电力系统低频振荡的MATLAB仿真毕业论文

2009届毕业生毕业论文题 目: 电力系统低频振荡的MATLAB仿真 院系名称： 电气工程学院 专业班级： 电气 0501 学生姓名： 学 号： 20054720108 指导教师： 教师职称： 讲师 2009年06月10日IV摘 要随着电网规模的不断扩大，电力系统的动态稳定性问题越来越突出，系统互联引发区域低频振荡问题严重威胁到互联电力系统的安全稳定运行。低频振荡一旦发生时,就会引起联络线过流跳闸或系统与系统或机组与系统之间失步而解列,会造成一个或几个区域大面积停电,使得生产、生活一时陷于瘫痪和混乱,对人民生活及国民经济造成灾难性损失。因此有必要深入研究互联系中低频振荡的诱发机理及影响因素，进而找到有效的抑制措施。本文简要阐述了电力系统低频振荡的产生机理和分析方法。对进行电力系统低频振荡分析的特征分析法和选择模式分析法进行了详细说明，并对系统的特征根、特征向量、相关因子、机电回路相关比进行了公式推导。选择模式法实现了多机系统机电模式的降阶计算，但也存在着计算精度不高和特征根“丢失”现象。本文介绍了MATLAB/Simulink的基本特点及MATLAB软件在电力系统中的应用，以及MATLAB环境下的动态仿真工具Simulink和电力系统工具箱PSB(Power System Blockset)的功能和特点,并以MATLAB为仿真平台进行电力系统动态仿真分析。通过编制的MATLAB计算程序分别进行了潮流和小扰动稳定仿真计算，经过比较验证，分析该区域电网是否出现低频振荡。 电力系统稳定器(PSS)结构简单、物理概念清晰，是抑制低频振荡、提高电力系统动态稳定性最为经济有效的措施，已经在电力系统中得到了广泛的应用。本文详细的介绍了PSS的基本原理及参数设计，并提出了校验方法。由正文的算例分析可知，需在与弱阻尼振荡模式强相关的水电厂A和水电厂B装设PSS以增加系统阻尼，抑制低频振荡。关键词：电力系统；低频振荡；选择模式分析法；MATLAB；PSSTitle Simulation using MATLAB about Low frequency oscillation of power system Abstract With the growing scale and complexity of power system, the power system dynamic stability issue became a critical problem. The inter-area low frequency oscillations caused by the interconnection of weakly coupled power systems threaten the security and stability of the interconnected power systems badly. When the event of low frequency oscillations, it will cause the tie lines over-current tripping or between systerm and the systerm or unit and the systerm out of step separation. It will cause one or more area large scale blackouts,makes the production and daily life to came to palsy and confusion, breeds disastrous loss to peoples life and national economy. It is an urgent task to investigate the mechanism and influencing factors of the inter-area low frequency oscillations, and design effective measures to damp the inter-area oscillations. This article briefly introduces the formation mechanism and analysis method of low frequency oscillations. It explain the characteristic analysis method and the selective modal analysis method of power system low frequency oscillations detaily. The text also derived formulas of the eigenvalue, the eigenvectors, the relevant factor, related mechanical and electrical circuit ratio. The selective modal analysis