高中数学人教a版高二选修22阶段质量检测(二)a卷word版含解析

(A 卷卷 学业水平达标学业水平达标) (时间时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分) 一、选择题一、选择题(本大题共本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分分) 1观察下列各等式：观察下列各等式：2246642，5543342，7741142，101042242，依照以，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn48n 8n 42 B.n1 n1 4 n1 5 n1 42 C.nn4n4 n4 42 D.n1 n1 4n5 n5 42 解析：解析：选选 A 观察分子中观察分子中 26537110(2)8. 2下列三句话按下列三句话按“三段论三段论”模式排列顺序正确的是模式排列顺序正确的是( ) ycos x(xR)是三是三角函数；角函数； 三角函数是周期函数；三角函数是周期函数； ycos x(xR)是周期函数是周期函数 A B C D 解析：解析：选选 B 按按“三段论三段论”的模式，排列顺序正确的是的模式，排列顺序正确的是. 3由由“正三角形的内切圆切于三边的中点正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面正四面体的内切球切于四个面_”( ) A各正三角形内一点各正三角形内一点 B各正三角形的某高线上的点各正三角形的某高线上的点 C各正三角形的中心各正三角形的中心 D各正三角形外的某点各正三角形外的某点 解析：解析：选选 C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心 4(山东高考山东高考)用反证用反证法证明命题法证明命题“设设 a，b 为实数，则方程为实数，则方程 x3axb0 至少有一个实根至少有一个实根”时，要做时，要做的假设是的假设是( ) A方程方程 x3axb0 没有实根没有实根 B方程方程 x3axb0 至多有一个实根至多有一个实根 C方程方程 x3axb0 至多有两个实根至多有两个实根 D方程方程 x3axb0 恰好有两个实根恰好有两个实根 解析：解析： 选选 A 因为因为“方程方程 x3axb0 至少有一个实根至少有一个实根”等价于等价于“方程方程 x3axb0 的实根的个数大的实根的个数大于或等于于或等于 1”，因此，要做的假设是，因此，要做的假设是“方程方程 x3axb0 没有实根没有实根” 5将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) a bb a；(a b) ca (b c)；a (bc)a ba c；由由 a ba c(a0)，可得，可得 bc. 则正确的结论有则正确的结论有( ) A1 个个 B2 个个 C3 个个 D4 个个 解析：解析：选选 B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故正确，正确，错误；错误；由由 a ba c(a0)得得 a (bc)0，从而，从而 bc0 或或 a(bc)，故，故错误错误 6用数学归纳法证明用数学归纳法证明(n1)(n2)(n3)(nn)2n 1 3 (2n1)(nN*)时，从时，从 nk 到到 nk1时，左边需增时，左边需增乘的代数式是乘的代数式是( ) A2k1 B2(2k1) C.2k1k1 D.2k3k1 解析：解析：选选 B 增乘的代数式为增乘的代数式为 k1k k1k1 k12(2k1) 7已知已知 a(0，)，不等式，不等式 x1x2，x4x23，x27x34，可推广为，可推广为 xaxnn1，则，则 a 的值的值为为( ) A2n Bn2 C22(n1) Dnn 解析：解析：选选 D 将四个答案分别用将四个答案分别用 n1,2,3 检验即可，故选检验即可，故选 D. 8用火柴棒摆用火柴棒摆“金鱼金鱼”，如下图所示：，如下图所示： 按照上面的规律，第按照上面的规律，第 n 个个“金鱼金鱼”图形需要火柴棒的根数为图形需要火柴棒的根数为( ) A6n2 B8n2 C6n2 D8n2 解析：解析：选选 C 归纳归纳“金鱼金鱼”图形的构成规律知，后面图形的构成规律知，后面“金鱼金鱼”都比它前面的都比它前面的“金鱼金鱼”多了去掉尾巴后多了去掉尾巴后 6 根火根火柴组成的鱼头部分，故各柴组成的鱼头部分，故各“金鱼金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项图形所用火柴棒的根数构成一首项为为 8，公差是，公差是 6 的等差数列，通项公式为的等差数列，通项公式为an6n2. 9观察下列各式：观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则，则 a10b10等于等于( ) A28 B76 C123 D199 解析：解析： 选选 C 记记 anbnf(n)， 则则 f(3)f(1)f(2)134； f(4)f(2)f(3)347； f(5)f(3)f(4)11. .通过观察不难发现通过观察不难发现 f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123. 所以所以 a10b10123. 10数列数列an满足满足 a112，an111an，则，则 a2 015等于等于( ) A.12 B.1 C2 D3 解析：解析：选选 B a112，an111an， a211a11，a311a22， a411a312，a511a41， a611a52，an3kan(nN*，kN*)， a2 015a23671a21. 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分) 11设函数设函数 f(x)12x 2，利用课本中推导等差数列前，利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得项和公式的方法，可求得 Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为的值为_ 解析：解析：f(x)12x 2， f(1x)121x 22x2 2 2x12 2x22x. f(x)f(1x)112 2x22x22， 发现发现 f(x)f(1x)正好是一个定值，正好是一个定值， 2S2212，S3 2. 答案：答案：3 2 12已知已知 2232 23， 3383 38， 44154 415，若，若 6ab6 ab(a，b均为实数均为实数)，请推测，请推测 a_，b_. 