北航线性代数模拟试题

北京航空航天大学现代远程教育线性代数课程考试模拟题一、单项选择题1. 设是齐次线性方程组的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示为 （ C ）A的一个等价向量组 B的一个等秩向量组C D2. 若2008维列向量线性无关，则( B )A组中增加一个向量后也线性无关 B组中去掉一个向量后也线性无关 C组中只有一个向量不能由其余向量线性表出 D3. 设A为3阶方阵，且行列式det(A)=0，则在A的行向量组中（ D ）A必存在一个行向量为零向量B必存在两个行向量，其对应分量成比例C.任意一个行向量都是其它两个行向量的线性组合D存在一个行向量，它是其它两个行向量的线性组合4. .若2阶方阵A相似于矩阵 , E为2阶单位矩阵,则方阵,则方阵E A必相似于矩阵（ C ）A B C D 5. 若矩阵正定,则实数的取值范围是（ D ） A4 C-4D6. 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件( C )A r(A)=r(B) BA,B为相似矩阵C A, B的行向量组等价 DA,B的列向量组等价7. 设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 ( D ) A当时，向量组II必线性相关 B当时，向量组II必线性相关 C当时，向量组I必线性相关 D当时，向量组I必线性相关8 设A,B均为n阶方阵，则必有( A ) A B C D9. 设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（ A ） Ak3 Bk310. 设为矩阵，秩，则方程组的基础解系所含向量个数等于( C ) A B C D 11. 设向量组I： 与向量组II：等价，则 ( B ) A向量组II必线性无关 B向量组I必线性相关 C向量组I的秩大于向量组II的秩 D不能由线性表出12. 设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ） A -6 B 6 C -2 D213. 设和是3阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，、依次是A的属于特征值、的特征向量，则实常数= ( D ) A 5 B2 C -1 D -314. 二次型的秩等于（ B ） A0 B1 C2D315. 下列二次型中，秩为2的二次型是（A）ABCD16. 设非齐次线性方程组中，, 则( A )A时，方程组有唯一解 B时，方程组有解 C时，方程组有无穷多解 D时，方程组有唯一解17. 若n维列向量线性无关，则( B )A组中增加一个向量后也线性无关 B组中去掉一个向量后也线性无关 C组中只有一个向量不能由其余向量线性表出 D18. 设A为3阶方阵，且行列式det(A)= ,则det(-2A)= （ C ） A -1 B 1 C -4 D419. 设A，B是同阶正交矩阵，则下列命题错误的是（D）A也是正交矩阵B也是正交矩阵C也是正交矩阵D也是正交矩阵20. 设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2，0，-3，则（ B ）A|A|0 B|A|=0 CA负定DA正定21. 设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ B ） A. A =0B. |A|0时B=C C. A0时B=CD. BC时A=022. 设A为2008阶可逆方阵，则 （ B ）A. B. C. D. 23. 中项的系数是( A ) A2 B-2 C-3 D124. 设为矩阵，则元齐次线性方程组存在非零解的充分必要条件是( C )A的行向量组线性无关 B. 的行向量组线性相关C. 的列向量组线性无关 D. 的列向量组线性相关25. 设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（ A ）A若线性相关，则线性相关.B若线性相关，则线性无关.C若线性无关，则线性相关.D若线性无关，则线性无关.26. 设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（ B ）A B C D 27. 设为矩阵，非线性方程组有唯一解，那么必有( C ) A B秩C秩 D 秩28. 设向量组I： 与向量组II：等价，则 ( A ) A向量组I必线性相关 B向量组II必线性无关 C向量组I的秩大于向量组II的秩 D不能由线性表出29. 设有齐次线性方程组和, 其中均为矩阵，现有4个命题： 若的解均是的解，则 若，则的解均是的解； 若与同解，则 若， 则与同解.以上命题中正确的是（ B ）A B C D 30. 若n维列向量线性无关，则( B )A组中增加一个向量后也线性无关 B组中去掉一个向量后也线性无关 C组中只有一个向量不能由其余向量线性表出 D31. 设矩阵，则下列矩阵运算有意义的是 （ B ） A B C D32. 设n阶矩阵A的每行元素之和为2008，则A必有一个特征值( C ) A0 B1 C2008 Dn33. 二次型的秩等于（ D ） A0 B1 C2D334. 若n阶方阵满足,则必有( C ) A B C可逆 D不可逆35. 设A是一个n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ） A如存在数和向量使A= ，则是A的属于特征值的特征向量 B如存在数和非零向量，使(E-A)=0，则是A的特征值 CA的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D如1，2，3是A的3个互不相同的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性相关36. 