method achives the reduce-order calculation for the electromechanical modes, but its calculation precision isnt higher and sometimes it may lose eigenvalues.In this paper, it gives the basic characteristics and application of MATLAB/Simulink and introduces MATLAB software used in power system,as well it introduces the functions and characteristics of the dynamic simulation tool Simulink and power system toolbox PSB (Power System Blockset) in MATLAB environment. It also proceed to power system dynamic simulation analysis which used MATLAB simulation platform. Through the compilation of the MATLAB calculation program conducted power flow and small signal stability simulation calculation. After comparatively validate, analyzing the inter-area occurs low frequency oscillations or not.Power system stabilizer (PSS) has simple structure and clear concept of physical. It is the most cost-effective measures to inhibit the low frequency oscillations and inprove power system dynamic stability and has widely used in electric power system. This article describes the basic principles and parameter design of PSS in detail and proposed a calibration methods. Examples from the text of the analysis, we know that it requires to install PSS at the weak damping oscillation modes with the strong-related hydropower plant A and B in order to increase the,it can inhibit the low frequency oscillations.Keywords： Electric power system； Low frequency oscillations； The selective modal analysis method； MATLAB； PSS目 次1 绪论11.1 电力系统稳定的定义与分类11.2 研究电力系统低频振荡的必要性及国内外发展情况21.3 低频振荡的振荡机理31.4 本文的主要研究内容52 低频振荡的特征分析法与MTALB仿真计算62.1 MATLAB简介62.2 低频振荡的分析方法介绍82.3系统低频振荡的特征分析法92.4MATLAB程序框图102.5 算例分析113 低频振荡的选择模式分析法与MATLAB仿真计算153.1 选择模式分析法的基本原理153.2 SMA法特征根和特征向量的计算173.3 SMA法中相关因子、机电回路相关比计算203.4 MATLAB程序框图213.5 算例分析224 抑制电力系统低频振荡的措施234.1 PSS的基本原理234.2 选择PSS的安装地点244.3 PSS的参数设计244.4 PSS的装设27结 论28致 谢29参 考 文 献301 绪论1.1 电力系统稳定的定义与分类现在，随着社会的不断进步，电力工业得到了突飞猛进的发展，并列运行在电力系统中的发电机台数越来越多，电力系统在运行中不断受到来自内部和外界的干扰，小的干扰如负荷波动，大的干扰如电路元件发生短路故障等。扰动后，系统内各同步发电机的机械输入转矩和电磁转矩将失去平衡。如果凭借电力系统本身固有的能力和控制设备的作用，最后回到原来运行方式或达到一个新的稳态值，则认为在这种运行方式下电力系统是稳定的。反之，如果系统不能回到原来的状态或者过渡到一个新的稳定运行状态，以至最后使各发电机间失去同步，则认为电力系统是不稳定的。为便于研究，一般将电力系统稳定性问题分为两大类，即静态稳定性和赞态稳定性。