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1. 如图，已知ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F是BE的中点，求证：M(1) FD平面ABC;(2) AF平面EDB.解；(1)取AB的中点M,连FM,MC, F、M分别是BE、BA的中点 FMEA, FM= EA EA、CD都垂直于平面ABC CDEA CDFM又 DC=a, FM=DC 四边形FMCD是平行四边形 FDMCFD平面ABC(2)因M是AB的中点，ABC是正三角形，所以CMAB又 CMAE,所以CM面EAB, CMAF, FDAF, 因F是BE的中点, EA=AB所以AFEB. 2、已知四棱锥P-ABCD(如图所示)的底面为正方形，点A是点P在底面AC上的射影，PA=AB=a，S是PC上一个动点） 求证：；（4分） 当的面积取得最小值时,求平面SBD与平面PCD所成二面角的大小（10分） 1）证明：连接AC点A是点P在底面AC上的射影,(1分)PA面AC.(2分)PC在面AC上的射影是AC.正方形ABCD中,BDAC,(3分)BDPC.(4分)2)解:连接OS.BDAC,BDPC,又AC、PC是面PAC上的两相交直线,BD面PAC. (6分)OS面PAC,BDOS.(7分)正方形ABCD的边长为a，BD=，（8分）DBSD的面积（9分）OS的两个端点中，O是定点，S是动点当取得最小值时，取得最小值，即OSPC（10分）PCBD， OS、BD是面BSD中两相交直线，PC面BSD（12分）又PC面PCD，面BSD面PCD（13分）面BSD与面PCD所成二面角的大小为90（14分）4、在三棱锥PABC中，,PA = PB = PC,点P到平面ABC的距离为 AC(1) 求二面角PACB的大小；(2) 若，求点B到平面PAC的距离. 解 ：(1) 由条件知ABC为直角三角形，且BAC = 90，PA = PB = PC，点P在平面ABC上的射影是ABC的外心，即斜边BC的中点E 取AC中点D，连PD, DE, PEPE平面ABC，DEAC ( DEAB), ACPD PDE为二面角PACB的平面角 又PE = AC ，DE = AC ，（）tan PDE = =， PDE = 60 故二面角PACB的大小为60 5. 如图，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC，M为BC的中点.()证明：AMPM；()求二面角PAMD的大小；()求点D到平面AMP的距离.解：() 四边形ABCD是矩形BCCD平面PCD平面ABCDBC平面PCD2分而PC平面PCDBCPC同理ADPD在RtPCM中，PM= 同理可求PA=，AM=5分PMA=90即PMAM 6分()取CD的中点E，连结PE、EMPCD为正三角形PECD，PE=PDsinPDE=2sin60=平面PCD平面ABCDPE平面ABCD由() 可知PMAMEMAMPME是二面角PAMD的平面角8分sin PME=PME=45二面角PAMD为457、（本小题满分14分） 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC=CA=，AA1=（I）求AB1与侧面CB1所成的角；（4分）（II）若点P为侧棱AA1的中点，求二面角PBCA的大小；(5分)（）在（II）的条件下，求点A到平面PBC的距离.解：（I）取BC中点D,连结AD,B1D 三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱侧面CB1底面ABC,且交线为BC1分ABC为等边三角形ADBC, AD面CB1 AB1D为AB1与侧面CB1所成的角2分 在RtADB1中 AD=，AB1sinAB1D AB1D=（II）连结PB,PC,PD,PA底面ABC ADBC PDBC PDA为二面角PBCA的平面角在RtPAD tanPDAPDAarctan.）设点A到平面PBC的距离为h，则由得 ，.6、如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦值；（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，是直角斜边AC上的中线，5借鉴试题
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