北京各区数学一模试题分类汇编——立体几何

2011北京各区数学一模试题分类汇编立体几何1. （朝阳理16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面. 若.（）求证：平面；ABPCD（）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（）求二面角的余弦值.解法一：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 4分（）在上存在中点，使得平面， EFABPCD证明如下：设的中点是， 连结，则，且.由已知，GHABPCD所以. 又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 8分（）设为中点，连结，则 .又因为平面平面，所以 平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为. 13分zyxABPCD解法二：因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以 底面.又因为，所以，两两垂直.分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，. （），,所以 ，所以，.又因为， 所以平面. 4分（）设侧棱的中点是， 则，. 设平面的一个法向量是，则 因为，所以 取，则.所以， 所以.因为平面，所以平面. 8分（）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的余弦值为. 13分2. （朝阳文17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面，. 若.（）求证：平面；ABPCDE（）设侧棱的中点是，求证：平面.解：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，ABPCDE且侧面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 6分EFABPCD（）设侧棱的中点为， 连结，则，且.由已知，所以. 又，所以. 且.所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 13分PABCDQM3. （丰台理16）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）若点M是棱PC的中点，求证：PA / 平面BMQ；（）求证：平面PQB平面PAD； （）若二面角M-BQ-C为30，设PM=tMC，试确定t的值 PABCDQM证明：（）连接AC，交BQ于N，连接MN BCAD且BC=AD，四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又点M在是棱PC的中点， MN / PA MN平面MQB，PA平面MQB， PA / 平面MBQ （）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBADPABCDQMNxyz又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=AD， BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 9分另证：AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 PA=PD， PQAD PQBQ=Q， AD平面PBQ AD平面PAD，平面PQB平面PAD9分（）PA=PD，Q为AD的中点， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；， 设，则， ， 12分在平面MBQ中， 平面MBQ法向量为 二面角M-BQ-C为30， ， 14分4. （丰台文16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点（）求证：AD平面PBQ； （）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PABCDQMNPA/平面BMQ证明：（）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形， CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD PA=PD，Q为AD的中点， PQAD PQBQ=Q，AD平面PBQ 6分（）当时，PA/平面BMQ连接AC，交BQ于N，连接MNBCDQ，四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，点M是线段PC的中点， MN / PA MN平面BMQ，PA平面BMQ， PA / 平面BMQ 13分5. （门头沟理16）APDCOB已知四棱锥的底面为菱形，且，与相交于点.（）求证：底面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若是上的一点，且，求的值（）证明：因为为菱形，所以为的中点1分因为,所以所以底面 3分（）因为为菱形，所以建立如图所示空间直角坐标系又得 4分所以 ,5分设平面的法向量有 所以解得所以 8分 9分与平面所成角的正弦值为 10分（）因为点在上,所以所以,因为所以,得 解得PDBAEFG所以 14分6. （门头沟文16）如图所示，垂直矩形所在的平面，分别为的中点。()求证（）求证证明：()取中点，连结、，C 因为分别为的中点，所以，2分又在矩形中，所以 ，所以四边形是平行四边形，所以5分 又，.所以7分（）因为，所以在矩形中 又，所以，11分因为所以，因为所以13分石景山理17）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点 （）求证：EF/平面ACD1； （）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值； （）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由7. （石景山文17）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中点 （）求证：C1F/平面DEG； （）求三棱锥D1A1AE的体积； （）试在棱CD上求一点M，使平面DEG8. （延庆理16）PDMBCA如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且 ,侧面底面，且三角形为等腰直角三角形，,是的中点.