所谓电力系统静态稳定性是指电力系统在某个运行状态下，突然受到任意的小干扰后，能恢复到原来的(或是与原来的很接近)运行状态的能力。这里所指的小干扰，是在这种干扰作用下，系统的状态变量的变化很小，因此允许将描述系统的状态方程线性化。电力系统暂态稳定性是指电力系统在某个运行状态下，突然受到较大的干扰后，能够过渡到一个新的稳态运行状态(或者回到原来运行状态)的能力。由于受到的是大干扰，系统的状态方程不能线性化。另外，在受到大干扰的过程中往往伴随着系统的结构和参数的改变。所谓的大干扰，一般是指短路故障，突然断开线路或发电机等。大容量远距离输电系统的建设和大型电力系统的互联，其目的本是要提高发电和输电的经济和可靠性，但由于多个地区之间的多重互联，却诱发出许多新的动态稳定问题，使系统失去稳定的可能性增大。我国电力系统正在从目前的区域性电网向互联电网阶段发展，最终可能实现全国大连网。根据国外的经验，这样的大型联合电力系统很容易发生弱阻尼低频振荡稳定问题，其振荡频率分布在0.2Hz2.5Hz之间，故称为低频振荡，又称为功率振荡或机电振荡。按振荡涉及的范围以及振荡频率的大小，电力系统低频振荡大致分为两类:1、区域振荡模式，是一部分机群相对于另一部分机群的振荡，在联系薄弱的互联系统中，祸合的两个或多个发电机群间常发生这种振荡，由于电气距离较大，同时发电机群的等值发电机的惯性时间常数较大，其振荡频率较低，一般在0.10.7Hz之间。这种振荡的危害性较大，一经发生会通过联络线向全系统传递；2、局部振荡模式，是厂站内的机组间或电气距离较近的厂站机组间的振荡，其振荡频率一般在众0.72.5Hz之间，这种振荡局限于区域内，相对于前者来说，其影响范围较小且易于消除。1.2 研究电力系统低频振荡的必要性及国内外发展情况随着我国电力工业的不断发展，特别是超高压、大容量、远距离输电的发展，实现全国电网互联是我国电力工业进一步发展的客观需要和必然趋势。我国地域辽阔，各地区能源分布、电源结构和经济发展很不平衡。可开发和建设的电源呈北煤西水分布，用电负荷中心主要集中在东部和南部。为充分利用我国分布极不平衡但丰富的动力资源，积极推进和实施“西电东送、南北互供、全国联网”的发展战略，是我国电力事业发展的重点工作。 电网互联会带来诸如电网错峰、水火电互补、功率紧急支援等一系列的经济效益，极大地提高了发电和输电的经济性和可靠性，因而得到了十分迅速的发展，但它同时也带来了一些新的问题，如大电网内部及与其它电网互联线路的潮流控制和稳定性控制等问题。随着大区电网的互联，交流同步电网范围扩大，多组紧密耦合的发电机群通过弱联系互联，互联电网间正常运行变化相互干扰，各个电网的故障后果相互影响，且容易造成联络线功率大幅度波动，甚至剧烈振荡，增加了系统发生稳定破坏大事故的概率。同时，电力市场机制的引入及出于环境保护等方面的原因，有可能促使电力系统某些元件长期处于满负荷运行状态，接近稳定极限，这些都使得电网的安全稳定问题越来越突出。现阶段我国大力开发西部水电资源，通过西电东送工程将西部丰富水电资源输送到华东及广东等负荷中心，实现资源的优化配置。由于水电站通常距离负荷中心相当远，而这种远距离、大容量的输送电量，在负荷高峰期，往往因为系统缺乏足够的阻尼，会使联络线发生低频自发振荡，严重威胁系统的稳定。最早报道的互联电力系统低频振荡是20世纪60年代，在北美MAPP的西北联合系统和西南联合系统试行互联时，发生了低频功率振荡，造成联络线过电流跳闸。随着电网规模的日益扩大，大容量机组在网中的不断投运，快速励磁的普遍使用，低频振荡现象在大型互联电网中时有发生。如1996年8月美国西部电力系统(WSCC)的大停电事故，就是由于事故引发了0.23Hz区域振荡模式的低频振荡，直接导致了全系统的解列；2000年5月WSCC系统再次发生了类似的低频振荡。我国互联系统的低频振荡首次记录是在1984年，广东与香港联合系统运行中发现的，随后在我国华南、西南、华中、华北、东北等互联系统中均发生多次功率振荡，对系统稳定及电力系统设备造成了严重威胁。总之，低频振荡现象在大型互联电网中时有发生，常出现在长距离、重负荷输电线路上，随着互联电力系统规模日益增大，系统互联引发的区域低频振荡问题己成为威胁互联电网安全稳定运行、制约电网传输能力的重要因素之一，有必要全面认识电力系统低频振荡问题。低频振荡一旦发生时,就会引起联络线过流跳闸或系统与系统或机组与系统之间失步而解列,会造成一个或几个区域大面积停电,使得生产、生活一时陷于瘫痪和混乱,对人民生活及国民经济造成灾难性损失。因此,对它抑制策略的探索一直以来是电力学者专家孜孜不倦的追求。1.3 低频振荡的振荡机理电力系统低频振荡机理的研究是找出低频振荡的起因及影响因素，进而选取有效的抑制措施。迄今为止，低频振荡产生机理的研究主要集中在以下几个方面: 一 低频振荡的负阻尼机理 电力系统受到扰动时，会发生发电机转子间的相对摇摆，表现在输电线上就会出现功率波动。如果扰动是暂时的，在扰动消失后，可能出现两种情况：一是发电机转子间的摇摆很快平息，二是发电机转子间的摇摆平息的很慢甚至持续增长，若振荡幅值持续增长，以致破坏了互联系统之间的静态稳定，最终将使互联系统解列。