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1 20142014 届高三年级第五次月考届高三年级第五次月考 数数 学学 试试 卷（理）卷（理） 命题人命题人：张金荣、周天佐张金荣、周天佐 第卷第卷 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的. . 一一. . 选择题（每小题选择题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分） 1 1设集合设集合)(,5 , 2,3 , 2 , 1,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1BCABAUU则= =（ ） A A11，33 B B22 C C22，33 D D33 2. 2. 设复数设复数 Z Z 满足满足iZi2)3(，则，则| |Z|=|=（ ） A A2 B B3 C C1 1 D D2 2 3 3设设, 为两个不同平面，为两个不同平面，m m、 n n为两条不同的直线，且为两条不同的直线，且,nm有两个命题：有两个命题： P P：若：若m mn n, ,则则；q q：若：若m m, , 则则. . 那么那么（ ） A A “ “p p或或q q”是假命题”是假命题 B B “ “p p且且q q”是真命题”是真命题 C C “非 “非p p或或q q”是假命题”是假命题 D D “非 “非p p且且q q”是真命题”是真命题 4. 4. 在平面直角坐标系中，已知向量在平面直角坐标系中，已知向量),3 ,(),1 , 3(21),2 , 1 (xcbaa若若cba/)2(，则，则 x=( )x=( ) A A- -2 2 B B- -4 4 C C- -3 3 D D- -1 1 5 5已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前 n n 项和为项和为 S Sn n,S,S9 9= =- -1818，S S1313= =- -5252，bbn n 为等比数列，且为等比数列，且 b b5 5 =a=a5 5，b b7 7=a=a7 7，则则 b b1515的值为（的值为（ ） A A64 64 B B128 128 C C- -64 64 D D- -128128 6 6设偶函数设偶函数f f( (x x) )满足满足f f( (x x)=2)=2x x- -4(4(x x0),0),则不等式则不等式f f( (x x- -2)02)0 的解集为（的解集为（ ） A A x x| |x x 4 B4 B x x| |x x04 C4 C x x| |x x06 D6 D x x| |x x 22 7 7 若将函数 若将函数y ytantan x x4 4( (0)0)的图象向右平移的图象向右平移6 6个单位长度后， 与函数个单位长度后， 与函数y ytantan x x6 6的图的图象重合，则象重合，则的最小值为（的最小值为（ ） A A1 16 6 B B1 14 4 C C1 13 3 D D1 12 2 8 8如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图 均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如 图，则该几何体的全面积为（图，则该几何体的全面积为（ ） 2 1 1 1 1 正视图 侧视图 2 A B D C （第 15 题） A A2+32+34 2 B B2+22+24 2 C C8+58+52 3 D D6+36+32 3 9 9已知命题已知命题 p p：函数：函数2( )21(0)f xaxxa在（在（0 0，1 1） 内恰有一个零点；命题内恰有一个零点；命题 q q：函数：函数2 ayx在在(0,)上是上是 减函数，若减函数，若 p p 且且q为真命题，则实数为真命题，则实数 a a 的取值范围是（的取值范围是（ ） A A1a B Ba a2 C2 C 1a12a2 1010三棱锥三棱锥P P- -ABCABC中，中，PAPA平面平面ABCABC，ACACBCBC，ACAC= =BCBC=1=1，PAPA= =3 ，则该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A A5 5 B B2 C C2020 D D4 4 1111设方程设方程lnxlnx= =- -x x与方程与方程e ex x= =- -x x( (其中其中e e是自然对数的底数是自然对数的底数) )的所有根之和为的所有根之和为m m, ,则则（ ） A Am m0 0 B. B. m m=0 =0 C.0C.0m m1 11 12. 12. 函数函数 f x对任意对任意 623 ,1xRf xf xfyf x都有的图象关于点的图象关于点1,0对称，对称，则则2013f（ ） A.A.16 B.B.8 C.C.4 D.0D.0 第卷第卷 本卷包括必考题和选考题两部分第本卷包括必考题和选考题两部分第 1313 题第题第 2121 题为必考题，每个试题考生都必须做答第题为必考题，每个试题考生都必须做答第2222 题第题第 2424 题为选考题，考生根据要求做答题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分 1313已知关于已知关于 x, yx, y 的二元一次不等式组的二元一次不等式组24120 xyxyx ，则，则 3x3x- -y y 的最大值为的最大值为_ 14.14. 