历年全国初中数学联赛试题9005

http:/ 1 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf1990 年全国初中数学联合竞赛试卷.11990 年全国初中数学联合竞赛试卷答案.31991 全国初中数学联合竞赛试卷.91991 全国初中数学联合竞赛试卷答案.111992 全国初中数学联合竞赛试卷.171992 全国初中数学联合竞赛试卷答案.191993 全国初中数学联合竞赛试卷.251993 年全国初中数学联合竞赛试卷答案.281994 年全国初中数学联赛试题.341994 年全国初中数学联赛试题答案.351995 年全国初中数学联赛试题.411995 年全国初中数学联赛试题答案.421995 年全国初中数学联赛参考答案.471996 年全国初中数学联赛试题.551996 年全国初中数学联赛参考答案.571997 年全国初中数学联赛试题.631997 年全国初中数学联赛参考答案.651998 年全国初中数学联赛试题.691998 年全国初中数学联赛参考答案.701999 年全国初中数学联合竞赛试卷.741999 年全国初中数学联合竞赛试卷答案.762000 年全国初中数学联赛试题.812000 年全国初中数学联赛试题解答.832001 年全国初中数学联赛.872001 年全国初中数学联合竞赛试卷答案.882002 年全国初中数学联合竞赛试卷.912002 年全国初中数学联合竞赛试卷答案.932003 年全国初中数学联合竞赛试卷.942003 年全国初中数学联赛试题答案.962004 年全国初中数学联合数学竞赛试题.1002004 年全国初中数学联赛试题答案.1022005 年全国初中数学联赛初赛试卷.10819901990 年年全国初中数学联合竞赛试卷试卷第 一 试一、一、 选择题选择题http:/ 2 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf本题共有 8 个小题，每小题都给出了(A)、(B)、(C)、(D)四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。1的值是（ ）31231131144（A）1 （B）1 （C）2 （D）22在ABC 中,AD 是高,且 AD2 = BDCD，那么BAC 的度数是（ ）（A）小于 90 （B）等于 90（C）大于 90 （D）不确定3方程是实数)有两个实根、kkkxkx(02)13(722，且 01，12，那么 k 的取值范围是（ ）（A）3k4； （B）2k1；（C）3k4 或2k1（D）无解。4恰有 35 个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个相同整数是（ ）（A）17 （B）18 （C）35 （D）365ABC 中，设为边上任一点，22AB2AC2BCPBC则（ ）（A）（B）PBPA2PCPBPA2PC（C）（D）的大小关系并不确PBPA2PCPBPA 与2PC定6若六边形的周长等于 20，各边长都是整数，且以它的任意三条边为边都不能构成三角形，那么，这样的六边形（ ）（A）不存在 （B）只有一个（C）有有限个，但不只一个 （D）有无穷多个7若的尾数是零，且，那么下列四个balog2loglog1logabbbaa结论：（ ）（1） （2）21abb0loglogabba（3） （3）10ba01 abhttp:/ 3 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf中，正确的结论的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）48如图，点，分别在的边上、上，PQRABCABBCCA且，那么，面积的最大值是（ 1RCQRPQBPABC）（A） （B）2 （C） （D）335二、二、 填空题填空题1 已知，则= 82121xxxx122，1234567892的和的个位数的数字是 2223,2,13 方程，有两个整数根，则 01)8)(xaxa4 中，边有 100 个不同的点，ABC2 ACABBC1P，记 ( 1，2，100) 则 2P100PiiiBPAPm2CPii= 21mm100m第 二 试一、一、已知在凸五边形 ABCDE 中，BAE = 3，BC=CD=DE，且BCD=CDE=1802，求证：BAC=CAD=DAE二、二、表示不超过实数的最大整数，令 xx xxx（1）找出一个实数，满足x11xx（2）证明：满足上述等式的，都不是有理数x三、三、设有个正方形方格棋盘，在其中任意的个方格中各有一枚棋子。nn22n3求证：可以选出行和列，使得枚棋子都在这行和列中。nnn3nn19901990 年年全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案第一试http:/ 4 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf一、一、 选择题选择题1 （D） 原式=3123122232223222 （D）如图，由，有 2BDAD2CDBDAD22CD 2222ADCDBDBDCDBD222CD )()(2222CDADADBD2)(CDBD 即 222BDACAB可得 BAC90如图,虽然 ,点在BDAD2CDD外,90,90ABCABCBAC因此的度数不确定BAC3.（C）记2)13(7)(22kkxkxxf由124303)2(082) 1 (02)0(222kkkkfkkfkkf或4.（A）高这 35 个连续自然数最小的是,最大的是2n1) 1(2n 35) 1(2nn即 3512n 17n5.（C）如图,设,xBP xPC 2在中,由余弦定理,有ABPhttp:/ 5 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdfBPcosBABBPABPA2222Bxxcos2482在中,由余弦定理,有ABC2222)2(2)22(cos222B 8252810 8522xxPA而 22)2(xxxxPCPB令 222285xxxxPCPBPAy 0815)47(287222xxx PCPBPA26.