产生后者情况的原因是系统缺乏阻尼或者系统阻尼为负，现象表现为受到扰动后发生振荡并长时间不停息的弱阻尼振荡或者负阻尼造成的自发振荡。F.Demello对单机无穷大系统低频振荡现象结合运用状态方程、传递函数框图及K 系数法，分析了阻尼转矩大小性质的变化规律，发现在较高外部系统电抗和较高发电机输出条件下，高放大倍数的快速励磁系统在增加系统的同步转矩的同时，有可能会给系统带来负的阻尼转矩，当它抵消发电机原有的正阻尼后，便引发增幅低频振荡。这一机理认为：低频振荡的原因是由于励磁系统放大倍数的增加，产生了负阻尼作用，抵消了系统固有的正阻尼，使得系统的总阻尼很小或为负。在这种情况下，就会引起转子增幅振荡，扰动将逐渐被放大，从而引起系统功率的振荡。这一方法是基于线性系统理论，通过分析励磁放大倍数和阻尼之间的关系来解释产生低频振荡的原因。产生负阻尼的原因：a 发电机的励磁系统，尤其是快速励磁系统会引起系统负阻尼；b 电网负荷过重会使系统阻尼降低；c 电网互联也会使系统阻尼降低。二 强迫功率振荡机理电力系统中存在着持续的周期性小扰动，如负荷的波动、发电机励磁系统或调速系统工作不稳定而引起的持续扰动等，这些小扰动可能激起大幅度的功率振荡，甚至导致系统稳定破坏，这类振荡称为强迫功率振荡。强迫振荡又称共振型低频振荡，它具有起振快、起振后保持等幅同步振荡和失去振荡源振荡很快衰减等特点。多机系统和实际电网进行仿真研究说明了系统中存在发生共振机理低频振荡，并综合考虑汽轮机热力系统和电气系统的相互影响，从热力系统寻找共振机理低频振荡的产生原因。研究表明：汽轮机蒸汽初终参数会引起机械功率的正比变化，各个参数对机械功率的影响程度各不相同，对于中间再热汽轮机组，再热蒸汽压力脉动引起输出机械功率的变化最大，其次是主蒸汽压力脉动，而蒸汽初温和背压对输出机械功率的影响相对非常小。电力系统共振机理低频振荡的扰动源可能就是这些汽轮机蒸汽初终参数脉动，尤其是主蒸汽压力脉动和再热蒸汽压力脉动。三 谐振机理当电力系统受到外界周期性扰动时，扰动频率和系统的自然频率存在某种特殊关系时，会产生谐振振荡，当其处于低频区时表现为低频振荡。四 分岔理论利用分岔理论分析了低频振荡现象，提出了计算 Hopf分歧横截条件的解析计算式。依据Hopf分歧理论和中心流形理论研究了低频振荡中的非线性奇异现象。提出了与常规线性化分析不同的小干扰稳定域的新观点。得到了在临界点附近即使系统全部特征根都具有负实部时，在小扰动下系统的特性与状态也可能发生突变的新结论。利用 Hopf分岔理论可以得到分岔点附近实际振荡的稳定特性，由于计算复杂性，目前分析要受限于系统规模和方程阶次。尽管许多学者在电力系统研究中运用了分岔理论，但是目前电力系统的分岔研究仅仅是开始,绝大多数的研究结论基本上由仿真得到，真正利用分岔所独特的理论对电力系统分析和设计还有许多工作要做。五 和混沌理论混沌是确定性系统表现出来的貌似随机的运动。它的特征是对初始条件非常敏感，时间响应曲线的频谱很宽，具有正的Lyapunov指数，奇异吸引子具有分数维等。实际电力系统是一个高维、多变量、非线性的大规模复杂动力系统，受周期或准周期扰动的电力系统，当扰动的幅值和扰动的频率满足一定关系时，一定会产生混沌振荡，甚至会失去稳定，而造成混沌现象的根本原因是由于电力系统本质的非线性而不是由于系统遭受的扰动。由于电力系统是一个典型的大规模复杂非线性系统，在一定条件下其必然会发生分岔、混沌现象，分岔、混沌将会影响电力系统的稳定运行，所以对电力系统分岔、混沌的控制研究就显得尤为重要。所以通过混沌振荡机理研究低频振荡现象也就变得非常必要。1.4 本文的主要研究内容本文主要是讨论电力系统在遭受小扰动后，如果不能保持或恢复到静态稳定运行状态后的问题，即电力系统出现的低频振荡问题。主要在一下几个方面作了研究：(1) 低频振荡的分析方法 电力系统低频振荡属于小扰动稳定的范畴，小扰动稳定的分析方法很多。本文则主要采用了特征分析法和选择模式分析法对低频振荡进行了分析。(2) 低频振荡的MATLAB仿真计算 编制基于多机系统的小扰动稳定分析程序，这些程序包括潮流计算、系统A阵特征值计算、选择模式分析法计算机电模式等。通过编制的程序对电力系统进行MATLAB仿真计算，得出该区域电网的特征值分析，分析出低频振荡的原因。(3) 低频振荡的抑制办法 电力系统稳定器(PSS)是应用最广泛、最经济且技术较为成熟的抑制频振荡的措施。本文研究了PSS抑制低频振荡的基本原理，并详细研究了其参数的设计。2 低频振荡的特征分析法与MTALB仿真计算2.1 MATLAB简介电力系统低频振荡的分析可以用MATLAB进行进行仿真。MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。MATLAB是矩阵实验室(Matrix Laboratory)的简称，和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB来解算问题要比用C，FORTRAN等语言完相同的事情简捷得多，并且mathwork也吸收了像Maple等软件的优点,使MATLAB成为一个强大的数学软件。在新的版本中也加入了对C，FORTRAN，C+ ，JAVA的支持。