高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及应用练习

1 第第 4 4 讲讲 函数函数y yA Asinsin( (xx) )的图像及应用的图像及应用 一、选择题 1.(2016全国卷)若将函数y2sin 2x的图像向左平移12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( ) A.xk26(kZ Z) B.xk26(kZ Z) C.xk212(kZ Z) D.xk212(kZ Z) 解析 由题意将函数y2sin 2x的图像向左平移12个单位长度后得到函数的解析式为y2sin2x6，由 2x6k2得函数的对称轴为xk26(kZ Z)，故选 B. 答案 B 2.(2017衡水中学金卷)若函数ysin(x)(0，| |2)在区间2， 上的图像如图所示，则，的值分别是( ) A.2，3 B.2，23 C.12，3 D.12，23 解析 由图可知，T263，所以2T2，又 sin260，所以3k(kZ Z)，即3k(kZ Z)，而|0)个单位后的图像关于y轴对称，则a的最小值是( ) A.6 B.3 C.2 D.23 解析 依题意得f(x)2sinx6，因为函数f(xa)2sinxa6的图像关于y轴对称，所以 sina61，a6k2，kZ Z，即ak3，kZ Z， 2 因此正数a的最小值是3，选 B. 答案 B 4.(2016长沙模拟)函数f(x)3sin2xlog12x的零点的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析 函数y3sin2x的周期T224，由 log12x3，可得x18.由 log12x3，可得x8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y3sin2x和ylog12x的图像(如图所示)，易知有 5 个交点，故函数f(x)有 5 个零点. 答案 D 5.(2017宜春调研)如图是函数f(x)sin 2x和函数g(x)的部分图像，则g(x)的图像可能是由f(x)的图像( ) A.向右平移23个单位得到的 B.向右平移3个单位得到的 C.向右平移712个单位得到的 D.向右平移6个单位得到的 解析 由函数f(x)sin 2x和函数g(x)的部分图像，可得g(x)的图像位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有1724m48，解得m712，故把函数f(x)sin 2x的图像向右平移71243个单位，即可得到函数g(x)的图像，故选 B. 答案 B 二、填空题 6.(2016龙岩模拟)某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数yaAcos6（x6） (x1，2，3，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高为 28 ， 3 12 月份的月平均气温最低为 18 ，则 10 月份的平均气温为_. 解析 因为当x6 时，yaA28； 当x12 时，yaA18，所以a23，A5， 所以yf(x)235cos6（x6） ， 所以当x10 时，f(10)235cos64 2351220.5. 答案 20.5 7.(2016全国卷)函数ysin x 3cos x的图像可由函数ysin x 3cos x的图像至少向右平移_个单位长度得到. 解析 ysin x 3cos x2sinx3，ysin x 3cos x2sinx3，因此至少向右平移23个单位长度得到. 答案 23 8.已知函数f(x)sin(x)0，22的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2，且过点2，12，则函数f(x)的解析式为_. 解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为 2 2，可得T22（11）22 2，解得T4，故2T2， 即f(x)sinx2.又函数图像过点2，12， 故f(2)sin22sin 12， 又22， 解得6，故f(x)sinx26. 答案 f(x)sinx26 三、解答题 4 9.已知函数f(x)sin xcosx6，其中xR R，0. (1)当1 时，求f3的值； (2)当f(x)的最小正周期为时，求f(x)在0，4上取得最大值时x的值. 解 (1)当1 时，f3sin 3cos 2 32032. (2)f(x)sin xcosx6 sin x32cos x12sin x 12sin x32cos xsinx3. 2|，且0，得2，f(x)sin2x3. 由x0，4，得 2x33，56， 当 2x32，即x12时，f(x)max1. 10.已知函数f(x) 3sin(x)0，22的图像关于直线x3对称， 且图像上相邻最高点的距离为. (1)求f4的值； (2)将函数yf(x)的图像向右平移12个单位后，得到yg(x)的图像，求g(x)的单调递减区间. 解 (1)因为f(x)的图像上相邻最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2T2. 又f(x)的图像关于直线x3对称，所以 23k2(kZ Z)，因为22，所以k0， 所以2236，所以f(x) 3sin2x6， 5 则f4 3sin246 3sin 332. (2)将f(x)的图像向右平移12个单位后，得到 fx12的图像， 所以g(x)fx12 3sin2x126 3sin2x3. 当 2k22x32k32(kZ Z)， 即k512xk1112(kZ Z)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为k512，k1112(kZ Z). 11.(2017西安调研)设函数f(x)sin2x6，则下列结论正确的是( ) A.f(x)的图像关于直线x3对称 B.f(x)的图像关于点6，0 对称 C.f(x)的最小正周期为，且在0，12上为增函数 D.把f(x)的图像向右平移12个单位，得到一个偶函数的图像 解析 对于函数f(x)sin2x6，当x3时， f3sin 5612，故 A 错；当x6时， f6sin 21，故6，0 不是函数的对称点，故 B 错；函数的最小正周期为T22，当x0，12时， 2x66，3，此时函数为增函数，故 C 正确； 把f(x)的图像向右平移12个单位，得到g(x)sin2x126sin 2x，函数是奇函数，故 D 错. 6 答案 C 12.(2017南昌一模)已知函数f(x)2sin x在区间3，4上的最小值为 2，则的取值范围是( ) A.，926，) B.，9232， C.(，26，) D.(，232， 解析 当0 时，3x4，由题意知32，即32；当0)，xR R.在曲线yf(x)与直线y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为3，则f(x)的最小正周期为_. 解析 f(x) 3sin xcos x2sinx6. 由 2sinx61 得 sinx612， x62k6或x62k56(kZ Z). 令k0，得x166，x2656， x10，x223. 由|x1x2|3，得233，2. 故f(x)的最小正周期T22. 答案 14.(2017郑州模拟)某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)0，|2在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： x 0 2 32 2 7 x 3 56 Asin(x) 0 5 5 0 (1)请将上表数据补充完整，并求出函数f(x)的解析式； (2)将yf(x)的图像向左平移6个单位，得到函数yg(x)的图像.若关于x的方程g(x)(2m1)0 在区间0，2上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 解 (1)根据表中已知数据， 解得A5，2，6. 数据补全如下表： x 0 2 32 2 x 12 3 712 56 1312 Asin(x) 0 5 0 5 0 且函数表达式为f(x)5sin2x6. (2)通过平移，g(x)5sin2x6， 方程g(x)(2m1)0 可看成函数yg(x)和函数y2m1 的图像在0，2上有两个交点， 当x0，2时，2x66，76，为使直线y2m1 与函数yg(x)的图像在0，2上有两个交点，结合函数yg(x)在0，2上的图像， 只需522m15，解得34m2. 即实数m的取值范围为34，2 .