概率论与数理统计第18讲

1概率论与数理统计概率论与数理统计第第18讲讲本文件可从网址http:/上下载2正态分布与G-分布的关系定理 如XN(0,1), 则X22(1)3222211221(0,1),( )2,( )0,( )0;0()()11( )22xXYYxXXYxXNfxeYXfxxfxxfxfxfxexxkxe令其概率密为则当时证度当时4二元正态分布定义 若二元连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为22212212121212121( , )exp(2)2(1)1,21,0,0,| 1(, ).f x ykssttxystkX Y 其中均为常数称服从二元正态分布5指数上的二次型可以写为2222222222222(1)()ssttssssttsts6222222222(1)()1()22(1)ssttstssts则整个指数上的项可以写为72222221()22(1)1( , )exp()22(1)stssf x ykts即联合概率密度可写为8定理 二元正态分布的边缘分布为一元正态分布92212122222122221()21( )( , ),1()( )exp22(1)2111()exp2(1)22112XXsxfxf x y dydydtstsfxdttsedte而因证10同样可证222221()( )exp22Yyfy因此, 联合概率密度中的参数1,2,1,2分别是X和Y的期望值和标准差.还可证明参数就是X与Y的相关系数.112222222222()( )()( )()exp22(1)21()expexp22(1)221exp22EXE XYE YD XD Yststsdtdsssttsdtdsssds 12定理 服从二元正态分布的随机变量(X,Y), 它们独立的充分必要条件是X与Y的相关系数=0.13证 因为独立必不相关, 因此我们证当X与Y不相关即=0时必相互独立. 这时2212221222121212()()221211( , )exp2211( )( )22xyXYxyf x yeefx fy 14定义 若连续型随机变量X的概率密度f(x)为122( )1,( ).nxf xknXntt n称 服从具有 个自由度的 分布 简记为15定义 若连续型随机变量X的概率密度f(x)为12121122121210( )00,( ,).nnnnkxxxf xnxXnnFF n n称 服从具有第一个自由度为第二个自由度为 的 分布 简记为16矩的概念定义 设X和Y为随机变量, k,l为正整数, 称E(Xk)为k阶原点矩(简称原点矩)EXE(X)k为k阶中心矩E(|X|k)为k阶绝对原点矩E(|XE(X)|k)为k阶绝对中心矩E(XkYl)为X和Y的k+l混合矩EXE(X)kYE(Y)l 为X和Y的k+l阶混合中心矩17由定义可见X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩X的方差D(X)是X的二阶中心矩协方差cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩18将二维随机变量(X1,X2)的四个二阶中心矩c11=EX1E(X1)2, c22=EX2E(X2)2,c12=EX1E(X1)X2E(X2),c21=EX2E(X2)X1E(X1),排成矩阵的形式:11122122cccc称此对称矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵.19类似定义n维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵.若 cij=cov(Xi,Xj)=EXiE(Xi)XjE(Xj) i,j=1,2,n都存在, 则称111212122212nnnnnncccccccccc为(X1,X2,Xn)的协方差矩阵202122故二维正态随机变量(X1,X2)的概率密度可用矩阵表示为1122/21/211( ,)exp()()(2 )|2Tf x xXCXC其中(X)T是(X)的转置.23设XT=(X1,X2,Xn)是一个n维随机向量, 若它的概率密度为121/21/2( ,)11exp()()(2 )|2nTnf x xxXCXC则称X服从n维正态分布. 其中, C是(X1,X2,Xn)的协方差矩阵, |C|是它的行列式, C1表示C的逆矩阵, X和是n维列向量, (X)T是(X)的转置.24n维正态分布的几个重要性质1. n维正态变量(X1,X2,Xn)的每一个分量Xi(i=1,2,n)都是正态变量; 反之, 若X1,X2,Xn都是正态变量, 且相互独立, 则(X1,X2,Xn)是n维正态变量.注:性质中若不具有相互独立性, 则反之不一定成立.252. n维正态变量(X1,X2,Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1,X2,Xn的任意线性组合l1X1+l2X2+lnXn均服从一维正态分布(其中l1,l2,ln不全为零).263. 若(X1,X2,Xn)服从n维正态分布, 设Y1,Y2,Yk是Xj(j=1,2,n)的线性函数, 则(Y1,Y2,Yk)也服从k维正态分布.注: 这一性质称为正态变量的线性变换不变性.274. 设(X1,X2,Xn)服从n维正态分布, 则 X1,X2,Xn 相互独立等价于 X1,X2,Xn两两不相关.28例7 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2), YN(0,1),试求Z=2XY+3的概率密度29解 由题意X和Y的联合分布为正态分布, X和Y的任意线性组合是正态分布, 即Z服从正态分布,E(Z)=2E(X)E(Y)+3=2+3=5D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9ZN(5,32)30ZN(5,32)即Z的概率密度是2(5)181( ),3 2zZfzez 311994年经济类研究生试题_2,210102)(YPXXYxxxfX则出现的次数事件的三次独立重复观察中表示以其它的概率密度为设随机变量1x232解1122200112241(3, )4|P XxdxxYB由题意可知因此3321231(3, )413244139316464YBP YC 341995年经济类研究生试题_0101011)(,DXxxxxxfX则方差其它其概率密度为是一个随机变量设x11135解2221220011233400( ),()0()()( ),()2( )2(1)112()2()3411212()34126|f xE XD XE Xx f x dxxD Xx f x dxxx dxxx dxxx由图可知为偶函数 则也是偶函数 因此361999年经济类研究生试题设随机变量X服从参数为l的泊松分布, 且已知E(X1)(X2)=1, 则l=_37解 已知E(X)=D(X)=l, 且E(X2)=E(X)2+D(X)=l2+l,而E(X1)(X2)=E(X23X+2)=E(X2)3E(X)+2=1得l2+l3l+2=1, 即l22l+1=0有l=1381999年经济类研究生试题设随机变量Xij(i,j=1,2,.,n;n2)独立同分布, E(Xij)=2, 则行列式111212122212( )_nnnnnnXXXXXXYXXXE Y的数学期望39解 因多个随机变量之和的数学期望是各个数学期望之和, 而多个相互独立的随机变量之积的数学期望也是各个随机变量的数学期望之积, 而行列式无非是各个随机变量相互乘积再相加得到的随机变量.因此有40111212122212()()()()()()( )()()()2222220222nnnnnnE XE XE XE XE XE XE YE XE XE X 412000年经济类研究生考研题设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布; 随机变量1,00,01,0( )_XYXXD Y则方差12x42解222222211, 00, 133211( )1( 1)33321()1( 1)13318( )() ( )139P YP YP YE YE YD YE YE Y 如图不难算出则431998年经济类研究生试题设一次试验成功的概率为p, 进行100次独立重复试验, 当p=_时, 成功次数的标准差的值最大, 其最大值为_44解 设成功次数为X, 则XB(100,p), D(X)=100p(1p)=100p100p2, 对p求导并令其为0, 得100200p=0, 得p=0.5时成功的标准差的值最大, 其最大值为55 . 05 . 0100npq45作业 第70页开始 习题4-3第2,9,14题学号小于2003021561的学生交作业