可以直接调用,用户也可以将自己编写的实用程序导入到MATLAB函数库中方便自己以后调用。 Simulink是该公司在20世纪90年代推出的产品,利用它可在MATLAB下建立系统框图和仿真的环境。MATLAB的PSB软件( power system block , PSB ) 含有丰富的电力系统元件模型,包括电力系统网络元件、电机、电力电子器件、控制和测量环节以及三相元件库等,再借助于其他模块库或工具箱,在Simulink环境下,可以进行电力系统的仿真计算,尤其可以实现复杂的控制方法仿真。 MATLAB语言计算软件将计算过程建立在最基本的电路原理和微分方程求解的基础上并计算电磁过程和机电过程,几乎没有考虑电力系统的特性,计算简化,仿真细致,反映很细微的变化过程。下面是应用MATLAB进行电力系统低频振荡分析的基本方法。2.1.1 Simulink环境下仿真工具PSB(Power system Blockset)是一个图编辑器工具,在Simulink环境下能建立电力系统原理并进行仿真计算。PSB库提供了电力系统仿真通用的元件和装置,包括RLC支路和负载、变压器、传输线、避雷器、电机、电力电子装置等。只需通过点击和拖放PSB库内的模型即可建立用户所需要的电力系统仿真原理图,并利用模型元件的对话框来设置相关参数。使用Simulink提供的示波器模型,可显示观测点处的仿真结果及其波形。2.1.2 模型库根据电力系统内电气设备特性,可将PSB库内的模型分成电源、元件、电力电子器件、电机、连接器和测量等部分。元件包括单相RLC支路和负载模块、变压器、互感器、型传输线、避雷器、断路器、n相分布参数线路模型等。利用Simulink二次开发功能,可方便地编辑出更复杂的元件模型和集成参数对话框。电力电子包括通用的半导体元件,每个元件(除二极管外)都有Simulink门极控制输入端和Simulink输出端,可显示开关的电压和电流值。电机集包括简化的和详细的同步电机、异步电机、励磁机、永磁同步电机和涡轮机等。每个模块有一个Simulink输出来显示内部变量状态值。2.1.3 仿真方法步骤MATLAB实现对电力系统的仿真和分析至少有二种独立的方法:一种是传统的编程方法,即通过大量的代码来实现电力系统的建模、稳态计算和暂态分析等等；但由于MATLAB提供了用户可以直接调用已有的高性能数值计算。如矩阵求差、数值微、积分等等,较使用C或Fortran语言开发其源程序却要简洁得多,可节省大量的内存空间和开发时间。另一种是在Simulink平台上进行仿真分析,按建模方法分为器件级仿真(又称为物理建模)和系统级仿真(又称为数学建模)。其中器件级仿真是利用MATLAB的PSB中固有元件模型构建新元件的物理模型,该方法一般适用于探讨元件的内部性能；系统仿真利用MATLAB/Simulink中的控制模块来构建新元件的数学模型,该方法是研究元件的外部特性。在MATLAB/Simulink平台上,借助于鼠标点击和拖放以及一些必要的参数设置即可实现对电力系统的稳态和暂态分析,并可方便地研究各中先进的控制方法对电力系统的控制效果。在实际应用中,特别是对复杂电力系统的仿真分析,两种方法通常交替融合使用。应用MATLAB进行电力系统仿真的主要步骤为：(1) 系统模型的建立；(2) 设置仿真参数和控制算法的实现；(3) 进行动态仿真(包括稳态分析和暂态仿真)；(4) 结果分析。2.2 低频振荡的分析方法介绍低频振荡属于小扰动稳定的范畴，目前，建立在线性化模型基础上常见的小扰动稳定分析方法有:以状态空间模型描述为基础的特征分析法和以传递函数矩阵为基础的频域分析法。 计算矩阵全部特征值的QR法曾是特征分析法的一种十分有效的传统算法，但是随着系统维数的增加，其局限性日益暴露出来。对于电力系统稳定性问题，QR法的不足之处在于它需要进行满阵运算，对内存要求太高，而且计算量约按矩阵维数的三次方递增，使大规模系统所需要的计算时间达到难以接受的程度，另外在维数甚高的情况下，会发生“维数灾”问题，而无法求得准确的特征值。 从八十年代起，许多部分特征值分析方法开始用于电力系统的小扰动稳定分析，这些方法只计算系统的部分主导特征值，即实部最大的一些特征值，以减少计算量。例如：(1)基于系统降阶的选择模式分析法(SMA法)，它主要用来计算系统的低频振荡模式，但由于需要保留的状态变量包括每台发电机的，等，降阶后矩阵的维数仍然会很大，且不能保证其主导特征值不被遗漏；(2)类似于频率响应法的AESOPS算法，将特征值问题转化为一个非线性方程的求根问题，但其初值的选择比较困难，且无法预计该算法最终收敛到哪一个特征值；(3)基于分数变换的两步法，该方法先采用同时迭代法求出在一个位移点附近的特征值的估计值，然后将这些估计值作为初值用牛顿迭代法算出它们的精确值，但是为了保证不漏掉主导特征值，这种方法必须选择多个位移点，因而要经过多次分数变换并进行多轮迭代计算；(4)利用矩阵变换求原系统部分主导特征值的S矩阵法，虽然该方法能保证正确地判断系统稳定性，但S矩阵法在矩阵变换中所取的参数对其收敛速度影响很大，而且有可能收敛到非主导特征值上；(5)基于矩阵变换的多重Cayley变换，该方法实际上是S矩阵法的延伸，但它可以在变换中采用一组固定的参数来适应不同的系统规模和A阵不同的特征值分布情况，能可靠而迅速地判断系统的稳定性，在计算量和可靠性方面优于S矩阵法；(6)显式重启动Arnoldi算法，可分析状态维数高达22000的大型实际电力系统，但是这种算法在计算特征值簇时收敛性会严重恶化，针对这种情况，出现了隐式重启动Amoldi算法，该算法收敛性较可靠，能有效地计算出特征值簇；(7)基于部分惯量中心等值的多机系统特征值计算。