（D）若能找到 6 个整数使满足,21aa,6a（1）；21aa206 a（2），；1a2a21aa3a32aa4a ，；43aa5a54aa4a（3） 54321aaaaa6a则以为边长的六边形，即可符合要求,21aa6, a事实上，对任选三整数 1 6，必有，可见此六边形的任ijkjiaaka三边不能构成一个三角形http:/ 6 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf现取 ，则,8, 5, 3, 2, 1654321aaaaaa4321,aaaa满足全部条件.65,aa故这样的六边形至少存在一个.又由 n 边形(n4)的不稳定性,即知这样的六边形有无穷多个.7. (A)由.bbbbaaaalog21loglog1log得所以 0balog得,0log1, 11, 1ababab且或所以结论(3)与结论(2)都是错误的.在结论(1)中,若.所以结论(1)也是错误的.2. 1. 1,1ababbb得从而得这样,只有结论(4)是正确的.事实上,由,可得2loglogabaa bababalog1log2log21又因为.0log2, 4)(log, 0log2bbbaaa即所以因为为整数,所以=-1,balogbalog即,结论(4)正确.1,1abab从而8. (B)首先,若以,分别记,则 S,S,S均不大于PQRCRQBPQAPR,.又因为,211121ACBPQR)(180所以易证:(,分别为公共边PR上的高,因若作出PQR关于PR2h1h1h2hAPRQRP ,的对称图形PQR，这时Q，A都在以PR为弦的含A的弓形弧上，且因PQ=QR，所http:/ 7 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf018)8(2axaxCPBPAPmiiii2以Q为这弧中点，故可得出h1h2） 。从而S，这样1S21=S+S+S+SNABCS2214最后，当AB=AC-2，A=90时，SABC=2 即可以达到最大值 2。二填空题二填空题1 622 5因 123456789=1012345678+9所以所求数字等于（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）12345678+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）的结果的个位数字。即 58+5=45 的个位数的数字，故所求数字为 5。3 8原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根，由x1+x2=a+8，知a为整数，因此，x-a和x-8 都是整数。故由原方程知 x-a=x-8(=1) 所以 a=8 4400作ADBC，如图，则BD=DC。设BD=DC=y，DPi =x,则 . 4)(2222222ACyADyxAPyxxyAPii.40010021 mmm第二试一一. .证明证明 如图, 连 BD, CE.622)(11221212xxxxxxhttp:/ 8 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf因 .CDEBCDCDEBCDDECDBC2180.DECDCECDBCBD 3180)2180(BCE又 ,3BAE共圆共圆同理可证共圆EDCBAEDBAECBA,.DAECADBAC二二. .解法解法 1 设,0 ,(1,为整数nmnxmx) 1, 若 x+=+=1x1 是整数。11nmnmxx 令 ),(1为整数kxx 即 012kxx解得 ).4(212kkx当易验证它不满足所设等式。1,2xk时当3 时，是满足等式的全体实数。k)4(212kkx由于不是完全平方数（事实上，若则但当3 时，42k224hk422 hkk两个平方数之差不小于 5） 。所以 x 是无理数，即满足题设等式的 x，都不是有理数。解法 2 （1）取或)53(21x)53(21x （2）用反证法证明之。 反设满足等式之x为有理数。http:/ 9 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf 首先，若x为整数，则x=0，代入等式得=1，与 01 矛盾。x1x1 其次，若x为非整数的有理数。 令 （其中 n，p，q 均为整数 1. qp 且（q，p）=1）pqnx 则(其中 s,r 为整数当 n0 时 0rnp+q 当 n-1 时,np+qr0)qnprxx1 =x1qnpr 若x满足等式，即 1qnprpq即 .)()(qnppprqnpq从而得 .)1 (2rqnnppq即 矛盾.1),(,2qpqp与整除故满足等式之x都不是有理数.三三. .证明证明 设各行的棋子数分别.且nnnPPPPP2121, .1P2PnP1nPnP2由题设 ,32121nPPPPPnnn 选取含棋子数为的这 n 行,则,21nPPP ,nPPP 21n2否则, 若, nPPP 2112 nhttp:/ 10 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf则 中至少有一个不大于 1,nPPP ,21由,得 ,nnPP21 1n从而中至少有一个大于 1,这与所设矛盾.nnPP21 选出的这 n 行已含有不少于 2n枚棋子,再选出n列使其包含其余的棋子(不多于n枚),这样选取的n行和n列包含了全部 3n枚棋子.19911991 全国初中数学联合竞赛试卷试卷第一试 一、选择题一、选择题 本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A） 、 （B） （C） 、 （D）四个答案结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内设等式在实数范围内成立，其中yaaxayaaxa)()(a，x，y是两两不同的实数，则的值是（ ）22223yxyxyxyx （A）3 ； （B）； （C）2； （D）3135如图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（ ）（A）10； （B）12； （C） 16； （D）18方程的解是（ ）012 xx（A）； （B）；251251（C）或； （D）251251251已知：（n 