已知矩阵，则二次型（C ）ABCD37. 元齐次线性方程组存在非零解的充要条件是( C ) A的列线性无关 B的行线性无关C的列线性相关 D的行线性相关38. 设是一组4维向量，其中线性相关，那么有( D ) A中有零向量 B必线性无关 C必线性无关 D必线性相关39. 设n阶方阵A满足，其中E是n阶单位矩阵，则必有（ C ）A B C D 40. 设n阶矩阵A的每行元素之和为1，则A必有一个特征值( B ) A-1 B1 C0 Dn41. 设方阵A与B等价，则（ D ）AA与B的对称矩阵合同 BA与B相似 C|A|=|B| Dr(A)=r(B)42. 二次型的秩等于（ D ）A.0 B.1 C.2 D. 343. 若向量组（）：,可由向量组（）：,线性表示，则必有（A）A秩（）秩（）B秩（）秩（）CrsDrs44. 设为矩阵，若任何维列向量都是方程组的解，那么必有( A ) A BC D 45. 设是一组2008维向量，其中线性相关，那么有( D ) A中有零向量 B必线性无关C必线性无关 D必线性相关46. 若n阶方阵满足,则必有( C ) A B C不可逆 D可逆47. n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个 ( C )A互不相同的特征值 B互不相同的特征向量C线性无关的特征向量 D两两正交的特征向量48. 设3阶实对称矩阵A的特征值分别为1，0，-1，则（ B ）A|A|0 B|A|=0 CA负定DA正定49. 设方阵A与B等价，则（ D ）AA与B合同 BA与B相似 C|A|=|B| Dr(A)=r(B)50. 设、均为非零常数（=1，2，3），且齐次线性方程组的基础解系含2个解向量，则必有（ C ） A. B. C. D. 二、判断题在正确的命题后面填写 A ,在错误的命题后面填写 B。51. 二次型的标准形中平方项的个数，与所作的非退化现行替换有关。( B )52. 两个对称矩阵一定合同。( B )53 . 线性变换的特征向量的和，仍然是特征向量。( B )54. 设为矩阵，那么秩或者等于0。( B )55. 设为矩阵，且已知秩，那么秩。( A )56. 合同的两个矩阵的秩不一定相等。( B )57. 如果一个矩阵的行向量组为正交的单位向量组，那么这个矩阵的行列式为1。 (B)58. 设为实矩阵，那么 。 ( A )59. 相似的两个矩阵的秩不一定相等。( B )60. 实对称矩阵的特征值一定是实数。( A )61. 如果矩阵正定，为可逆矩阵，那么为正定矩阵。( A )62. 秩相等的两个向量组不一定等价。 ( B )63. 存在一个正定的二次型，它的特征值为。( B )64. 线性相关向量组的任何一个部分组也线性相关。( B )65. 相似的两个矩阵必等价。( A )66. 设为矩阵，那么。 （ A ）67. 相似的两个矩阵一定合同。( B )68. 正交的向量组一定线性无关。( A )69. 实对称矩阵正定的充要条件是存在可逆矩阵，使得。 (A )70. 等价的两个线性无关向量组所含有向量的个数一定相等。( A )71. 已知为矩阵，且，那么秩秩。 ( A)72. 合同的两个矩阵的秩一定相等。( A )73. 实对称矩阵正定的充要条件是存在行列式不等于零的矩阵，使得。 (A )74. 等价的两个向量组的极大线性无关组所含向量的个数一定相等。（ A ）75. 两个行列式相等的正交矩阵的乘积也是正交矩阵。( B )76. 已知为矩阵，且，那么秩秩。 ( A)77. 相似关系和合同关系都是矩阵之间的等价关系。 ( A )78. 实对称矩阵中有一半可以对角化，另一半不可以对角化。 ( B )89. 等价的向量组所含有向量的个数一定相等。( B )80. 如果矩阵正定，的行列式等于2008，那么为正定矩阵。( A )81. 正交变换具有保长度性。 （A）82. 二次性的规范形一定是唯一的。 ( A )83. 线性相关的向量组去掉相同位置上的分量，所得向量组仍线性相关。( B )84. 相似矩阵有相同的特征多项式。( A )85. 阶矩阵可逆当且仅当齐次线性方程组只有零解。( A )86. 合同的两个矩阵必等价。 ( A )87. 已知为矩阵，且设相似与对角矩阵，那么它有n个不同的特征值。( B )88. 元二次型正定的充要条件是正惯性指数等于。 ( A )89. 线性相关的向量组中的每一个向量都可以由其余的向量线性表出。 ( B )90. 设为矩阵，那么。 （ B ）91. 相似的两个矩阵的秩不一定相等。( B )92. 如果一个矩阵的列向量组为正交的单位向量组，那么这个矩阵的行列式为1。 (B)93. 实对称矩阵正定的充要条件是它的各阶顺序主子式都大于零。( A )94. 线性无关向量组的任何一个部分组也线性无关。( A )95. 设为矩阵，那么秩。( B )96. 实二次型 正定，当且仅当 正定。( A )97. 正定矩阵合同与同阶单位矩阵。( A )98 . 一个秩为 的矩阵总可以表示为 个秩为1的矩阵的和。( A )99. 若两个向量组等价，则它们含有相同个数的向量。( B )100. 属于线性变换A同一特征根的特征向量的线性组合，仍然是A的特征向量。( A )三、填空题101.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为( -2 )102. ( 4 )103. 设为3维列向量，是的转置. 若，则=（ 3 ）104. 设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则（ 0.5 ）105. 