曲线曲线2xy 和曲线和曲线xy 2围成的图形面积是围成的图形面积是_._. 15. 15. 如图如图, , 在在ABC中中, ,45B, ,D是是BC边上一点边上一点, , 5,7,3ADACDC, ,则则AB的长为的长为 . . 1616数列数列 a an n 的通项为的通项为a an n=(=(- -1)1)n nsin1,2nn 前前n n项和为项和为S Sn n, , 则则S S100100=_.=_. 三、解答题三、解答题: :本大题共本大题共 5 5 小题，共计小题，共计 7070 分。分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 1717( (本小题满分本小题满分 1212 分分) ) 已知函数已知函数 f(x)=f(x)=2cossin3cossin3222xxxx. . （1 1）当）当0,2x时，求时，求( )f x的值域；的值域； 3 MDCBAPN（2 2）若）若ABC的内角的内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，且满足，且满足3ba， sin(2)22cos()sinACACA，求，求( )f B的值的值. . 18.18.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知数列已知数列na的前的前n项和为项和为nS，且，且na是是nS和和1的等差中项，等差数列的等差中项，等差数列 nb满足满足11ba，43bS. . （1 1）求数列）求数列na、 nb的通项公式；的通项公式； （2 2）设）设11nnncb b，数列，数列 nc的前的前n项和为项和为nT，求，求nT的取值范围的取值范围. . 1919 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，PA平面平面ABCD，ABC是正三角形，是正三角形， AC与与BD的交点的交点M恰好是恰好是AC中点，又中点，又4PAAB，120CDA， 点点N在线段在线段PB上，且上，且2PN （1 1）求证：）求证：BDPC； （2 2）求证：）求证：/ /MN平面平面PDC; ; （3 3）求二面角）求二面角APCB的余弦值的余弦值 20. 20. （本小题满分（本小题满分 1212 分）分） “地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y y( (元元) )与月处理量与月处理量x x( (吨吨) )之间的函数关系可以近似的表示为：之间的函数关系可以近似的表示为： 3221x80 x5 040 x,x120,144)3y,1x200 x80 000,x144,500)2且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为柴油价值为 200200 元，若该项目不获利，政府将补贴元，若该项目不获利，政府将补贴. . (1)(1)当当x x200,300200,300时时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损. . (2)(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 2121 （本小题满分 （本小题满分 1212 分）分） 已知函数已知函数23)2(2161)(xaxxg，h h（x x）=2alnx=2alnx，)()()(xhxgxf。 （1 1）当）当 a aR R 时，讨论函数时，讨论函数( )f x的单调性的单调性 （2 2）是否存在实数）是否存在实数 a a，对任意的，对任意的12,(0,)x x ，且，且12xx，都有，都有2112()()f xf xaxx 恒成立，若存在，求出恒成立，若存在，求出 a a 的取值范围；若不存在，说明理由。的取值范围；若不存在，说明理由。 4 A C B E O D 请考生在第请考生在第 2222、2323、2424 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. .答时用答时用 2B2B 铅铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. . 22.22.（本小题满分（本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 41 1：几何证明选讲：几何证明选讲 如图，直线如图，直线AB经过经过O上的点上的点C，并且，并且,CBCAOBOAO交直线交直线OB于于E，D，连，连接接CDEC, （1 1）求证：直线）求证：直线AB是是O的切线；的切线； （2 2）若）若,21tanCEDO的半径为的半径为 3 3，求，求OA的长的长 2323 （本小题满分 （本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 44 4：极坐标系与参数方程：极坐标系与参数方程 已知直线已知直线l的参数方程为的参数方程为12312xtyt（t t 为参数） ，曲线为参数） ，曲线 C C 的参数方程为的参数方程为 2cossinxy（为参数） 。