是自然数） 那么，的值是（ )19911991(2111nnxnxx)1(2）（）；（）；1199111991http:/ 11 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf（）；（）1991) 1(n11991) 1(n若，其中为自然数，n 为使得等式成立的最大的Mn1210099321自然数，则（ ）（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，那么cbadcbadc的最大值是（ ）dcba（）；（）；（）；（）150如图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR11S32S13S的边长是（ ）（）；（）；（）2 ；（）323在锐角ABC中，ABC的外接圆半径1，则（ 1ACcAB 60AR）（） c 2 ； （）0 2； （D）c = 2二、填空题二、填空题是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是 已知关于x的一元二次方程没有实数02cbxax解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么，么， acb323设m，n，p，q为非负数，且对一切x ，恒成立，则qpnmxxxx) 1(1) 1(11S=13S32Shttp:/ 12 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdfqpnm22)2(四边形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，135120635CD = 6，则AD = 第二试一、实数 x 与 y，使得 x + y，x y，x y，yx四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y） 二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图） 求证：BFAFCF二、 将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数） ，把相对的顶点2nA，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数19911991 全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案第 一 试 一、选择题一、选择题 1 （B） 据算术根性质，由右端知yaq，则上式左边为奇数，右边为偶数，矛盾若n (B)= (C); (D)不确定.MMM3.若,则的个位数字是( )01132xx44 xx(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.4.在半径为 1 的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于 1 且小于,则这个多边2形的边数必为( )(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图)0(aaxyxy和)0(kxky像分别相交于 A 点和 C 点.若和 Rt的面积分别为 S1和 S2,则AOBRtCODS1与 S2的关系是( )(A) (B) (C) (D)不确定21SS 21SS 21SS 答( )6.在一个由个方格组成的边长为 8 的正方形棋盘内放一个半径为 4 的圆,若把88圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部1S分的面积之和记为,则的整数部分是( )2S21SS(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.http:/ 19 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf7.如图,在等腰梯形ABCD中, AB/CD, AB=2CD, ,又E是底边AB上一点,60A且FE=FB=AC, FA=AB.则AE:EB等于( )(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:108.设均为正整数,且9321,xxxx ,则当921xxx 220921 xxx的值最大时,的最小值是( )54321xxxxx19xx (A)8; (B)9; (C)10; (D)11.二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于 18cm,腰上的中线等 15cm,则这个等腰三角形的面积等于_.2.若,则的最大值是_.0 xxxxx442113.在中,的平分线相交于点，又于点，ABCBAC和,90PABPEE若，则 .3, 2ACBCEBAE4.若都是正实数，且，则 .ba,0111baba33)()(baab第二试第二试 一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的062axx三角形只有一个时，求的取值范围.a二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，ABCDACAB,BCEAD且.ACEDBED2求证：.CDBD2三、某个信封上的两个邮政编码 M 和 N 均由 0，1，2，3，5，6 这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D：316250已知编码 A、B、C、D 各恰有两个数字的位置与 M 和 N 相同.D 恰有三个数字的位置与 M 和 N 相同.试求：M 和 N.http:/ 20 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf19921992 全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案第一试 一选择题1.(C)由(1,0)(0,1).01abba又由(1,1).1, 0abba共有 3 对.2.