设其中，则的秩=（ 1 ）106向量组线性无关的充要条件是（ ）107. 设矩阵相似于对角矩阵，则（ 0 ）。108. 二次型 的标准型是（ ）109. 已知二次型 正定，那么常数的取值范围是（ ）110. 已知与相似，那么（ 0 ）111. 已知矩阵满足关系，那么它的特征值是（ 0或1 ）112. 向量组 的秩为 ( 1 )113 ( 6 )114. 设向量（2，-3，6）与向量（-4，6，a）线性相关，则a=( 12 )115.齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为( 1 )116.设3阶矩阵A的行列式|A|=18，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为( 4.5 )117.二次型的秩等于 ( 2 )118.已知二次型正定，那么实数的取值范围是( )119.已知，那么的绝对值最大的特征值是 ( 3 )120. 矩阵的秩等于 ( 3 )121. 中项的系数是 （）122. 已知矩阵，那么（ ）123. 矩阵的最大的特征值是（ 4 ）124. 已知矩阵，则二次型（ ）125. 二次型的正惯性指数等于（ 1 ）126. 设实二次型的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为（ ）127. （ 5 ）128. 已知齐次线性方程组仅有零解，那么的取值范围是( )129. 已知线性齐次方程组有非零解，则（ 4 ）130. 向量组则向量组的秩为（ 2 ）131. 若方程组有解，那么常数（ ）132. 设和是3阶实对称矩阵A的两个不同的特征值，、依次是A的属于特征值、的特征向量，则实常数= ( 3 )133. 设实二次型的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为( )134. 已知，那么的特征值是 ( 0， 1， 3 )135. 设阶矩阵A的2007个行向量线性无关，则矩阵AT的秩为( 2007 )136. 设矩阵则行列式det()的值为( 1 )137. 若线性方程组 无解，则=( 0 )138. 向量组（2，4），（6，8），（8，12）的秩为( 2 )139. 设矩阵则=( )140. 二次型的秩等于( 3 )141. 已知矩阵，那么（ ）142. 方程组的解为( )143. 已知矩阵的特征多项式等于，那么的特征多项式等于( )144. 设, , 则（ ）145. 若矩阵正定，则的取值范围是( )146 已知的一个基为求向量在此基下的坐标 ( )147.设二次型的正惯性指数为，负惯性指数为，则等于( 0 )148. 设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则=( 2 )149. 设向量、的长度依次为2和3，则向量与的内积=( -5 )150.如果矩阵，那么矩阵的逆矩阵（ ）151.二次型的规范型为( )152 （ 1999 ）153. 设3阶矩阵A的行列式|A|=12，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为( 3 )154. 已知，那么的最小的特征值是 ( 1 )155. 已知方程组无解，那么常数的取值范围是（ ）156. 已知矩阵，那么它的逆矩阵等于( )157. 设向量，向量满足关系，那么向量（ ）158. 二次型的负惯性指数等于 （ 0 ）159. 已知、是3元非齐次线性方程组的两个解向量，则对应齐次线性方程有一个非零解=( (2,4,3)T(或它的非零倍数) )160. 设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是( 6 )161. 若向量组线性相关，则常数=( 8 )162.向量组的秩等于( 3 )163.已知可逆矩阵的每行元素之和都等于2008，那么的每行元素之和等于( )164.实二次型的正惯性指数等于( 2 )165. 二次型的标准型为( )166. 已知阶矩阵的秩等于，那么它的伴随矩阵的秩等于( 0 )167. 中项的系数是( 2 )168. 设矩阵，则的全部特征值为( 2，1，1 )169. 若矩阵正定，则的取值范围是( )170. 设，的伴随矩阵的秩为1，且，则的通解为（ 或者 ）171. 若将n阶行列式中的每个元素添上负号后得一新行列式，则（ ）172. 设为5阶方阵，且，则（ 81 ）173. 若齐次线性方程组中的方程得个数少于未知数得个数，则此方程组必有（ 非零解 ）174. 设3阶方阵，则秩()（ 2 ）175. 若为同阶方阵，则（ ）176. 设三阶矩阵 有一个特征值为，且及 的主对角线元素的和为 ， 则 的其余二个特征值为( 0, -1 )177. 齐次线性方程组 只有零解，则应满足的条件是（ 且 ）178. 如果，则（ 3M ）179. 设 且 ,则（ ）180. 设, , , 那么向量组 的秩等于 ( 3 )181. 二次型的负惯性指数等于（ 2 ）182. 二次型 的矩阵形式为（ ）183. 已知与相似，那么（ 1 ）184. 已知2阶方阵A的特征值为 = 1及 = - ，方阵，那么的行列式的等于（ ）185. 设矩阵为2阶方阵，存在矩阵满足，那么 （ 0 ）186. 方程组 存在基础解系，那么的取值范围是( )187. 设 , 则 等于（ ）188. 二次型的标准型是（ ）189. 行列式 （ ）190. 二次型的秩等于（ 3 ）191. 已知-2是的特征值，其中b为不等于零的任意常数，则（ 4 ）192. 若矩阵正定，则的取值范围是( 2 )193. 