专题1.4 几何图形初步章末重难点题型（举一反三）（人教版）（解析版）

专题1.4 几何图形初步章末重难点题型【人教版】 【考点1 认识立体图形】【方法点拨】认识各类立体图形，在对几何体进行分类时要做到不重不漏，分类合理长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点从运动的观点来看点动成线，线动成面，面动成体点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界【例1】（2019秋雁塔区校级月考）下列几何体中，棱柱的个数为（）A2个B3个C4个D5个【分析】根据棱柱的定义，可得答案【答案】解：是正方体，是长方体（四棱柱），是六棱柱，是三棱柱，以上这四个都是棱柱；其它三个分别是球、圆锥、圆柱，都不是棱柱故选：C【点睛】本题考查了认识立体图形，注意倒数第三个是棱锥不是棱柱【变式1-1】（2019秋茂名期中）下列说法中，正确的个数是（）柱体的两个底面一样大；圆柱、圆锥的底面都是圆；棱柱的底面是四边形；长方体一定是柱体；正棱柱的侧面一定是长方形A2个B3个C4个D5个【分析】根据柱体，锥体的定义及组成作答【答案】解：柱体包括圆柱、棱柱；柱体的两个底面一样大；故此选项正确，圆柱、圆锥的底面都是圆，正确；棱柱的底面可以为任意多边形，错误；长方体符合柱体的条件，一定是柱体，正确；正棱柱的侧面一定是长方形，正确；正确有共4个故选：C【点睛】本题主要考查了常见的几何体，应注意棱柱由上下两个底面以及侧面组成；上下两个底面可以是全等的多边形，侧面是四边形【变式1-2】（2019岳池县期中）如下图，将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是（）ABCD【分析】分三种情况讨论，即可得到直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体【答案】解：将直角三角形绕较长直角边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕较短直角边所在直线旋转一周后形成的几何体为：将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周后形成的几何体为：故选：C【点睛】本题主要考查了面动成体，点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界【变式1-3】（2019秋合肥市校级期中）下列说法：一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段；一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形；一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱；一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个球体其中正确的是（）ABCD【分析】根据点动成线，可以判断；根据线动成面，可以判断；根据面动成体，可以判断；根据平移的性质，可以判断【答案】解：一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段是正确的；一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形是正确的；一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱是正确的；一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个圆柱，原来的说法错误故选：B【点睛】此题考查了点、线、面、体，关键是掌握平面图形与立体图形的联系，培养学生的观察能力和空间想象能力【考点2 几何体的展开图】【方法点拨】（1）展开图全是长方形或正方形时，应考虑长方体或正方体（2）展开图中含有三角形时，应考虑棱锥或棱柱当展开图中只含有2个三角形和3个长方形时，必是三棱柱若展开图全是三角形（4个）时，一定是三棱锥（3）展开图中含有圆和长方形时，一般考虑圆柱（4）展开图中含有扇形时，考虑圆锥（5）不是所有的立体图形都有平面展开图，如球体就不能展开【例2】（2019秋集贤县期中）下列展开图中，不能围成几何体的是（）ABCD【分析】根据个图形的特点判断可围成的几何体，再作答【答案】解：A能围成三棱锥，C能围成三棱柱，D能围成四棱柱，只有B两个底面在侧面的同一侧，不能围成四棱柱故选：B【点睛】熟记各种几何体的平面展开图是解题的关键【变式2-1】（2019秋沈河区校级期中）如图所示图形中，可以折叠围成一个无盖正方体的图形有（）个A5B4C3D2【分析】由平面图形的折叠及无盖正方体的展开图解题【答案】解：由四棱柱四个侧面和底面的特征可知，可以拼成无盖的正方体，而不是正方体的展开图，拼成的图形是有两面重合，故一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的是故选：B【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及无盖正方体展开图的各种情形【变式2-2】（2019秋城固县期中）如图，是一个正方体骰子的表面展开图，将其折叠成正方体骰子（点数朝外），如果1点在上面，3点在左面，在前面的点数为（）A2B4C5D6【分析】利用正方体及其表面展开图的特点可知“3点”和“4点”相对，“5点”和“2点”相对，“6点”和“1点”相对，当1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，继而可得出2点在前面【答案】解：这是一个正方体的表面展开图，共有六个面，其中面“3点”和面“4点”相对，面“5点”和面“2点”相对，面“6点”和面“1点”相对，如果1点在上面，3点在左面，可知5点在后面，2点在前面；故选：A【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题【变式2-3】（2019秋碑林区校级月考）如图，一个正方体纸盒的六个面上分别印有1，2，3，4，5，6，并且相对面上的两数之和为7，它的表面展开图可能是（）ABCD【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题【答案】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，相对面上的两数之和为7，3与4相对，5与2相对，6与1相对观察选项，只有选项D符合题意故选：D【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题【考点3 