(B)设是方程的根,则.0 x0020cbxax所以202022044)2(babxxabax acbcbxaxa4)(42020 .acb423.(D)由知.所以,.01132xx0 x131xx167213222xx,从而的个位数字为 9-2=7.2167244xx42 xx4.(C)若满足条件的多边形的边数大于或等于 6,则至少有一边所对的圆心角不大于 60.由余弦定理知该边长必不大于 1;同理,若存在满足条件的四边形,则它至少有一边长不小于.25.(B)设 A 点的坐标为(),C 点的坐标为(),11, yx22, yx则.kyxyx2211http:/ 21 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf.22211121212121SCDODyxyxABOBS6.(B)据正方形的对称性,只需考虑它的部分即可.记圆周经过的所有小方格的圆内部分41的面积之和为，圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和为，则1S2S，.841S4152S .44. 256. 441584442121SSSS故的整数部分是 1.21SS7.(B)设,则,易证,1CD2 ABFA121ABBC90ABC.3ACFBFEhttp:/ 22 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdfhttp:/ 23 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdfhttp:/ 24 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdfhttp:/ 25 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf FG 是等腰三角形 BFD 顶角平分线，因而也是底边 BD 上的中线即 BG=GD所以 BD=2BG=2DC三、对于编码 M，考虑编码 A 中恰有两个数位上的数字与 M 中相应数位上的数字相同设这两位是 x1，x2 数位由于 B、C 中该两数位上的数字均与 A 在这两数位上的数字不同，因此 B，C 中这两数位上的数字必与 M 中这两数位上的数字不同，于是 B 中与 M中数字相同的数位必异于 x1，x2不妨设为 x3，x4；同理 C 中与 M 中数字相同的数位只能是异于 x1，x2，x3，x4 的 x5，x6 两位关于 N 也有类似的结论这就是说，在每个数位上，A，B，C 分别在该数位上的数字中，必有一个与 M 在该数位上的数字相同；同样地，也必有一个与 N 在该数位上的数字相同由此知，D 中的 6，0 两数字必不是 M，N 在相应数位上的数字于是 D 的 3，1，2，5 中只有一个数字与 M 在相应数位上的数字不同；与相比较也有类似的结果 (A)若 3 不对，则有 610253，013256； (B)若 1 不对，则有 360251，301256； (C)若 2 不对，则有 312056，310652；(D)若 5 不对，则有 310265，315206 经检验知：该信封上编码 M，N 或者同为 610253，或者同为 310265或者一个是 610253，另一个是 31026519931993 全国初中数学联合竞赛试卷试卷第一试第一试 一一. .选择题选择题本题共有 8 个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式除以的余式是( )1612 xx12x(A)1; (B)-1; (C); (D);1x1xhttp:/ 26 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf2.对于命题.内角相等的圆内接五边形是正五边形.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是( )(A),都对 (B)对,错 (C)错,对. (D),都错.3.设是实数,.下列四个结论:x11xxy.没有最小值; y.只有一个使取到最小值;xy.有有限多个(不止一个)使取到最大值;xy.有无穷多个使取到最小值.xy其中正确的是( )(A) (B) (C) (D)4.实数满足方程组54321,xxxxx .;52154154354324321321axxxaxxxaxxxaxxxaxxx其中是实常数,且,则的大54321,aaaaa54321aaaaa54321,xxxxx小顺序是( )(A); (B);54321xxxxx53124xxxxx(C); (D).52413xxxxx24135xxxxx5.不等式的整数解的个解( )73) 1(12xxx(A)等于 4 (B)小于 4 (C)大于 5 (D)等于 56.在中,则的值ABCBCAOOA,是垂心是钝角)cos(OCBOBC是( )http:/ 27 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf(A) (B) 2222(C) (D).2321答( )7.锐角三角ABC的三边是a, b, c,它的外心到三边的距离分别为m, n, p,那么m:n:p等于( )(A); (B) cba1:1:1cba:(C) (D).CBAcos:cos:cosCBAsin:sin:sin答( )8.可以化简成( )13333)919294(3(A); (B) (C) (D) 12(333) 12(333123123答( )二二. .填空题填空题1. 当x变化时,分式的最小值是_.15632212xxxx2.放有小球的 1993 个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有 7 个小球,且每四个相邻的盒里共有 30 个小球,那么最右面的盒里有_个小球.3.若方程有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距kxx)4)(1(22排列,则=_.k4.锐角三角形ABC中,.以BC边为直径作圆,与AB, AC分别30A交于D, E,连接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE与四边形BDEC,设它们的面积分别为S1, S2,则S1:S2=_.