中考数学考点讲解矩形

第21讲特殊的平行四边形第1课时矩形知识点1矩形的定义及性质1如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)AABC90 BACBDCOAOB DOAAD 第1题图 第2题图2如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若AOD120，AB6，则AC等于(C)A8 B10 C12 D183如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若ABAO，求ABD的度数解：四边形ABCD为矩形，AOBO.又ABAO，ABAOBO.ABO为等边三角形ABD60.知识点2矩形的判定4如图，在ABCD中，延长AD到点E，使DEAD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：CDBE，使四边形DBCE是矩形5如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OAOB.求证：四边形ABCD是矩形证明：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD.OAOB，OAOBODOC.BDAC.四边形ABCD是矩形重难点矩形的性质与判定如图，在ABCD中，AEBC于点E，延长BC至点F，使CFBE，连接AF，DE，DF.(1)求证：四边形AEFD是矩形；(2)若AB6，DE8，BF10，求AE的长【思路点拨】(1)先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明AEF90即可；(2)利用勾股定理逆定理证明ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长【自主解答】(1)证明：CFBE，CFECBEEC，即EFBC.四边形ABCD是平行四边形，ADBC且ADBC.ADEF且ADEF.四边形AEFD是平行四边形AEBC，AEF90.四边形AEFD是矩形(2)四边形AEFD是矩形，DE8，AFDE8.AB6，BF10，AB2AF26282100BF2.BAF90.AEBF，SABFABAFBFAE.AE.【变式训练】如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABCADC90，对角线AC，BD交于点O，DE平分ADC交BC于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若AB2，求OEC的面积解：(1)证明：ADBC，ABCBAD180.ABC90，BAD90.BADABCADC90.四边形ABCD是矩形(2)作OFBC于F.四边形ABCD是矩形，CDAB2，BCD90，AOCO，BODO，ACBD.AOBOCODO.BFFC.OF为BCD的中位线OFCD1.DE平分ADC，ADC90，EDC45.ECCD2，SOECECOF1.,1判定矩形的基本思路：(1)若已知一个直角，则可以证该四边形是平行四边形或其他角中有两个是直角；(2)若对角线相等，则可以证该四边形是平行四边形；(3)若已知四边形是平行四边形，则需要证明一个内角是直角或对角线相等2应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长度是常用的思路，又可根据矩形对角线相等且互相平分求解，故可借助对角线的关系得到全等三角形，矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明题中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角的等量关系.1(2017兰州)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ADB30，AB4，则OC(B)A5 B4 C3.5 D3 第1题图 第2题图2(2017山西)如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到BCD，CD与AB交于点E.若135，则2的度数为(A)A20 B30 C35 D553如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E在AD上，且BE平分AEC，则ABE的面积为(D)A2.4 B2 C1.8 D1.5 第3题图 第4题图4如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB6 cm，BC8 cm，则EF2.5cm.5如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理对角线相等的平行四边形是矩形6(2016黑龙江)如图，在ABCD中，延长AD到点E，使DEAD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件答案不唯一，如：EBDC等，使四边形DBCE是矩形7已知，如图，在ABC中，ACB90，D是AB的中点，DE，DF分别是ADC，BDC的角平分线求证：四边形DECF是矩形证明：ACB90，D是AB的中点，ADCDBD.DE，DF分别是ADC，BDC的角平分线，DEAC，DFBC.DECACBCFD90.四边形DECF是矩形8(2017荆州)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到DCE.(1)求证：ACDEDC；(2)请探究BDE的形状，并说明理由解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ABDC，ACBD，ADBC，ADCABC90.由平移的性质得：DEAC，CEBC，DCEABC90，DCAB，ADEC.在ACD和EDC中，ACDEDC(SAS)(2)BDE是等腰三角形理由如下：ACBD，DEAC，BDDE，即BDE是等腰三角形9(2017日照)如图，已知BAAEDC，ADEC，CEAE，垂足为E.(1)求证：DCAEAC；(2)只需添加一个条件，即ADBC(答案不唯一)，可使四边形ABCD为矩形请加以证明证明：(1)在DCA和EAC中，DCAEAC(SSS)(2)ABDC，ADBC，四边形ABCD是平行四边形CEAE，E90.DCAEAC，DE90.四边形ABCD为矩形10如图，矩形ACBE中，AC12，BC5，点M在边AB上，且AM6，动点D在矩形边上运动一周，能使ADM是以AMD为顶角的等腰三角形共有(B)A3个 B4个C5个 D6个提示：如图，作MGBC于G，MHAC于H，延长HM交BE于F.由题意可知，MG6，HMAM，FMAM，MCAM，BMAM，MEAM，由此可知，以M为圆心AM为半径的圆与矩形的边有5个交点，除了点A，其余的4个点，与点A，M组成的三角形是等腰三角形11如图，在ABC，ABAC，点D为BC的中点，AE是BAC外角的平分线，DEAB交AE于E，则四边形ADCE的形状是矩形 第11题图 第12题图12(2017徐州)如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，点Q在对角线AC上，且AQAD，连接DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP13(2017江西)已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D在边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为A，若点A到矩形较长两对边的距离之比为13，则点A的坐标为(，3)、(，1)或(2，2)提示：A到矩形较长两边比为13，A可落在直线y3，直线y1，直线y2上且OA4，由勾股定理算得A的坐标为(，3)，(，1)，(2，2)14如图，在ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CPCD，过点P作PQCP，交AD边于点Q，连接CQ.(1)若BPCAQP，求证：四边形ABCD是矩形；(2)在(1)的条件下，当AP2，AD6时，求AQ的长解：(1)证明：BPQBPCCPQAAQP，又BPCAQP，CPQA.PQCP，ACPQ90.又四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形(2)四边形ABCD是矩形，DCPQ90.在RtCDQ和RtCPQ中，RtCDQRtCPQ(HL)DQPQ.设AQx，则DQPQ6x.在RtAPQ中，AQ2AP2PQ2，x222(6x)2，解得x.AQ的长是.