从不同方向看立体图形】【例3】（2019秋青川县期末）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的从上面看到的形状图俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的从正面看到的形状图为（）ABCD【分析】结合俯视图及小正方体的分布情况，依据主视图的定义求解可得【答案】解：由俯视图知该几何体的主视图共三列，第1列有4个正方形、第2列有3个正方形、第3列有2个正方形，故选：C【点睛】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力【变式3-1】（2019秋高新区校级月考）从不同的方向看同一物体时，可能看到不同的图形由若干个（大于8个）大小相同的正方体组成一个几何体从正面看和从上面看得到的图形如图所示，则这个几何体从左面看得到的图形不可能是（）ABCD【分析】由俯视图可得该组合几何体最底层正方体的个数及摆放形状，由主视图结合所给左视图看正方体的个数找到不大于8个的左视图即可【答案】解：俯视图中有5个正方形，最底层有5个正方体，A、由主视图和左视图可得第二层有4个正方体，第3层有2个正方体，故共有5+4+211个正方体，可能是这种情况，不符合题意；B、由主视图和左视图可得第二层有2个正方体，第3层有1个正方体，故共有5+2+18个正方体，不可能是这种情况，符合题意；C、由主视图和左视图可得第二层有4个正方体，第3层有1个正方体，故共有5+4+110个正方体，可能是这种情况，不符合题意；D、由主视图和左视图可得第二层有4个正方体，第3层有2个正方体，故共有5+4+110个正方体，可能是这种情况，不符合题意；故选：B【点睛】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：俯视图中正方形的个数是组合几何体最底层正方体的个数；易错点是应理解组成组合几何体的正方体的个数应大于8【变式3-2】（2019秋东莞市期中）在仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱，仓库管理员将这堆货箱从三个方向看到的图形画了出来，如图所示，则这堆正方体货箱共有（）A9箱B10箱C11箱D12箱【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由正视图和左视图可得第二层，第三层正方体的个数，相加即可【答案】解：由俯视图可得最底层有7个，由正视图和左视图可得第二层有2个，第三层有1个箱，共有：7+2+110（个）；答：这堆正方体货箱共有10个故选：B【点睛】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题关键【变式3-3】（2019秋薛城区期末）用小立方块搭成的几何体，从正面和上面看的形状图如图，则组成这样的几何体需要立方块个数为（）A最多需要8块，最少需要6块B最多需要9块，最少需要6块C最多需要8块，最少需要7块D最多需要9块，最少需要7块【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可【答案】解：有两种可能；由主视图可得：这个几何体共有3层，由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，最多为3+4+18个小立方块，最少为个2+4+17小立方块故选：C【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案【考点4 直线、射线、线段的表示与计数】【方法点拨】线段：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”射线：将线段向一个方向无限延长就得到了射线射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，若点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线两条射线为同一射线必须具备的两个条件：端点相同；延伸的方向相同直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的直线的两种表示方法：一条直线可以用一个小写字母表示，可记作：直线a.一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，可记作：直线AB或直线BA.【例4】（2020秋苍溪县期末）如图，点C是线段BD之间的点，有下列结论图中共有5条线段；射线BD和射线DB是同一条射线；直线BC和直线BD是同一条直线；射线AB，AC，AD的端点相同，其中正确的结论是（）ABCD【分析】根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解【解答】解：图中共有6条线段，错误；射线BD和射线DB不是同一条射线，错误；直线BC和直线BD是同一条直线，正确；射线AB，AC，AD的端点相同，正确，故选：B【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键【变式4-1】（2020春广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上线段AB与射线MN不相交；点C在线段AB上；直线a和直线b不相交；延长射线AB，则会通过点C其中正确的语句的个数有（）A0个B1个C2个D3个【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