第二试第二试一.设H是等腰三角形ABC垂心,在底边BC保持不变的情况下让顶点A至底边BC的距离变小,这时乘积的值变小,变大,还是不变?证HBCABCSS明你的结论.http:/ 28 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在边AB ,AC上分别取点D, E, 使线段DE将ABC分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE的最小长度.ABC三.已知方程分别各有两个整数根及,0022bcxxcbxx及21,xx21,xx且., 021xx021xx(1)求证:; 0, 0, 0, 02121xxxx(2)求证:;1bc1b(3)求所有可能的值.cb,19931993 年年全国初中数学联合竞赛试卷答案试卷答案第第 一一 试试 一选择题一选择题1 （A） ，1) 1(166612xxxx 余式为 1.2 （B）命题 I 正确，证明如下：如图，ABCDE为圆内接五边形，各内角相等.由，知=，于是=.BA BCE CEA BC EA .EABC 同理可证 .故ABCDE是正五边形.EACDABDEBC命题 II 不正确，反例如下：如图，ABCD为圆内接矩形，A=B=C=D=90,，但，显然，ABCD满足命题 II 条件，但不是正CDAB DABC BCAB 四边形.3 （D）因为、分别表示数轴上点x到点 1 和点-1 的距离.1x1xhttp:/ 29 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf因此，当-1x1 时，；211xxy当时，；1x212211xxxy当时，.1x212211xxxy而在-1 与 1 之间无穷多个实数x，故有无穷多个x使y取到最小值.4 （C）给定方程组中的方程按顺序两两相减分别得 ，2141aaxx3252aaxx ，4313aaxx5424aaxx ，54321aaaaa ，.41xx 52xx 13xx 24xx 于是有 .52413xxxxx5 （A）注意到 73) 1(12xxx. 0)6)(1(, 0) 1)(2(xxxx .210) 1)(2(xxxx或 .610)6)(1(xxx于是原不等式的整数解是介于-1 与 6 之间且不等于 1,2 的整数.即 0,3,4,5 四个整数.6 （A）设的三条高线AD、BE、CF相交于点O.因为钝角三角形，故其垂心OABCABC在的外部（如图）.ABC B、D、F、O四点共圆，故 .21又由题设 ，BCOA 知 ，OAFRtBCFRthttp:/ 30 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf ，BFOF 于是 .45BOF而 OCBOBC ，135180BOF 135cos)cos(OCBOBC .227 （C）如图，设O是的外心，ABC，ROCOBOA，ABOCRmcos21cos .ARmcos同理 ，.BRncosCRpcos .CBApnmcos:cos:cos:8 （D） 原式131323131) 122()91(3 .1212121)2(3331131331二、填空题二、填空题14 2226221012612156322222xxxxxxxxxx ，1) 1(262xhttp:/ 31 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf 当 x=-1 时，公式取最小值 4.27设从左到右小盒里的球数为 7,a2,a3,a1993, ，307432aaa305432aaaa .75a同理 .719931417139aaaaak374设，原方程变为.设此方程有根，则原yx 20452kyy)0(,方程的四个根为，.由于它们在数轴上对应的四个点等距排列，故.)(9由韦达定理 ，得5 ，2129于是 ，494k .47k43如图，BC为圆的直径， ，90180BECAEB .2330coscosAABAE又 ，ADEABC .23ABAEACADhttp:/ 32 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf由此可知2)(sin21sin21ABAEAACABAAEADSSABCAED .43因而四边形DBCE面积 .ABCSS412 .3:21SS第第 二二 试试一、解法一、解法 1 1 不妨设角A是锐角，连接AH并延长交BC于D点.延长BH、CH分别交AC于 E，交AB于F，如图. ,AHEBHD .HAEHBD因此 BDHRtADCRt .HDDCBDAD又 ,BCDCBD21.241BCDCBDHDAD于是)21)(21(BCHDBCADSSHBCABC .4161BC当A90时，同理可证上式也成立，由于BC是不变的，所以当A点至BC的距离变小时，乘积保持不变.HBCABCSS解法解法 2 2 作图如解法 1，再延长AD至G，使DG=DH，并分别连接BG，GC.由HBDGBD知， .CAGCBHCBG因而，A,B,G,C 四点共圆.由相交弦定理，得DCBDDGADHDADhttp:/ 33 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf .241BC因此， HBCABCSS )21)(21(BCHDBCAD .4161BC由于BC是不变的.所以当点A至BC的距离变小时，乘积保持不变.HBCABCSS二、二、 由于，知ABC是直角三角形.如图.，222131253012521ABCS设 ，xAD yAE 由于 AxySADEsin21 ，15 ，135sinA知 xy = 78.由余弦定理知：)cos1 (2)(cos22222AxyyxAxyyxDE )13121 (782)(2yx 12，12)(2yx当x=y时，上式的等号成立，此时 达到最小值.3212 DE三、三、 （1）假如,同由，知，对于已知两个方程用韦达定理01x021xx02x得，这与已知，矛盾.