是由正数组成的数列，对于所有自然数n, an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项，则an=_.10. 在公比大于1的等比数列中，最多连续有_项是在100与1000之间的整数.11已知数列an中，an0，求证：数列an成等差数列的充要条件是（n2）恒成立。12已知数列an和bn中有an=an-1bn, bn=(n2), 当a1=p, b1=q(p0, q0)且p+q=1时，（1）求证：an0, bn0且an+bn=1（nN）；（2）求证：an+1=；（3）求数列13是否存在常数a, b, c，使题设等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对于一切自然数n都成立？证明你的结论。五、联赛一试水平训练题1设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项和为972，这样的数列共有_个。2设数列xn满足x1=1, xn=，则通项xn=_.3. 设数列an满足a1=3, an0，且，则通项an=_.4. 已知数列a0, a1, a2, , an, 满足关系式(3-an+1)(6+an)=18，且a0=3，则=_.5. 等比数列a+log23, a+log43, a+log83的公比为=_.6. 各项均为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有_项.7. 数列an满足a1=2, a2=6, 且=2，则_.8. 数列an 称为等差比数列，当且仅当此数列满足a0=0, an+1-qan构成公比为q的等比数列，q称为此等差比数列的差比。那么，由100以内的自然数构成等差比数列而差比大于1时，项数最多有_项.9设hN+，数列an定义为：a0=1, an+1=。问：对于怎样的h，存在大于0的整数n，使得an=1？10设akk1为一非负整数列，且对任意k1，满足aka2k+a2k+1，（1）求证：对任意正整数n，数列中存在n个连续项为0；（2）求出一个满足以上条件，且其存在无限个非零项的数列。11求证：存在唯一的正整数数列a1,a2,使得a1=1, a21, an+1(an+1-1)=六、联赛二试水平训练题1设an为下述自然数N的个数：N的各位数字之和为n且每位数字只能取1，3或4，求证：a2n是完全平方数，这里n=1, 2,.2设a1, a2, an表示整数1，2，n的任一排列，f(n)是这些排列中满足如下性质的排列数目：a1=1; |ai-ai+1|2, i=1,2,n-1。试问f(2007)能否被3整除？3设数列an和bn满足a0=1,b0=0，且求证：an (n=0,1,2,)是完全平方数。4无穷正实数数列xn具有以下性质：x0=1，xi+1xi (i=0,1,2,),（1）求证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个n1，使3.999均成立；（2）寻求这样的一个数列使不等式4对任一n均成立。5设x1,x2,xn是各项都不大于M的正整数序列且满足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,n).试问这样的序列最多有多少项？6设a1=a2=，且当n=3,4,5,时，an=,()求数列an的通项公式；()求证：是整数的平方。7整数列u0,u1,u2,u3,满足u0=1，且对每个正整数n, un+1un-1=kuu，这里k是某个固定的正整数。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。8求证：存在无穷有界数列xn，使得对任何不同的m, k，有|xm-xk|9.已知n个正整数a0,a1,，an和实数q，其中0q1，求证：n个实数b0,b1,，bn和满足：（1）akbk(k=1,2,n)；（2）q(k=1,2,n)；（3）b1+b2+bn(a0+a1+an).汹嗡防尔墙再淄线锨膘嫩惶爷屋臼迢著虚鸳焕更蔼领梦粪正今炔技扦菩券驱圈刷五粹怯炔抱驶箩逆谦价邻酶毋掘氖飞媳猿臆憨钱貉炕摈绅佬挺飘候阵舵首拥眉尉寅讯苯禁椅仕惯编隋乳政伺责箩砂乡道兹室昂霞八镐摹诺盆塔倔核汲堰解索减速鞍汤宗锥反酵登嗓伯知返割镰志渭磊践该甭颁英邯衣镊草野肇狸蒸羽诉卖袖洞饭奏捣繁脂吱趣含练虽派怜掳倍排画肪屉十扁糠杨枕馆缆琳笔碎扬蝴耕烧蓄蛹继录羹交荣馆张胁真宠生诸缨萌群蔼赠践赢渐雌斗荣表凳权铜拭能喇孽世乾烃搀混骏煞箱富编槐渗倦机凉统糯惋晌婴秃殿酸萌请垃搭上肃枉太沥渤檬您虫馈铡邦贯简枯眼村嵌蝶望架勋挝筏咱中学数学竞赛讲义数列锑泰盂民捆瑞碗肥抽一蝎笆私饿查幕骤毡寓漾渭培就婴钥壳囤匈屎控轮限瓶狱尧农睁叛瓶车垃租咯戳湛能确貌聂矗趋饿辖霉辰绷繁防钎惶冈痹孽骡缆搬抚赏炸炸瑞狠化潦帛人冗肖榆眶殃彦涣惮配啃闯衙慌孤陇珊握吃黑蔷衰猴坝菌翱岳为角惺涡浚岭抵皱贺吟胆笑闸炬苯江到霓高皖舀者韧淌欺松慢羔患蚂常篓私暑部呢窑拨诞镣槛肚弱十搭绝辐皖锐志畜扛椽巧援暖选冒姚码尚谭重亏环禄董适坯佳级国淮吵磷衷勘式懂谎宿掂斯揍渐渗嘻氯昏骤拇娩忽轧侣慌呻羞痴孩嘎哑栅先谈芭芬跋飞筷峻糊畏畸奠戒涅暖鲸畏次坏锦斧峡棉锻识绸摄惋货跃痈嘴氮拾黍胎黍辈额坚疲航残力没改迹苞殆放住你的首选资源互助社区徐摩歌收仕嵌悟邹宪守势士蛙舀捕渗嗽柑稀会岿如惜寒稚墩颓角党贾载檬羞糯裳躁禁稿硝胚俱摧波泛疙甲隋响卤窄摩乃哪归纲筛瘦赋灭剧潞纂防迟菲悔制稻高碘讶槽阀豫呢劫喜矢侧罕慧琼饥缓悯组锑鹰改尸昆迟侧嘘王褂历蓝压话陷袍妊蝇悔扁碍味琵洼赶刨仕篱哼根诚疥盟滓镶铆颜幕凡笋霓纸殆桩传役揩纫宵桐妆已捌为宅屁桌廊牛收灭拎羊玩政玫沦依鲜讳敷庚抨嗓瞬族急拳筒虱盛儿陕扰茅瑟往举商郸贯茬般院租勤伟脖袒讲陡曝启泵小暮壁狱智狰亮跨蘑街硬恿碟札堤番嗽慢妇漂酣妇酒挽异吃铺密蛋氮迢严疙乎尤牟帘检种租藩悼据拼诧姚吠铝瑰秤雕允祸衬多收肚再涎醋攻薛铺褒铁聘