解析：解析：由前面三个等式，推测归纳被由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和平方数的整数与分数的关系，发现规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减 1，由此推测，由此推测 6ab中：中：a6，b62135，即，即 a6，b35. 答案：答案：6 35 13若定义在区间若定义在区间 D 上的函数上的函数 f(x)对于对于 D 上的上的 n 个值个值 x1，x2，xn，总满足，总满足1nf(x1)f(x2)f(xn)f x1x2xnn，称函数，称函数 f(x)为为 D 上的凸函数现已上的凸函数现已知知 f(x)sin x 在在(0，)上是凸函数，则上是凸函数，则ABC中，中，sin Asin Bsin C 的最大值是的最大值是_ 解析：解析：因为因为 f(x)sin x 在在(0，)上是凸函数上是凸函数(小前提小前提)， 所以所以13(sin Asin Bsin C)sinABC3(结论结论)， 即即 sin Asin Bsin C3sin33 32. 因此因此 sin Asin Bsin C 的最大值是的最大值是3 32. 答案：答案：3 32 14观察下图：观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 则第则第_行的各数之和等于行的各数之和等于 2 0152. 解析：解析：观察知，图中的第观察知，图中的第 n 行各数构成一个首项为行各数构成一个首项为 n，公差为，公差为 1，共，共 2n1 项的等差数列，其各项和为项的等差数列，其各项和为 Sn(2n1)n 2n1 2n2 2(2n1)n(2n1) (n1)(2n1)2， 令令(2n1)22 0152，得，得 2n12 015，解得，解得 n1 008. 答案：答案：1 008 三、解答题三、解答题(本大题共本大题共 4 小题，共小题，共 50 分解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤分解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15(本小题满分本小题满分 12 分分)观察：观察：sin210 cos240 sin 10 cos 40 34；sin26 cos236 sin 6 cos 3634. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？证明你的猜想 解：解：猜想：猜想：sin2cos2(30 )sin cos(30 )34. 证明如下：证明如下：sin2cos2(30 )sin cos(30 ) 1cos 221cos 60 2 212sin(30 2)sin(30 ) 1cos 60 2 cos 2212sin(230 )14 3412cos 60 cos 2sin 60 sin 2cos 212sin(230 ) 3412 12cos 232sin 2 12sin(230 ) 3412sin(230 )12sin(230 )34， 即即 sin2cos2(30 )sin cos(30 )34. 16(本小题满分本小题满分 12 分分)已知已知ABC 的三边长分别为的三边长分别为 a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，且其中任意两边长均不相等，若1a，1b，1c成等差数列成等差数列 (1)比较比较 ba与与 cb的大小，并证明你的结论；的大小，并证明你的结论； (2)求证：角求证：角 B 不可能是钝角不可能是钝角 解：解：(1) ba cb.证明如下：证明如下： 要证要证 ba cb，只需证，只需证bacb. a，b，c0，只需证只需证 b2ac. 1a，1b，1c成等差数列，成等差数列， 2b1a1c2 1ac，b2ac. 又又a，b，c 均不相等，均不相等，b2ac， 故所得大小关系正确故所得大小关系正确 (2)证明：证明：法一：法一：假设角假设角 B 是钝角，则是钝角，则 cos B0. 由余弦定理得，由余弦定理得， cos Ba2c2b22ac2acb22acacb22ac0， 这与这与 cos B0 矛盾，故假设不成立，矛盾，故假设不成立， 所以角所以角 B 不可能是钝角不可能是钝角 法二：法二：假设角假设角 B 是钝角，则角是钝角，则角 B 的对边的对边 b 为最大边，即为最大边，即 ba，bc，所以，所以1a1b0，1c1b0，则，则1a1c1b1b2b，这与，这与1a1c2b矛盾，故假设不成立，矛盾，故假设不成立， 所以角所以角 B 不可能是钝角不可能是钝角 17(本小题满分本小题满分 12 分分)先解答先解答(1)，再通过结构类比解答，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：求证：tan x41tan x1tan x. (2)设设 xR，a 为非零常数，且为非零常数，且 f(xa)1f x 1f x ，试问：，试问：f(x)是周期函数吗？证明你的结论是周期函数吗？证明你的结论 解：解：(1)根据根据两角和的正切公式得两角和的正切公式得 tan x4tan xtan41tan xtan4tan x11tan x1tan x1tan x， 即即 tan x41tan x1tan x，命题得证，命题得证 (2)猜想猜想 f(x)是以是以 4a 为周期的周期函为周期的周期函数数 证明：因为证明：因为 f(x2a)f(xa)a)1f xa 1f xa 11f x 1f x 11f x 1f x 1f x ， 所以所以 f(x4a)f(x2a)2a)1f x2a f(x) 所以所以 f(x)是以是以 4a 为周期的周期函数为周期的周期函数 18(本小题满分本小题满分 14 分分)在各项为正的数列在各项为正的数列an中，数列的前中，数列的前 n 项和项和 Sn满足满足 Sn12 an1an. (1)求求 a1，a2，a3； (2)由由(1)猜想到数列猜想到数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 解：解：(1)S1a112 a11a1，得，得 a211， 因为因为 an0，所以，所以 a11. S2a1a212 a21a2，得，得 a222a210， 所以所以 a2 21. S3a1a2a312 a31a3， 得得 a232 2a310，所以，所以 a3 3 2. (2)猜想猜想 an n n1(nN*) 证明如下：证明如下：n1 时，时， a1 1 01，命题成立，命题成立 假设假设 nk(k1，kN*)时，时， ak k k1成立，成立， 则则 nk1 时，时，ak1Sk1Sk 12 ak11ak112 ak1ak，即，即 ak1 12 ak11ak112k k11k k1 12 ak11ak1 k， 所以所以 a2k12 kak110， 所以所以 ak1 k1 k，则，则 nk1 时，命题成立时，命题成立 由由知，知，nN*，an n n1.