因此，.2121 xxbxx021xx021xx01x02x同理 ，.01x02xhttp:/ 34 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf（2）由韦达定理及 ，有01x02x 1) 1(2121xxxxbc 0,) 1)(1(21xx cb-1.对于方程 进得同样讨论，得 bc-1.02bcxx综合以上结果，有 b-1cb+1.（3）根据（2）的结果可分下列情况讨论：（I）当 c=b+1 时，由韦达定理有从而.由于12121xxxx2) 1)(1(21xxx1,x2都是负整数，故 或. 21, 1121xx. 11, 2121xx由此算出，.5b6c经检验 ，符合题意.5b6c（II）当c=b时，有，从而.因此 )(2121xxxx1) 1)(1(21xx.故 .221 xx4 cb经检验 符合题意.4 cb（III）当时，对方程 作（I）类似讨论，得1 bc1 cb02bcxx，.6b5c综上所述得三组值： , 65cb, 56cb. 44cb19941994 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题 第一试一、选择题本题共有 8 个小题，每小题都给出了（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中只有一个是正确的，请把正确结论代表字母在题后的圆括号内。http:/ 35 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf1若 0ab，a+b= c，则 N=_。2当时，函数的最大值是_。6|1|x12|xxxy3在ABC 中，设 AD 是高，BE 是角平分线，若 BC=6，CA=7，AB=8，则DE=_。 4把两个半径为 5 和一个半径为 8 的圆形纸片放在桌面上，使它们两两相切，若要用大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于_。第二试一、如图所示，在ABC 中，AB=AC，任意延长 CA 到 P，再延长AB 到 Q 使，AP=BQ，求证：ABC 的外心 O 与 A，P，Q 四点共圆。二、周长为 6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？三、某次数学竞赛共有 15 个题，下表是对于做对 n（n=0,1,2,15）个题人数的一个统计，如果又知其中做对 4 个题和 4 个题以上的学生每人平均做对 6 个题，做对 10 个题和 10 题以下的学生每人平均做对 4 个题，问这个表至少统计了多少？ n012312131415做对 n 个题的人数7810211563119941994 年全国初中数学联赛试题答案年全国初中数学联赛试题答案第第 一一 试试一、选择题1 （A） ，aaaaaa221)1()1(http:/ 37 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf 原式.aaaaaaa11111122 （D） )(2)(2222cabcabcbazyx ，0)()()(222accbba即，故x,y,z中至少有一个大于 0.0zyx3 （B）如图，连接OC，OD.设半圆O的半径为 r，则在AOD中，边AO与DA上的高都为r，故AO=DA. 同理，BO=BC.故AB=BC+DA=5.4 （B）因为，所以，即.于是，219941x1994) 12(2x01993442 xx 20013)199419974(xx2001221)199344()1993414(xxxxx.1) 1(20015 （D）因为每一个“三线八角”基本图形中都有两对同旁内角，而从所给图形中可以分解出如下 8 个基本图形，共有 16 对同旁内角.6 （C）取，代入原方程得，即.此时方程有一个负根，于1pxx1012 xx是可排除（A） ， （B）.取，代入原方程得，无解，故排除（D）.因此应选（C）.1p012 xx7 （B）http:/ 38 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf由题设可知，H，D，C，E四点共圆.因此，有（如图）AEACAHAD BAEABACcos )(21222BCABAC .)(21222acb同理， ，)(21222bacBEBH .)(21222cbaCFCH所以 .)(21222cbaCFCHBEBHADAH8 （C）由及可得及.故xxa1994zyb1994xza111994bzb111994.因此.zyxzab111119941994)(9972199411994ab但a,b均不为 1，故有，或，.于是，2a+b=1001 或2a997b997a2b1996二、填空题二、填空题1-4，且，所以，取，从而)2)(1(22xxxxba 2a1b.因此，1bac.112222xxxxNMx在上式中，令，得.0 x4N216由6 解得-7x5.1x当 0 x5 时，此时22) 1(12xxxy ；16) 15(2增大yhttp:/ 39 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf当-7x0 时，此时22) 1(212xxxy因此，当-7x5 时，y的最大值是 16.3.4151如图，由已知有.由此可得ABBCEACE .ABBCBCEACECE .31467CE又 BCACABBCACC2cos222 ，41672867222 CDCCEDCCEDEcos2222 .161514141732)417(322因此， .4151DE43113如图，设O1的半径为 8，O2，O3的半径为 5，切点为A，由对称性可知，能盖住这三个圆的最小圆形片的圆心O必在对称轴O1A 上，且与已知三个圆相内切.若设这个圆形纸片的半径为r，则在 RtO1O2A 中， .125)58(221AO在 RtOO2A 中， 222)812(5)5(rrhttp:/ 40 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf解出 .3113340r第第 二二 试试一、证明 如图，连接OA,OC,OP,OQ.在和中，OC=OA.由已知，OCPOAQ，.ABCA BQAP .AQCP 又O是的外心，ABC .OACOCP由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上.