（）求证; （）求异面直线与所成角的余弦值;（）求二面角的余弦值.（） 连结, 是菱形 ，且 是等边三角形 1分设是的中点，连结，则， 是等腰直角三角形 2分 3分 平面， 4分（） 平面平面 平面以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图 5分则 7分 9分（） 平面 平面的法向量为 10分设平面的法向量为 ， ，令 可得： 12分 由图形可知，二面角为锐角， 二面角的余弦值为 14分9. （延庆文16）PDBCA如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,且三角形为等腰，.（）求证; （）线段上是否存在点，使得平面?并说明理由.（）连结, ，且 是等边三角形 1分设是的中点，连结，则， 2分 是等腰三角形， 3分 ， 平面， 5分 平面， 6分（）设为的中点，连，又设是的中点, 连 8分 ， ， 9分 是平行四边形， 10分 平面, 平面 平面 12分 当为的中点时，平面 13分10. （海淀理16）在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；() 求证：；() 求二面角的余弦值. 解：()证明：，. 又,是的中点， ， 四边形是平行四边形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1证明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分过作交于，则平面.平面， . 6分，四边形平行四边形，又，四边形为正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,两两垂直. 5分以点E为坐标原点，分别为轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分设平面的法向量为，即，令,得. 12分设二面角的大小为，则， 13分二面角的余弦值为 14分11. （海淀文17）如图：梯形和正所在平面互相垂直，其中 ，且为中点. ( I ) 求证：平面；( II ) 求证：. 证明: (I) 因为为中点，所以 1分又，所以有 2分所以为平行四边形,所以 3分又平面平面所以平面 . 5分(II)连接.因为所以为平行四边形， 6分又,所以为菱形，所以 ， 7分因为正三角形,为中点，所以 ， 8 分 又因为平面平面,平面平面 ， 所以平面， 10分而平面，所以 ，又，所以平面. 12分又平面，所以 . 13分12. （东城理16）已知四棱锥的底面是菱形，与交于点，分别为，的中点（）求证：平面；（）求证：平面；OECABDPH（）求直线与平面所成角的正弦值 （）证明：因为，分别为，的中点，OECDBAPH 所以 又平面,平面 所以平面（）证明：连结， 因为，所以在菱形中，又因为，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，为的中点，所以又因为所以平面（）解：过点作，所以平面如图，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系可得，所以，设是平面的一个法向量，则，即，令，则设直线与平面所成的角为，可得所以直线与平面所成角的正弦值为13. （东城文16）已知四棱锥的底面是菱形，为的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面（）证明：因为，分别为，的中点， 所以 因为平面 平面 所以平面6分（）证明：连结 因为，所以在菱形中，因为所以平面ABCDFE 因为平面 所以平面平面 13分14. （西城一模理17）如图, 是边长为的正方形，平面，与平面所成角为.()求证：平面；()求二面角的余弦值；（）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.()证明： 因为平面，所以. 2分因为是正方形，所以，从而平面. 4分()解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示.因为与平面所成角为，即， 5分所以.由可知，. 6分则，所以， 7分设平面的法向量为，则，即，令，则. 8分因为平面，所以为平面的法向量，所以. 9分因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 10分()解：点是线段上一个动点，设.则，因为平面，所以， 11分即，解得. 12分此时，点坐标为，符合题意. 13分15. （西城一模文16）ABCDFE如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，.()求证：平面；()求证：平面；（）求四面体的体积.()证明：因为平面平面，所以平面，2分 所以.3分因为是正方形，所以，所以平面. 4分()证明：设，取中点，连结，所以，. 5分因为，所以，6分从而四边形是平行四边形，. 7分因为平面,平面, 8分所以平面，即平面. 9分（）解：因为平面平面，,所以平面. 11分因为,，所以的面积为， 12分所以四面体的体积. 13分16. （怀柔一模理16）如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点（）求证：/平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小解：建立如图所示的空间直角坐标系，,，-1分（）证明：，,平面，且平面， /平面-5分（）解：， ， ，又， 平面 -9分（）设平面的法向量为, 因为，则取 又因为平面的法向量为所以 -12分所以二面角的大小为-14分17. （怀柔一模文16）在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，分别是的中点（）求证：平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积解：（）分别为的中点，又平面，平面平面 -5分（）如图，连结，为中点，, ，同理, ，又,平面 -10分（）由（）可知垂直平面为三棱锥的高，且 -14分