可【解答】解：线段AB与射线MN不相交，根据图象可得出此选项正确；根据图象点C不在线段AB上，故此选项错误；根据图象可得出直线a和直线b会相交，故此选项错误；根据图象可得出应为延长线段AB，到点C，故此选项错误，故正确的语句的个数是1个故选：B【点评】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键【变式4-2】（2020秋丰南区期末）下列语句正确的是（）A延长线段AB到C，使BCACB反向延长线段AB，得到射线BAC取直线AB的中点D连接A、B两点，并使直线AB经过C点【分析】根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解【解答】解：A、延长线段AB到C，使BCAC，不可以做到，故本选项错误；B、反向延长线段AB，得到射线BA，故本选项正确；C、取直线AB的中点，错误，直线没有中点，故本选项错误；D、连接A、B两点，并使直线AB经过C点，若A、B、C三点不共线则做不到，故本选项错误故选：B【点评】本题考查了直线、射线、线段，是基础题，主要是对几何语言的判断，熟记概念与习惯用语是解题的关键【变式4-3】如图所示，能用所给字母表示的直线有 条，射线有 条，线段有 条【分析】根据直线、射线、线段的表示法即可得到【解答】解：图中有直线AC、直线BC有2条；以A为端点的射线：有射线AB、射线AC；以B为端点的射线有：BC；以C为端点的射线有：CA、CB射线共有5条；线段有：AB、BC、CA、BD、CD共有5条故答案是：2，5，5【点评】本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键【考点5 直线、射线、线段的作图】【方法点拨】依据直线、射线、线段的定义作图即可.【例5】（2020秋彭水县期末）如图，在平面内有A，B，C三点（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DEAD；（3）数一数，此时图中线段共有 条【分析】（1）依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线AB，线段BC，射线AC；（2）依据在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接线段AD即可；（3）根据图中的线段为AB，AC，AD，AE，DE，BD，CD，BC，即可得到图中线段的条数【解答】解：（1）如图，直线AB，线段BC，射线AC即为所求；（2）如图，线段AD和线段DE即为所求；（3）由题可得，图中线段的条数为8，故答案为：8【点评】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握各定义是解题的关键【变式5-1】（2020秋襄城县期末）如图，已知三点A、B、C（1）请读下列语句，并分别画出图形画直线AB；画射线AC；连接BC（2）在（1）的条件下，图中共有 条射线（3）从点C到点B的最短路径是 ，依据是 【分析】（1）按题意，直接作图即可（2）根据射线的定义进行判断，写出即可（3）根据两点间线段最短的性质即可求解【解答】解：（1）如图所示：直线AB、射线AC、线段BC即为所求（2）图中共有3+2+16条射线 （3）最短路径是CB，依据：两点间线段最短故答案为：6；CB，两点间线段最短【点评】此题考查直线、射线和线段，关键是根据直线、射线和线段的定义作图【变式5-2】（2020秋台州期末）已知：如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，根据下列语句画出图形：（）直线BC与射线AD相交于点M；（）连接AB，并反向延长线段AB至点E，使AE=12BE；（）在直线BC上求作一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小；作图的依据是 【分析】分别根据直线、射线、相交直线和线段的延长线进行作图即可【解答】解：如图所示：作图的依据是：两点之间，线段最短故答案为：两点之间，线段最短【点评】本题主要考查直线、射线和线段的画法，掌握作图的基本方法是解题的关键【变式5-3】（2020秋扶风县期末）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成（保留画图痕迹）（1）画直线AB；（2）画射线AC；（3）连接BC并延长BC到E，使得CEAB+BC；（4）在线段BD上取点P，使PA+PC的值最小【分析】根据直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短画图即可【解答】解：如图所画：（1）（2）（3）（4）【点评】本题考查的是直线、射线、线段的概念和画法，掌握直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短是解题的关键【考点6 直线与线段的性质】【方法点拨】线段的性质：两点之间线段最短；直线的性质：两点确定一条直线.【例6】（2019秋东湖区校级期末）下列生活现象：用两个钉子就可以把木条固定在墙上；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；把弯曲的公路改直，就能缩短路程其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象个数有（）A1B2C3D4【分析】直接利用直线的性质和线段的性质分别判断得出答案【解答】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意；植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；把弯曲的公路改直，就能缩短路程，能用“两点之间，线段最短”来解释，故此选项符合题意故选：B【点评】此题主要考查了直线的性质和线段的性质，正确掌握相关性质是解题关键【变式6-1】下列日常现象：用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（）ABCD【分析】根据点到直线的距离，直线的性质，线段的性质，可得答案【解答】解：用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，故正确；把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短”故错误；体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，利用了点到直线的距离，故错误；建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，利用了两点确定一条直线，故正确；故选：A【点评】本题考查了线段的性质，熟记性质并能灵活过应用是解题关键【变式6-2】请你判断下列两个生活情景所蕴含的数学道理情景一：如图，小明家到学校有3条路可走，一般情况下，小明通常走第二条路，其中的数学道理是 