，从而.OAQOACOAQOCP因此， ，OCPOAQ于是， .AQOCPO所以，O,A,P,Q四点共圆.二、这样的直角三角形存在，恰有一个.设此直角三角形斜边为c,两直角边分别为a,b,面积为S,则 abc1,k为整数）.若n=4k，此时12 kn n=k+(k+1)由于，上述表示符合要求.1) 1,(kk（2）当n为偶数时，设或(k1,k为整数).若，此时kn424 kkn4 .) 12() 12(kkn与是互质的，因为若它们有公因数d2，设, 12 k12 kndk12mdk12(m,n是自然数)，则，可见，所以，这与，均为奇2)(dnm2d2d12 k12 k数相矛盾.若 ，此时24 kn .)32() 12(kkn与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, 12 k32 kndk12mdk32(m,n是自然数)，则，可见，所以，这与，均为奇2)(dnm2d2d12 k12 k数相矛盾.若 ，此时24 knhttp:/ 49 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf .)32() 12(kkn与是互质的.因为若它们有公因数d2，设, 12 k32 kndk12mdk32(m,n是自然数)，则，可见，即d=2 或 4.这与，均为奇4)(dnm4d12 k32 k数相矛盾.综上所述，原命题得证. 19951995 年全国初中数学联赛参考答案年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题1讲解：这类指数幂的比较大小问题，通常是化为同底然后比较指数，或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有c(53)111251124311(35)11a25611(44)11b。选C。利用lg20.3010，lg30.4771计算lga、lgb、lgc也可以，但没有优越性。2讲解：这类方程是熟知的。先由第二个方程确定z1,进而可求出两个解：(2，21，1)、(20，3，1)也可以不解方程组直接判断：因为xy(否则不是正整数)，故方程组或无解或有两个解，对照选择支，选B。3讲解：显然，方程的一个根为1，另两根之和为x1x221。三根能作为一个三角形的三边，须且只须x1x21又有044m14讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也http:/ 50 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf存在且唯一又由AB2AD225260252（52122）52132(3242)132392522BC2CD2故可取BD65为直径，得周长为65，选D5讲解：此题的得分率最高，但并不表明此题最容易，因为有些考生的理由是错误的比如有的考生取AB为直径，则MN0，于是就选B其实，这只能排除A、C，不能排除D不失一般性，设CEED，在CE上取CFED，则有OFOE，且SACESADESAEF2SAOE同理，SBCESBDE2SBOE相加，得SABCSDAB2SOAB，即MN选B若过C、D、O分别作AB的垂线（图3） ，CEAB、DFAB、OLAB，垂足分别为E、F、L连CF、DE，可得梯形CEDF又由垂径分弦定理，知L是EF的中点根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有CEDF2OL即MN选B6讲解：取a-1、b2可否定A、C、D，选B一般地，对已知不等式平方，有a(ab)aab显然a(ab)0（若等于0，则与上式矛盾） ，有两边都只能取1或-1，故只有1-1，即有a0且ab0，从而b-a0选B二、填空题1讲解：本题虽然以计算为载体，但首先要有试验观察的能力经计算12，22，102，知十位数字为奇数的只有4216，6236然后，对两位数http:/ 51 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf10ab，有（10ab）220a（5ab)b2其十位数字为b2的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有b4或6时，其十位数字才会为奇数，问题转化为，在1，2，95中个位数出现了几次4或6，有291192.讲解：这类问题一般都先化简后代值，直接把a学生在这道题上的错误主要是化简的方向不明确，最后又不会将a2a作为整体代入这里关键是整体代入，抓住这一点，计算可以灵活比如，由有由，得由并将代入，得还可由得http:/ 52 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf即得所求3讲解：这个题目是将二次函数yx2x与反比例函数因而x1时，y有最小值15 讲解：此题由笔者提供，原题是求sinCAB，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值sin75、sin156 解法如下：与AB2AB2AC2联立，可推出而式、表明，AB、AC是二次方程http:/ 53 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf改为求CAB之后，思路更宽一些如，由第二试一、讲解：首先指出，本题有IMO29-5（1989年）的背景，该题是：在直角ABC中，斜边BC上的高，过ABD的内心与ACD的内心的直线分别交边AB和AC于K和L，ABC和AKL的面积分别记为S和T求证S2T在这个题目的证明中，要用到AK ALAD今年的初中联赛题相当于反过来，先给出AKALAD(斜边上的高)，再求证KL通过ABD、ADC的内心（图7） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连FC、FD、FE，然后证其中两个为相应的角平分线；其二是过F作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等下面是几个有代表性的证法http:/ 54 