为参数） 。 （1 1）已知在极坐标系（与直角坐标系）已知在极坐标系（与直角坐标系xOyxOy取相同的长度单位，且以原点取相同的长度单位，且以原点O O为极点，以为极点，以x x轴正半轴正半轴为极轴）中，点轴为极轴）中，点P P的极坐标为的极坐标为(4,)3，判断点，判断点P P与直线与直线l的位置关系；的位置关系； （2 2）设点）设点 Q Q 是曲线是曲线 C C 上的一个动点，求点上的一个动点，求点 Q Q 到直线到直线l的距离的最小值与最大值。的距离的最小值与最大值。 2424 （本小题满分 （本小题满分 1010 分）选修分）选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲 （1 1）解关于）解关于x的不等式的不等式31 xx； （2 2）若关于）若关于x的不等式的不等式axx1有解，求实数有解，求实数a的取值范围的取值范围 20142014 届高三第四次月考数学（理）参考答案届高三第四次月考数学（理）参考答案 1 15.ACDDC5.ACDDC， 6 610.BDACA 11.B 12.D10.BDACA 11.B 12.D 13135 14. 5 14. 31 1515. . 5 62, 16. , 16. 150150 三解答题：三解答题： 1717 （ （本小题满分本小题满分 1212 分） （分） （1 1）22( )2(3sincos2 3sin cos )f xxxxx 22cossin2 3sin coscos23sin22sin(2)6xxxxxxx 5 70,2,2666xx，1sin(2),162x ， ( ) 1,2f x 6 6 分分 （2 2）由条件得）由条件得 sin(2)2sin2sincos()ACAAAC sincos()cossin()2sin2sincos()AACAACAAAC 化简得化简得 sin2sinCA 2 ,3 ,ca ba 由余弦定理得由余弦定理得 30 ,60 ,90ABC ( )(60 )2sin1501f Bf 1212 分分 1818、 （、 （本小题满分本小题满分 1212 分）分） （1 1）na是是nS和和1的等差中项，的等差中项，21nnSa 当当1n 时，时，11121aSa，11a 当当2n 时，时，111(21)(21)22nnnnnnnaSSaaaa， 12nnaa ，即，即 12nnaa 3 3 分分 数列数列na是以是以11a 为首项，为首项，2为公比的等比数列，为公比的等比数列， 12nna，21nnS 5 5 分分 设设 nb的公差为的公差为d，111ba，41 37bd ，2d 1 (1) 221nbnn 6 6 分分 （2 2）111111()(21)(21)2 2121nnncb bnnnn 11111111(1.)(1)2335212122121nnTnnnn *nN, ,11112212nTn 111021212121nnnnTTnnnn 数列数列 nT是一个递增数列是一个递增数列 113nTT. . 综上所述，综上所述，1132nT 1212 分分 19. 19. （本小题满分（本小题满分 1212 分）证明：分）证明：(I) (I) 因为因为ABC是正三角形，是正三角形，M是是AC中点，中点， 所以所以BMAC, ,即即BDAC 1 1 分分 又因为又因为PAABCD 平面，BD 平面平面ABCD，PABD 又又PAACA，所以，所以BD 平面平面PAC 又又PC 平面平面PAC，所以，所以BDPC 4 4 分分 （）在正三角形（）在正三角形ABC中，中，2 3BM 在在ACD中，因为中，因为M为为AC中点，中点，DMAC，所以，所以ADCD 120CDA，所以，所以2 33DM ，所以，所以:3:1BMMD 6 6 分分 在等腰直角三角形在等腰直角三角形PAB中，中，4PAAB，4 2PB ， 所以所以:3:1BN NP ，:BN NPBM MD，所以，所以/ /MNPD 分分 6 zyxMADBCPN又又MN 平面平面PDC，PD 平面平面PDC，所以所以/ /MN平面平面PDC 8 8 分分 （）因为（）因为90BADBACCAD ， 所以所以ABAD，分别以，分别以,AB ADAP, 为为x轴轴, , y轴轴, , z轴建立如图的空轴建立如图的空间直角坐标系，间直角坐标系， 所以所以4 3(4,0,0),(2,2 3,0),(0,0),(0,0,4)3BCDP 由（）可知，由（）可知， 4 3(4,0)3DB 为平面为平面PAC的法向量的法向量 9 9 分分 (2,2 3, 4)PC ，(4,0, 4)PB 设平面设平面PBC的一个法向量为的一个法向量为( , , )nx y z, , 则则00n PCn PB，即，即22 340440 xyzxz， 令令3,z 则平面则平面PBC的一个法向量为的一个法向量为(3, 3,3)n 1111 分分 设二面角设二面角APCB的大小为的大小为， 则则7cos7n DBnDB 所以二面角所以二面角APCB余弦值为余弦值为77 1212 分分 2020（本小题满分本小题满分 1212 分）分） (1)(1)当当 x x200,300200,300时，设该项目获利为时，设该项目获利为 S S，则，则 S S200 x200 x( (1 12 2x x2 2200 x200 x80 000)80 000)1 12 2x x2 2400 x400 x80 00080 0001 12 2(x(x400)400)2 2， 所以当所以当 x x200,300200,300时，时，S0.S0.