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高中数学辅导网 第二十八讲等差数列一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1等差数列an的前n项和记为Sn，若a2a4a15的值是一个确定的常数，则数列an中也为常数的项是()AS7BS8CS13 DS15解析：设a2a4a15p(常数)，3a118dp，解a7p.S1313a7p.答案：C2等差数列an中，已知a1，a2a54，an33，则n为()A48 B49C50 D51解析：a2a52a15d4，则由a1得d，令an33(n1)×，可解得n50.故选C.答案：C3设等差数列an的前n项和为Sn，若S410，S515，则a4的最大值为()A2 B3C4 D5解析：a5S5S45，S5a1a2a55a315，a33，则a44，a4的最大值为4.故选C.答案：C4设Sn是等差数列an的前n项和，S53(a2a8)，则的值为()A. B.C. D.解析：an是等差数列，×5，故选D.答案：D5(2011·济宁市模拟)已知数列an为等差数列，若<1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大值为()A11 B19C20 D21解析：<1，且Sn有最大值，a10>0，a11<0，且a10a11<0，S1919·a10>0，S2010(a10a11)<0.所以使得Sn>0的n的最大值为19，故选B.答案：B6如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2009a2010a2011等于()A1003 B1005C1006 D2011解析：依题意得，数列a2，a4，a6，a2k，是以a21为首项，1为公差的等差数列，因此a2010a2×10051(10051)×11005.数列a1，a3，a5，a7，a2k1，即是以1，1,2，2，的规律呈现，且a2009是该数列的第1005项，且10052×5021，因此a2009503，a2011503，a2009a2010a20111005，选B.答案：B二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7设Sn是等差数列an的前n项和，a128，S99，则S16_.解析：S99a59，a51，S168(a5a12)72.答案：728已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且，则_.解析：本题考查等差数列的基础知识，由于这是选择题可直接由结论求得答案：9设f(x)，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值为_解析：f(x)，f(1x)，f(x)f(1x).设Sf(5)f(4)f(6)，则Sf(6)f(5)f(5)，2Sf(6)f(5)f(5)f(4)f(5)f(6)6，Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)3.答案：310等差数列an的前n项和为Sn，且a4a28，a3a526，记Tn，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，TnM都成立，则M的最小值是_解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d.a4a28，d4.又a3a526，即2a16d26，a11.Snn×42n2n，则Tn2<2.对一切正整数TnM恒成立，M2.M的最小值为2.答案：2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11已知：f(x)，数列an的前n项和为Sn，点Pn在曲线yf(x)上(nN*)，且a11，an>0.(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Tn，且满足16n28n3，问：当b1为何值时，数列bn是等差数列解：(1)由y，点Pn在曲线yf(x)上，f(an)，并且an>0，4(nN*)数列是等差数列，首项1，公差d为4，14(n1)4n3，a.an>0，an(nN*)(2)由an，16n28n3得(4n3)Tn1(4n1)Tn(4n3)(4n1)，1.令cn，如果c11，此时b1T11，cn1(n1)×1n，nN*，则Tn(4n3)n4n23n，nN*，bn8n7，nN*，b11时数列bn是等差数列12数列an满足an3an13n1(nN*，n2)，已知a395.(1)求a1，a2；(2)是否存在一个实数t，使得bn(ant)(nN*)，且bn为等差数列？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由解：(1)n2时，a23a1321n3时，a33a233195，a223.233a18，a15.(2)当n2时，bnbn1(ant)(an1t)(ant3an13t)(3n12t)1.要使bn为等差数列，则必须使12t0，t，即存在t，使bn为等差数列13设f(x)(a0)，令a11，an1f(an)，又bnan·an1，nN*.(1)证明数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式；(3)求数列bn的前n项和分析：将题设中函数解析式转化为数列的递推关系，再将递推关系通过整理变形转化为等差数列，从而求数列的通项公式，本题在求bn前n项和时运用了裂项相消法，这是数列求和的常用方法解：(1)证明：an1f(an)，即.是首项为1，公差为的等差数列(2)由(1)知是等差数列，1(n1).整理得an.(3)bnan·an1·a2.设数列bn的前n项和为Tn，则Tna2a2a2·.数列bn的前n项和为.京翰教育网
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