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf证法1：如图6，连DF，则由已知，有连BD、CF，由CDCB，知FBDCBD45CDB45FDB，得FBFD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是ECD的平分线由于F是CDE上两条角平分线的交点，因而就是CDE的内心证法2：同证法1，得出CDF459045FDE之后，由于ABC=FDE，故有B、E、D、F四点共圆连EF，在证得FBD=FDB之后，立即有FEDFBDFDBFEB，即EF是CED的平分线本来，点E的信息很少，证EF为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E上来了，因而证法2并不比证法1复杂由这个证明可知，F是DCB的外心证法4：如图8，只证CF为DCE的平分线由AGCGBAGAB452，AGC=ADC=CAD=CAB+1=45+1http:/ 55 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf得12从而DCFGCF，得CF为DCE的平分线证法5：首先DF是CDE的平分线，故CDE的外心I在直线DF上现以CA为y轴、CB为x轴建立坐标系，并记CACBCDd,则直线AB是一次函数y-xd的图象（图9） 若记内心I的坐标为（x1，y1） ，则x1y1CHIHCHHBCBd满足，即I在直线AB上，但I在DF上，故I是AB与DF的交点由交点的唯一性知I就是F，从而证得F为RtCDE的内心还可延长ED交O于P1，而CP为直径来证二、讲解：此题的原型题目是：于第一象限内，纵坐标小于横坐标的格点这个题目的实质是解不等式求正整数解直接解，数字较繁但有巧法，由及1yx，知12(x1)199512xhttp:/ 56 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf但1953126219951262632016，得x63，从而y21，所求的格点为(21，63)经过命题组的修改之后，数据更整齐且便于直接计算有x2x1810 x当x0时，有x211x180，得2x9，代入二次函数，得合乎条件的4个整点：(2,2),(4,3),(7,6),(9,9);当x0时，有x29x180，得-6x-3，代入二次函数，得合乎条件的2个整点：(-6,6),(-3,3)对x0，取x2,4,7,9,12,14,顺次代入，得(2，2)、(4，3)、(7，6)、(9，9)，且当x9时，由对x0，取x-1,-3,-6,-8,顺次代入，得(-3，3)、(-6，6)，且当x-x，再无满足yx的解故一共有6个整点，图示略解法3：先找满足条件yx的整点，即分别解方程x211x180 http:/ 57 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdfx29x180可得(2，2)、(9，9)、(-6，6)、(-3，3)再找满足yx的整点，这时2x9或-6x-3，依次检验得(4，3)、(7，6)故共有6个整点三、讲解：直观上可以这样看，当n6时，在2，3，n2中，必有一个数A与n互质(2An2)，记BnA2，有nAB此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾但是，对于初中生来说，这个A的存在性有点抽象，下面分情况，把它具体找出来(1)当n为奇数时，有n2(n2)，(2)当n为偶数，但不是4的倍数时，有(3)当n为偶数，且又是4的倍数时，有19961996 年全国初中数学联赛试题年全国初中数学联赛试题第一试第一试一一. . 选择题选择题本题共有 6 个小题，每一个小题都给出了以（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）为代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内.http:/ 58 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf 1实数满足，记，则的关系ba,1abbbaaNbaM11,1111、MN为（ ）（A） （B） （C） （D）不确定. ;NM ;NM ;NM 2设正整数满足，则这样的的取值（ nma,nma242nma,）（A）有一组； （B）有两组； （C）多于二组； （D）不存在3如图，是半径为 1 的外一点，是的切线，是切点，弦AOABOA, 2OB，连结，则阴影部分的面积等于（ ）BCOAAC（A） （B）（C） （D）;92;6;836.8344设是二次方程的两个根，那么，的值等于21,xx032 xx1942231 xx（ ）（A） （B）8； （C）6； （D）0. ; 45如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ）（A）内心； （B）外心； （C）重心； （D）垂心.答（ ）6如果 20 个点将某圆周 20 等分，那么顶点只能在这 20 个点中选取的正多边形有多少个. （ ）(A)4; (B)8; (C)12; (D)24.二、填空题1.已知实数,是方程组 的解.则= .0 x0y11xyxy00yx 2.如图,在中,ABCACAB MBCABNaBNNMBM,则点到边的距离等于 .NBChttp:/ 59 页 共 125 页9222fcc796ab30718e771dbe7d60bd6c.pdf3.设,且 333199719961995zyx0 xyz3222199719961995zyx则= .333199719961995zyx1114.如图,将边长为 1 的正方形绕点按逆时针方向旋转至的位ABCDA060DCBA置,则这两个正方形重叠部分的面积是 .第二试第二试一、某校在向“希望工作”捐款活动中,甲班的个男生和 11 个女生的捐款总数与m乙班的 9 个男生和个女生的捐款总数相等，都是元.已知每人捐n)145119(nmmn款数相同，求每人的捐款数.二、设凸四边形的对角线,的交点为,过点作的平行线分ABCDACBDMMAD别交,于点,交的延长线于点,是以为圆心,为半径的圆上ABCDEFBCOPOOM一点(如图).求证:.OEPOPF三、已知,是正整数,且抛物线与轴有两个不同