该方法根据不同频率振荡模式的正交性，针对每一振荡模式将系统机组划分成两群，然后利用部分惯量中心将两个机群分别等值成两台发电机，在等值机的基础上进行特征值的计算。但该方法在考虑励磁控制作用时的计算精度不高。另外，还可以利用系统的解耦原理进行电力系统的特征值的求解。例如相对关联分析法，该方法通过分析各发电机之间相互耦合的强弱程度，略去弱祸合部分，将系统解耦为若干个与外部系统无关联作用的封闭子系统，然后以封闭子系统为基础，进行特征值的计算。以传递函数矩阵为基础的频域法是进行大系统小扰动稳定分析的最为可靠的方法，但其信息量有时又难以满足要求。因此频域法曾一度陷入停顿状态，但是随着多变量控制系统的现代频域理论的发展，频域法又重新得到了人们的重视，被广泛地运用于航天、医疗、电子、模型辨识、最优控制等方面。由于电力系统本身就是复杂的非线性系统，所以有人直接利用非线性理论分析电力系统的低频振荡问题。这样便可充分考虑电力系统的非线性特性，用特征值并结合高阶多项式从数学解空间结构上来分析系统的稳定性，能够解决在临界点附近的稳定问题。2.3 系统低频振荡的特征分析法 特征分析法的信息量十分丰富，不仅可以判断系统的稳定性，还可以知道小扰动下，系统过渡过程的许多特性：如振荡性过渡过程的特性，包括振荡频率、衰减因子、相应振荡在系统中的分布、该振荡是由什么原因引起的、和哪些状态变量密切相关等等。可以为确定抑制低频振荡的装置的最佳安装位置及其参数整定提供有用的信息。特征分析法是研究低频机电振荡现象的强有力的工具，已成功地应用于电力系统小扰动稳定性评价、确定控制器的安装地点、控制器参数优化等方面。电力系统低频振荡可用特征值分析法进行分析，其步骤如下：(1) 列出多机系统的元件数学模型，根据潮流计算结果计算各代数量和状态量的初值；将各元件模型在工作点出线性化，将线性化元件模型经适当坐标，变换，并和网络方程接口，在消去代数量，形成全系统的线性化状态方程，记做，设为N维。(2) 用QR法计算系统的全部特征根(i=1,2,N)及其相应的左、右特征向量和(可取,，U类同)。 (3) 将特征根中振荡频率在0.20.3Hz的根取出，计算其与各状态量(k=1,2,N)的相关因子(即)，并进而计算的机电回路相关比若，则认为为低频振荡模式，据此可从全部特征根中鉴别出机电模式来。(4) 根据机电模式可计算自然振荡频率及阻尼比，从而，一般要求。将的右特征向量(复数向量)中状态量相应的各元素化为极坐标形式，可作相量图分析该振荡模式在各发电机观察时的相对幅值大小和相位关系，可有助判别振荡发生在哪两台机(或机群)之间。(5) 根据机电模式和状态量的相关因子(设为)幅值大小跟哪一台(或若干台)发电机强相关，从而需要的话可考虑在强相关的有快速励磁的大容量发电机上安装PSS或最优励磁装置以阻尼该振荡模式。(6) 通过特征根灵敏度分析提供同参数的相依关系(可为控制系统如PSS的放大倍数等)，从而提供PSS的整定信息。2.4 MATLAB程序框图 本文采用编写程序的方式来进行MATLAB仿真计算。下图为采用特征分析法进行低频振荡分析编写的MATLAB程序的框图。图2.1 MATLAB程序框图2.5 算例分析某区域电网有发电机组62台，交流线路238条，母线428条。本文采用特征分析法对其小绕动进行分析。研究过程中，针对系统低频振荡分析的需要，在收集了电网网络参数、相应机组的调节系统详细资料后，建立了系统的详细数学模型。本文采用的发电机模型为考虑电势变化的三阶模型，励磁系统采用一阶惯性环节来表示，不考虑调速器作用，负荷采用恒阻抗模型。表3.1列出了该区域电网发电机采用三阶模型(取各机组的阻尼系数D=0)下的61个机电模式及其频率、阻尼比和强相关机组。由于由62台机，故从理论分析也应该由61个机电模式，这一点理论推导与计算结果完全一致。表2.1 三阶模型下某区域电网的特征值分析振荡模式编号机电振荡模式频率（Hz）阻尼比（%）强相关机组及变量1-0.24897j11.3151.80092.199838，2-0.24619j11.3431.80532.169927，3-0.19211j5.39790.859113.556741，4-0.02453j6.58221.04760.3726329，5-0.0719576.622j1.05391.086646，47，6-0.007245j6.93251.10330.1045145，7-0.22145j10.9161.73732.02841，8-0.28349j10.8781.73122.605340，9-0.24903j10.8611.72852.292439，10-0.19254j7.31571.16432.630918，11-0.00599j6.82621.08640.0877646，4712-