情景二：同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理： 【分析】根据线段的性质和直线的性质填空即可【解答】解：情景一：如图，小明家到学校有3条路可走，一般情况下，小明通常走第二条路，其中的数学道理是两点之间线段最短；故答案为：两点之间线段最短；情景二：同学们做体操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那个同学，请你说明其中的道理：两点确定一条直线，故答案为：两点确定一条直线【点评】此题主要考查了线段和直线的性质，关键是掌握定理【变式6-3】（2019秋汾阳市期末）已知平面上点A，B，C，D（每三点都不在一条直线上）（1）经过这四点最多能确定 条直线（2）如图这四点表示公园四个地方，如果点B，C在公园里湖对岸两处，A，D在湖面上，要从B到C筑桥，从节省材料的角度考虑，应选择图中两条路中的哪一条？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪一条？为什么？【分析】（1）两点确定一条直线，即可得出经过这四点最多能确定6条直线；（2）依据两点之间线段最短，即可得到结论【解答】解：（1）经过这四点最多能确定6条直线：直线AB，直线AD，直线BC，直线CD，直线AC，直线BD，故答案为：6；（2）从节省材料的角度考虑，应选择图中路线2；如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线1，因为两点之间，线段最短，路线2比路线1短，可以节省材料；而路线1较长，可以在桥上较长时间观赏湖面风光【点评】本题主要考查了线段的性质，解题时注意：两点之间，线段最短【考点7 线段的计算（方程思想）】【例7】（2020秋殷都区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB18cm，且AC：CD：DB1：2：3，求线段MN的长【分析】根据题意分别求出AC、CD、DB的长，根据中点的性质计算即可【解答】解：设AC，CD，DB的长分别为xcm，2xcm，3xcmAC+CD+DBAB，AB18cmx+2x+3x18解得x3AC3cm，CD6cm，DB9cmM，N为AC，DB的中点，MC=12AC=1.5，DN=12BD=4.5MNMC+CD+DN12cm，MN的长为12cm【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念、灵活运用数形结合思想是解题的关键【变式7-1】（2020秋渝北区期末）如图所示点C，B是线段AD上的两点，AC：CB：BD3：1：4，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF14，求AB，CD的长【分析】根据已知条件“AC：CB：BD3：1：4”设AC3x，则CBx，BD4x，表示出BE，CF，根据EF14列方程求解，即可得到x的值从而求得线段AB、CD的长【解答】解：设AC3x，则CBx，BD4x，ABAC+CB3x+x4x，CDCB+BDx+4x5x点E，F分别是AB，CD的中点则BE=12AB2x，CF=12CD=52xEF14，EB+CFCB14，2x+52xx=14，解得：x4，AB4x16，CD5x20【点评】本题考查了线段中点的有关计算及两点间的距离此题是根据图形来计算相关线段的长度，所以从图中得到相关线段间的和差倍分关系是解题的关键【变式7-2】（2020秋乐都区期末）如图所示，线段AB上有两点M，N，AM：MB5：11，AN：NB5：7，MN1.5，求AB长度【分析】由已知条件可知，AM：MB5：11，设一份是x，进而分别表示AM，MB的长，则能够表示出AB的长，再根据AN：NB5：7，表示AN的长根据MNANAM即可列方程求解【解答】解：设AM5x，则MB11x，AN：NB5：7，AN=512AB=203x，203x5x1.5，解得x0.9，AB16x160.914.4AB长度为14.4【点评】注意根据线段的比值进行设未知数，从而表示出相关线段的长然后列方程求解灵活运用线段的倍、分转化线段之间的数量关系十分关键【变式7-3】（2020秋南开区期末）如图，线段BD=14AB=15CD，点E、F分别是线段AB、CD的中点，EF14cm，求线段AB、CD的长【分析】先BDx，则CD5x，AB4x，再根据点E，F分别是AB，CD的中点，得到EFED+DF3.5x，根据EF14，可得x的值，进而得到AB，CD的长【解答】解：设BDx，则CD5x，AB4x，点E，F分别是AB，CD的中点，EB=12AB2x，DF=12CD2.5x，ED1x，EFED+DF3.5x，又EF14，3.5x14，解得x4，CD5x20，AB4x16【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据中点的定义，利用线段的和差关系进行计算【考点8 