已知可逆矩阵有一个特征值是4，那么一定有一个特征值等于（ ）194. 已知方程组 存在基础解系，那么基础解系中所含向量的个数是( 1 )195. 已知非齐次线性方程组有，已知的秩等于2008，那么那么它的增广矩阵的秩等于( 2008 ).196. 已知可逆矩阵的行列式等于6，它的伴随矩阵是，那么等于（ 6E ）.197. 当( 1 )时，方程组有无穷多解198. 如果方阵与对角矩阵相似，那么（ E ）199. 二次型的秩等于（ 2 ）200. 已知二次型正定，那么常数的取值范围是（ 2 ）四、计算题201设矩阵A =，求202设矩阵 ，计算。203求解齐次方程组 204. 设 , 求 205设 , , , ， 问向量 能不能由向量组 线性表出？为什么？206设 , , , 求向量组 的秩。207确定实数 的值，使二次型 正定。208设向量组 ， , 线性相关， 试求 的值。209.已知矩阵，请用两种方法计算。210. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵: ; 211. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:. 212-213. 设a=(a1, a2, , an)T , a10, A=aaT. 212. 证明l=0是A的n-1重特征值; 213. 求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量. 214. 设, 求A100. 215. 求下列矩阵的特征值和特征向量: ; 216. 求下列矩阵的特征值和特征向量; 217. 求下列矩阵的特征值和特征向量. 218. 设A为n阶矩阵, 证明AT与A的特征值相同. 219. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3, 求|A3-5A2+7A|. 220. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求|A*+3A+2E|. 221.设, , 求3AB-2A及ATB. 222225. 计算下列乘积: (1); (2); (3); (4) ; (5); 2262329.求下列矩阵的逆矩阵: (1); (2); (3); (4)(a1a2 an 0) . 230232. 解下列矩阵方程: (1); (2); (3); (4). 233. 利用逆矩阵解下列线性方程组: ; 234. 利用逆矩阵解下列线性方程组. 235236. 求下列矩阵的逆阵: (1); (2). 237.求解齐次线性方程组: ; 238. 求解齐次线性方程组; 239. 求解齐次线性方程组 ; 240. 求解齐次线性方程组 . 241. 求解非齐次线性方程组: ; 242. 求解非齐次线性方程组; 243求解非齐次线性方程组 ; 244. 求解非齐次线性方程组 . 245. . 写出一个以为通解的齐次线性方程组. 246. 非齐次线性方程组当l取何值时有解？并求出它的解. 247. 设. 问l为何值时, 此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解. 248. 设v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3. =(0, 1, 2)T. 249. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T, a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T. 250. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T; B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T, 证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示. 251. 已知向量组 A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T; B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T, 证明A组与B组等价. 252. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明 (1) a1能由a2, a3线性表示; (2) a4不能由a1, a2, a3线性表示. 253254. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: 253. (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T; 254. (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T. 255. 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T. 256. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式. 257. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之 258.求下列齐次线性方程组的基础解系: ; 259. 求下列齐次线性方程组的基础解系. 260. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: ;