0.16999j7.54121.20022.253618，13-0.044956j7.64451.21670.5880632，3314-0.21079j7.89061.25582.670459，6015-0.21481j7.93311.26262.706844，16-0.205j10.5721.68261.93868，17-0.27372j10.5791.68362.586654，18-0.25373j10.5661.68162.400814，19-0.064986j8.27631.31720.7851835，34，20-0.042515j8.33411.32640.5101231，21-0.18263j8.35061.3292.186413，22-0.19459j8.50171.35312.288321，22，23-0.19583j8.53291.3582.294413，振荡模式编号机电振荡模式频率（Hz）阻尼比（%）强相关机组及变量24-0.24867j10.4591.66472.37689，1025-0.24086j10.2971.63892.33847，26-0.29003j10.2831.63662.819450，27-0.26771j10.2641.63362.607437，28-0.25387j10.2691.63442.471412，29-0.2159j10.2621.63332.103436，30-0.20785j8.78161.39762.36625，31-0.19127j8.85071.40862.160616，32-0.18717j8.90571.41742.101216，33-0.24329j8.97151.42792.710852，34-0.23507j10.181.62022.308523，35-0.25491j10.1191.61042.51849，1036-0.1922j9.07781.44482.116825，37-0.0438569.2046j1.4650.4764530，38-0.26397j10.0361.59732.629311，39-0.21353j9.22481.46822.314242，40-0.27542j9.97221.58172.760862，41-0.21458j9.98021.58842.149653，42-0.20893j9.31861.48312.241548，43-0.23303j9.37971.49282.48363，44-0.22049j9.515951.51512.315515，45-0.25257j9.54851.51972.64426，46-0.33765j9.65441.53653.495251，47-0.2149j9.82191.56322.187426，48-0.20851j9.78021.55662.131528，49-0.24983j9.77741.55612.554343，50-0.24572j9.62171.53132.5536，振荡模式编号机电振荡模式频率（Hz）阻尼比（%）强相关机组及变量51-0.24233j9.7681.55462.480161，52-0.24299j9.7371.54972.494811，53-0.19997j9.70541.54472.059917，54-0.19837j9.73551.54952.037220，55-0.19959j9.65051.53592.067716，56-0.21324j9.65541.53672.207958，57-0.05533j8.49181.35150.6515534，58-0.051107j9.01811.43530.5667133，59-0.27403j9.18091.46122.983559，6060-0.19773j9.81291.56182.014622，2161-0.22242j9.66481.53822.300757，系统的弱阻尼是引发低频振荡的基本原因。从表3.1中分析该区域电网的特征值计算结果，可以看出，该区域电网存在一下几个弱阻尼振荡模式(阻尼比小于0.01)：编号为11，6，4，37，20，58，13，57，19的机电振荡模式。其中与机电振荡模式11，6强相关的机组属于水电厂A，与机电振荡模式4，37，20，58，13，57，19强相关的机组属于水电厂B。3 低频振荡的选择模式分析法与MATLAB仿真计算第2章中介绍了低频振荡的特征分析法，但采用QR法进行特征分析来研究低频振荡有以下缺点：(1) 分析中要把系统所有特征根求出，而我们感兴趣的仅是低频振荡特征根，故CPU时间十分浪费。(2) 分析中把每个特征向量的全部元素求出，而我们只对低频振荡特征根相应的特征向量中和状态量，对应的元素感兴趣，以便了解在中所含的该振荡模式分量的相对幅值及相位。因此，求出全部元素浪费了CPU时间，且造成大量数据输出，而有用数据只占很小一部分。(3) 若每台机(包括励磁系统，PSS装置)的模型为10阶，则2030台机的系统就可达200300阶，即已达QR法求特征根的极限阶数，故存在“维数灾”问题，无法再用QR法求解。(4) 系统大时，中A阵形成工作量大，内存占用极多。