线段的计算（分类讨论思想）】【例8】（2020秋南关区校级期末）在直线l上有A、B、C三个点，已知BC3AB，点D是AC中点，且BD6cm，求线段BC的长【分析】分为两种情况，画出图形，求出线段AB的长，即可得出答案【解答】解：（1）当C在AB的延长线上时，BC3AB，AC4AB，点D是AC中点，ADCD2AB，BD6cm，2ABAB6cm，AB6cm，AC4AB24cm，BCACAB24cm6cm18cm；（2）当C在BA的延长线上时，BC3AB，AC2AB，点D是AC中点，ADCDAB，BD6cm，AB3cm，BC3AB9cm【点评】本题考查了求两点之间的距离，能求出符合的所有情况是解此题的关键【变式8-1】（2020秋宿豫区期末）画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB10，BC4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论【解答】解：因为点E、F分别是线段AB、BC的中点，所以BE=12AB，BF=12BC；第一种：点C在点B的右侧，因为 EFBE+BF，所以EF=12AB+12BC=12(AB+BC)=12(10+4)=7；第二种：点C在点B的左侧，因为 EFBEBF，所以EF=12AB12BC=12(ABBC)=12(104)=3综上：EF7或3【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出AEEB=12AB和CFFB=12CB是解此题的关键【变式8-2】（2019秋咸丰县期末）已知线段AB14，在AB上有四个点C，D，M，N，且AC：CD：DB1：2：4，AM=12AC，DN=16DB，计算线段MN的长【分析】根据题意画出图形，分别求得CM，CD，DN的值即可求得线段MN的长，即可解题【解答】解：当N在D右侧时，AC：CD：DB1：2：4，AC+CD+DB14，AC2，CD4，BD8，AM=12AC，CM1，DN=16DB，DN=86=43，MNCM+CD+DN1+4+43=193当N在D左边时，MNCM+（CDDN）1+443=113综上所述MN为193或113【点评】本题考查了线段长度的计算，分别求出CM，CD，DN的长是解题的关键【变式8-3】（2019秋柘城县期末）已知：点M是线段AB上（1）如图1，点C在线段AM上，且AC=13AM，点D在线段BM上，且BD=23BM若AB18cm，求AC+MD的值（2）如图2，若AM=14AB，点N是直线AB上一点，且ANBN=23MN，求MNAB的值【分析】（1）根据已知条件得到DM=13BM，根据线段的和差即可得到结论；（2）分两种情况讨论，当点N在线段AB上时，当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解【解答】解：（1）BD=23BM，DM=13BM，AC=13AM，AC+MD=13BM+13AM=13（AM+BM）=13AB=13186cm；（2）当点N在线段AB上时，如图2，ANBN=23MN，3AN3BN2MN，又ANAMMN3AN3AM3MN，3BN3AMMN，BN=13MN+AM=13MN+14AB，ANMN+AMMN+14AB，AN+BNAB=13MN+14AB+MN+14AB，12AB=43MN，MNAB=38；当点N在线段AB的延长线上时，如图2，ANBN=23MN，又ANBNAB，23MNAB，即MNAB=32综上所述MNAB=38或32【点评】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点【考点9 线段的计算（含参问题）】【例9】（2019秋郊区期末）（1）如图1，线段AC6cm，线段BC15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB1：2，求MN的长（2）如图2，若C为线段AB上任意一点，满足AC+CBacm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上的一点，且满足ACBCbcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由【分析】（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MNCM+CN即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=12a，（3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度【解答】解：（1）因为M是AC的中点，AC6，所以MC=12AC612=3，又因为CN：NB1：2，BC15，所以CN1513=5，所以MNMC+CN3+58，所以MN的长为8 cm；（2）MN=12a，当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=12a，（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：则ACBC，M是AC的中点，CM=12AC，点N是BC的中点，CN=12BC，MNCMCN=12（ACBC）=12b【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键【变式9-1】（2019秋汾阳市期末）已知点C，线段AB（1）如图，若点C在线段AB上，且AC12，BC8，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度是 ；（2）若把（1）中点C在线段AB上，且AC12，BC8，改为点C是线段AB上任意一点，且ACa，BCb，其他条件不变，请求出线段MN的长度（用含a、b的式子表示）；（3）若把（2）中点C是线段AB上任意一点，改为点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果【分析】（1）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案；（2）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案；（3）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案【解答】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，AC12，BC8，MCAC21226，NCCB2824，由线段的和差，得MNMC+NC6+410答：线段MN的长是10，故答案为：10；（2）由点M、N分别是AC、BC的中点可得MC=12AC=12a，CN=12BC=12b所以MN=MC+CN=a+b2（3）线段MN的长度会变化当点C在线段AB上时，由（2）知MN=a+b2当点C在线段AB上的延长线时，如图，则ACBC，即ab由点M、N分别是AC、BC的中点可得MC=12AC=12a，CN=12BC=12b所以MN=MCCN=ab2当点C在线段BA上的延长线时，如图则BCAC，即ba由点M、N分别是AC、BC的中点可得MC=12AC=12a，CN=12BC=12b所以MN=CNMC=ba2【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟记线段中点的定义是解题的关键【变式9-2】（2019秋襄城县期末）已知线段ABm（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ2AQ，CP2BP（1）如图，若AB6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ ；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ2PQ与1的大小关系，并说明理由【分析】（1）根据已知AB6，CQ2AQ，CP2BP，以及线段的中点的定义解答；（2）根据已知ABm（m为常数），CQ2AQ，CP2BP；（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ2PQ0，即可得出2AP+CQ2PQ与1的大小关系【解答】解：（1）CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，点C恰好在线段AB中点，ACBC=12AB，ABm（m为常数），PQCQ+CP=23AC+23BC=2312AB+2312AB=23AB=2364；故答案为：4；（2）点C在线段AB上：CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，ABm（m为常数），PQCQ+CP23AC+23BC=23（AC+BC）=23AB23m；点C在线段BA的延长线上：CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，ABm（m为常数），PQCPCQ=23BC23AC=23（BCAC）=23AB=23m；点C在线段AB的延长线上：CQ2AQ，CP2BP，CQ=23AC，CP=23BC，ABm（m为常数），PQCQCP=23AC23BC=23（ACBC）=23AB=23m；故PQ是一个常数，即是常数23m；（3）如图：CQ2AQ，2AP+CQ2PQ2AP+CQ2（AP+AQ）2AP+CQ2AP2AQCQ2AQ2AQ2AQ0，2AP+CQ2PQ1【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键【变式9-3】（2019秋金牛区期末）已知线段ABm（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN3AN，CM3BM（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m8时，则MN ；（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM2MN的值是否与m有关？并说明理由（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）【分析】（1）设ANx，BMy，则CN3x，CM3y由AB8列出方程，求得x+y，再进而求得MN；（2）把MNAM+AN代入CN+2AM2MN中计算便可知道结果；（3）设ANx，BMy，则CN3x，CM3y，当C点在B点右边时，不符合题意，舍去；当点C在点A的左边，由ABCBCA得出yx=14m，进而得MN3（yx）=34m；当点C在线段（AB上时，由ABCB+CA得y+x=14m，进而得MN3（y+x）=34m，最后总结结论【解答】解：（1）设ANx，BMy，则CN3x，CM3yABAN+CN+CM+MBm，x+3x+3y+ym8，x+y2，MNNC+CM3x+3y3（x+y）6（2）CN+2AM2MN的值与m无关理由如下：如图1，CN3AN，CN+2AM2MN3AN+2AM2（AN+AM）ANAN与m的取值无关，CN+2AM2MN的值与m无关；（3）设ANx，BMy，则CN3x，CM3y当C点在B点右边时，满足CM3BM，M在线段AB上，如图2此时，M不是线段BC上的点，不符合题意，舍去；当点C在点A的左边，如图3，ABCBCA（CM+MB）（CN+AN）m，（3y+y）（x+3x）m，yx=14m，MNCMCN3y3x3（yx）=34m；当点C在线段（AB上时，如图4，ABCB+CA（CM+MB）+（CN+AN）m，（3y+y）+（x+3x）m，x+y=14m，MNCM+CN3y+3x3（y+x）=34m；MN长度为34m综上，MN长度为34m【点评】本题主要考查两点间的距离，方程的应用，掌握线段的和差运算是解题的关键，分类讨论是难点【考点10 线段的计算（动点问题）】【例10】（2019秋宽城区期末）如图，AB10cm，C是线段AB上一个动点，沿ABA以2cm/s的速度往返运动一次，D是线段BC的中点，设点C的运动时间为t秒（0t10）（1）当t2时，求线段CD的长（2）当t6时，求线段AC的长（3）求运动过程中线段AC的长（用含t的代数式表示）（4）在运动过程中，设AC的中点为E，线段DE的长是否发生变化？