因此，该项目不会获利因此，该项目不会获利. .当当 x x30300 0 时，时，S S 取得最大值取得最大值5 0005 000， 政府每月至少需要补贴政府每月至少需要补贴 5 0005 000 元才能使该项目不亏损元才能使该项目不亏损. . 6 6 分分 (2)(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：21x80 x5 040,x120,144)y3.1xx80 000 x200,x144,500)2 当当 x x120,144)120,144)时，时，y yx x1 13 3x x2 280 x80 x5 0405 0401 13 3(x(x120)120)2 2240240，当，当 x x120120 时，时，y yx x取得最小值取得最小值240240； 当当 x x144,500)144,500)时，时，y yx x1 12 2x x80 00080 000 x x2002002 21 12 2x x80 00080 000 x x200200200.200. 当且仅当当且仅当1 12 2x x80 00080 000 x x，即，即 x x400400 时，时，y yx x取得最小值取得最小值 200.200.200240200240， 当每月处理量为当每月处理量为 400400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低。吨时，才能使每吨的平均处理成本最低。 1212 分分 2121 (1)(1)xaxxxf)(2()(, f, f（x x）的定义域为（）的定义域为（0 0，+ +) 2 2 分分 当当 a a0 0 时，时，f f（x x）在（）在（0 0，2 2）上是减函数，在在）上是减函数，在在), 2( 上是增函数。上是增函数。 当当- -2 2a a0 0 时，时，f f（x x）在（）在（0 0，- -a a）上是增函数；在（）上是增函数；在（- -a a，2 2）是是减函数；在）是是减函数；在), 2( 上是增上是增函数。函数。 7 当当 a=a=- -2 2 时，时，f f（x x）在）在（0 0，+ +)上是增函数。上是增函数。 当当 a a- -2 2 时，时，f f（x x）在（）在（0 0，2 2）上是增函数；在（）上是增函数；在（2 2，- -a a）上是减函数；在）上是减函数；在),(a上是增函上是增函数。数。 6 6 分分 （2 2）假设存在实数）假设存在实数 a a，对任意的，对任意的12,(0,)x x ，且，且12xx，都有，都有2112()()f xf xaxx恒成立，不恒成立，不妨设妨设 0 0 x x1 1x x2 2，要使，要使2112()()f xf xaxx，即，即 f f（x x2 2）+ax+ax2 2f f（x x1 1）+ax+ax1 1。 令令 g g（x x）=f=f（x x）+ax=+ax=axxxax22ln2212，只要，只要 g g（x x）在）在（0 0，+ +)为增函数。为增函数。 又又xaxaxaxaxxg2)22(222)(2 由题意由题意0)( xg在（在（0 0，+ +)上恒成立上恒成立，得，得 a a 不存在。不存在。1212 分分 2222 证明： （）如图，连接证明： （）如图，连接 OC,OC,OA =OB,CA=CB,OA =OB,CA=CB,OCAB OC是圆的半径，是圆的半径，AB是圆的切线是圆的切线 （3 3 分）分） （）（）ED是直径，是直径，90 ,90ECDEEDC 又又90 ,BCDOCDOCDOCDBCDECBDEBC 又 ,BCBDBCDBECBCBEBC2 2.BD BE （5 5 分）分） 1tan,2CDCEDBC BCD1,2BDCDBECBCEC （7 7 分）分） 设设=BD X，则，则=2BCX，2=BCBD BE 22=+6（）（） =2BD（9 9 分）分） =+=2+3=5OAOB BD OD （1010）分）分 2323选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 解： （）将点解： （）将点P43，化为直角坐标，得化为直角坐标，得2 2 3P，（，（2 2 分）分） 直线直线l的普通方程为的普通方程为31yx，显然点，显然点P不满足直线不满足直线l的方程，的方程， 所以点所以点P不在直线不在直线l上（上（5 5 分）分） （）因为点（）因为点Q在曲线在曲线C上，故可设点上，故可设点2cos ,sinQ，（，（6 6 分）分） 点点Q到直线到直线l：31yx的距离为的距离为 2sin2 313|2 33cossin1|23 1d，（，（8 8 分）分） 所以当所以当sin13 时，时，min2 312d， 当当sin13时，时，max2 332d 故点故点Q到直线到直线l的距离的最小值为的距离的最小值为2 312，最大值为，最大值为2 332（1010 分）分） 8 2424选修选修 4 45 5：不等式选讲：不等式选讲
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