(5) 形成标准形式，等传递函数不得不设定中间状态量而化为一阶常微分方程。这不仅工作量大，而且失去了作为一个整体的明确物理意义。其他控制系统传递函数也有类似问题。(6) 本方法只能提供PSS中放大倍数的设计信息，但不可能提供PSS中的相位补偿的设计信息，而这对多机系统PSS协调设计是十分重要的信息。但上述各缺点可在低频振荡选择模式分析法(SMA法)中得到克服和改进。3.1 选择模式分析法的基本原理选择模式分析法通过保留低频振荡相关的状态量和而消去其他状态量，使状态方程阶数大大降低，然后用迭代的方法求取低频振荡模式和模态选择模式法可以较好地适应大规模电力系统的低频振荡分析并能节省机时。SMA法的基本原理如下：若把系统状态方程划分为 (3.1)其中，为保留变量，为其他变量，如，等，待消去。由式(3.1)可消去，得 (3.2)其中，I为单位阵，p为微分算子。将上式改写为 (3.3)式中，为保留变量，为运算形式的“降阶”系统系数阵。可以证明以下2个重要性质。(1) 如果为式(3.1)相应系统之特征根，即，则也必为式(3.2)或式(3.3)之形式上降阶的系统的特征根，即有，亦即特征根不发生变化，系统模式不变。(2) 对于原系统，的特征向量，有。设降阶系统相应的特征向量为，即，则和中保留变量相对应的元素相等，即特征向量的相应元素不变。因此，在保留变量处去观察同一模式的振荡时，相对幅值及相位不变，或者说模态不变。对于，显然可以用下列步骤迭代求解特征根。(1) 若选择一个较好初值,计算。(2) 求解的特征根，满足(在求得的所有可能的中，以为所求)。(3) 计算；重复(2)，计算；若，或，则认为迭代收敛，否则更新，继续迭代求解，直至收敛。这一方法的优点如下。(1) 由于计算只对进行，和原系统矩阵A比，阶数大大降低，对于一台机，形式上可以10阶左右，降为状态量，的二阶系统，计算量节省，“维数灾”问题大大减少。(2) 理论上，原系统的任一特征根均可用此法解出，但我们主要对低频振荡感兴趣。可根据其频率特点，取相应的初值，从而只计算和低频振荡有关的特征根，不计算其他根，从而大大节省机时，且得到的是原系统的机电模式，无畸变。(3) 可由，求。由于是降阶后的矩阵，特征向量的计算量大大减少。3.2 SMA法特征根和特征向量的计算这里介绍两种实用计算算法：一种是SMA法的原型；另一种是基于直接形成的的求根方法，是SMA法的改进型。3.2.1 原型SMA法特征根和特征向量计算对于原系统 设为保留变量，待消去，记，有若能找到一个M阵，使阵的特征根即为所求降阶系统的特征根，则应为原系统特征根，故有显然 (3.4)根据式(3.4)，可以在适当的和初值条件下，用迭代法进行降阶系统特征根、特征向量的计算如下。(1) 用QR法求解的特征根，(设为k阶)，以及特征向量，作为式(3.4)中，(i=1，k)的初值。(2) 由于 (i=1，2，k) (3.5)式中，上标(j)表示第j次迭代，式(3.5)对于每个i包含了k个方程，其中和已知，对于i=1，2,k,共计有个线性方程，可求。(3) 用QR法求取矩阵的特征根和特征向量(i=1，2，k)。(4) 若(j)及(j+1)次迭代结果接近相等，则迭代收敛，计算结束，否则重复(2)、(3)二步，直到收敛。由于初值是由计算得到的，一般收敛到强相关的根(若为,则为与低频振荡相关的根)，从而达到了“选择模式”计算的效果。但这种方法不排斥收敛到非低频振荡根的可能，故对计算的根要采用机电回路相关比检查。显然，用这种方法计算的低频振荡特征根不排斥“丢根”可能。这是迭代法计算特征根的共同缺点。原型的SMA法只要用QR法对一个降阶的矩阵(n机系统不大于2n阶)求特征根，从而可大大的缓解全维分析中的维数灾问题。但原型SMA法要求先形成全系统的系数矩阵A，工作量都很大，每次迭代计算要计算，其中要对一个极高阶的矩阵：求逆，计算工作量很大；另外用计算，其迭代性较差。在此基础上发展的改进SMA法，根据直接形成降阶系统含算子的“系数”矩阵进行计算，并采用牛顿法作迭代，则可较好地克服上述缺点，并具有一些新的有点。3.2.2 改进SMA法特征根和特征向量的计算设已形成形式降阶系统，记作其特征根及特征向量u应满足 若据泰勒级数对在处作泰勒级数展开，并取一阶导数项，则整理为 即相当于 (3.6)式中由式(3.6)可采取如下的步骤计算降阶系统特征根。(1) 设矩阵已形成，利用计算过程中的阻尼系数D及阵，构造近视“二阶”系统 (3.7)式(3.7)即为忽略原动机，调速器动态，发电机采用恒定二阶模型时的系统线性化模型。与式(3.7)对应的状态方程为 (3.8)可以此降阶系统特征根和特征向量作为低频振荡根和特征向量的初值。 (2) 由式(3.6)对某一个计算，QR法计算的特征根，并以其中最接近的根作为，并计算相应的。 (3) 若或，则迭代计算收敛，可进行下一个的计算；否则更新重复第(2)步，直到收敛。上述方法基于直接形成，并具有牛顿法的二阶收敛速度，但一次只能求取一个根。在实用中可进一步对计算过程作改进。改进的SMA法相对于原型SMA法有以下优点。(1) 不必形成高阶的原系统系数阵A，而直接快速形成降阶系统含算子的矩阵。(2) 在迭代求解特征根和特征向量时速度快，且不必用QR法求解，而可直接