若不变，直接写出DE的长；若发生变化，请说明理由【分析】（1）t2，AC4cm，得到CB6cm；（2）t6，由题可知A点从B点返回，AC1028cm；（3）当0t5时，AC2tcm，当5t10时，AC（202t）cm；（4）DEEC+CD=12AC+12CB=12（AC+CB）=12AB5cm【解答】解：（1）t2，AC4cm，AB10cm，CB6cm，D是线段BC的中点，CD3cm；（2）t6，AC1028cm，（3）当0t5时，AC2tcm，当5t10时，AC（202t）cm；（4）DEEC+CD=12AC+12CB=12（AC+CB）=12AB5cm，线段DE的长不发生变化【点评】本题考查两点间的距离；熟练掌握线段的和与差的关系，列出代数式进行运算是解题的关键【变式10-1】（2020秋锦江区校级期中）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC10厘米，BC6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BCACa，请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案【解答】解：（1）线段AC10厘米，BC6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，CM=12AC5厘米，CN=12BC3厘米，MNCM+CN8厘米；（2）如图，点M，N分别是AC，BC的中点，CM=12AC，CN=12BC，MNCNCM=12（BCAC）=12a；（3）当0t5时，C是线段PQ的中点，得102t6t，解得t4；当5t163时，P为线段CQ的中点，2t10163t，解得t=265；当165t6时，Q为线段PC的中点，6t3t16，解得t=112；当6t8时，C为线段PQ的中点，2t10t6，解得t4（舍），综上所述：t4或265或112【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏【变式10-2】（2019秋新都区期末）如图，直线l上有A，B两点，AB12cm，点O是线段AB上的一点，OA2OB（1）OA cm，OB cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足ACCO+CB，求CO的长；（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动求当t为何值时，2OPOQ4（cm）；【分析】（1）由于AB12cm，点O是线段AB上的一点，OA2OB，则OA+OB3OBAB12cm，依此即可求解；（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：点C在线段OA上时；点C在线段OB上时，根据ACCO+CB，列出方程求解即可；（3）0t4（P在O的左侧）；4t12，分情况讨论求解即可【解答】解：（1）AB12cm，OA2OB，OA+OB3OBAB12cm，解得OB4cm，OA2OB8cm故答案为：8，4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：点C在线段OA上时，ACCO+CB，8+xx+4x，3x4，x=43；点C在线段OB上时，ACCO+CB，8+x4，x4（不符合题意，舍）故CO的长是43cm；（3）0t4（P在O的左侧），OP0（8+2t）82t，OQ4+t，2OPOQ4，则 2（82t）（4+t）4，解得t1.6s；4t12，OP8+2t08+2t，OQ4+t，2OPOQ4，则 2（2t8）（4+t）4，解得t8s综上所述，t1.6s或8s时，2OP0Q4cm【点评】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值【变式10-3】（2019秋秦淮区期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”（1）一条线段的中点是这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如图2，点A表示数10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；（2）根据题意即可得到结论；（3）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；（4）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论【解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是（2）点M在运动过程中表示的数为203t，故答案为：203t；（3）当AM2BM时，303t23t，解得：t=103；当AB2AM时，302（303t），解得：t5；当BM2AM时，3t2（303t），解得：t=203；答：t为103或5或203时，点M是线段AB的“二倍点”；（4）当AN2MN时，2t22t（303t），解得：t=152；当AM2NM时，303t22t（303t），解得：t=9013；当MN2AM时，2t（303t）2（303t），解得：t=9011；当AN2MN时，2t22t（303t），解得：t=152；答：t为152或9013或9011或152时，点M是线段AN的“二倍点”【点评】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键【考点11 钟面角的计算】【方法点拨】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30的规律，计算出分针与时针的夹角的度数分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：36060=6时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：3601260=0.5【例11】（2019秋顺城区期末）如图，八点三十分时针与分针所成的角是（）A75B65C55D45【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案【解答】解：钟面每份是30，上午8：30时时针与分针相距2.5份，此时时钟的时针与分针所夹的角（小于平角）的度数是302.575故选：A【点评】本题考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键【变式1