数学教学设计案例

数学教学设计案例课题名称：余弦定理教学年级：高一年级（下）（一）教学内容分析1教学主要内容本节课是“正弦定理、余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。 余弦定理是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。2我的思考余弦定理一课教学模式和策略设计就是想让素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究。旨在通过学生自己的思维活动获取数学知识，提高学生基础性学力(基础能力)，培养学生发展性学力(培养终身学习能力)，诱发学生创造性学力(提高应用能力)，最终达到素质教育目的。为此，我在设计这节课时，采用问题开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略。通过设置开放性问题，问题的层次性推进和教师启发、点拨发展学生有效思维，提高数学能力，达到上述三种学力的提高、培养和诱发。以学生参与为主，教师启发、点拨教学策略是体现以学生发展为本的现代教育观，在开放式讨论过程中，提高学生的数学基础能力，发展学生的各种数学需要，使其获得终身受用的数学基础能力和创造才能。为此我们根据“问题教学”模式，沿着“设置情境-提出问题-解决问题-反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为主线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境-问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。 （二）教学目的 1掌握余弦定理及其证明方法体会向量的工具性. 2通过对余弦定理的研究和初步应用,培养观察发现、合作交流能力和探索精神.（三）教学重难点教学重点：余弦定理及其应用教学难点：证明余弦定理（四）教学过程一、复习提问1：上节课，我们学习了正弦定理，解决了有关三角形的两类问题：已知两角和任意一边；已知两边和其中一边的对角.三角形中还有怎样的问题没有解决？已知两边和夹角；已知三边.首先分析最特殊的三角形直角.已知两边a,b及夹角，能否求第三边？勾股定理二、引入提问2：在斜三角形中边和角有怎样的关系？在ABC中，当时，有实验：若a,b边的长短不变，的大小变化,与有怎样的大小关系呢？三、定理证明探求与及C的大小关系.提问3：如何利用向量解决：（1）探求与及C的大小关系.边与C有怎样的位置关系？（2）边c的所在直线向量怎样用所在直线向量表示出来？如图，向量的点乘公式：（引导学生选择合适的向量方向）图4向量的减法法则：.同理可得.这就是余弦定理.它在实际测量中有很好的作用.16世纪，法国数学家韦达利用三角法证明余弦定理.一些教材还介绍了利用解析法证明.事实上还可以利用几何法证明.对勾股定理的证明目前有40多种，而对余弦定理的证明方法却不多见，这正我们同学积极思考和创造的机会.留给同学课后研究.四、定理研究提问4：余弦定理中有什么特点、规律？蕴藏什么秘密？等待着我们探索发现，分4人一小组合作完成. 小组代表发言，一组一条不重复.学生对定理的研究：表示关系：1边角关系2三边和一角文字表述：3三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.公式作用：4已知两边和它们的夹角的大小，可求第三边的大小；5已知三边，求三个角.基本练习：（1），求定理推广：6勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.当时，.定理推广：7直角三角形中的锐角三角比是余弦定理的特例当时，定理联系：8若+得： 这是三角形中的射影定理.判断三角形的形状：9判断钝角三角形的充要条件：有一边的平方大于另两边的平方和.10判断锐角三角形的充要条件：任意两边的平方和大于第三边的平方.五、定理应用例1（课本p33例题）在中，已知解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到）提问5：已知什么条件，求什么，先求什么，再求什么.（1）已知两边及夹角，先求第三边；（2）通过三边，求角A；（3）求角六、小结提问6：这节课我们学习了什么知识、它有什么作用、利用了什么数学思想或方法.（1）本节课我们研究余弦定理.它有两种表现形式，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角（2）余弦定理的作用通过它的两种形式直接表现：已知两边及夹角求第三边；已知三边求三内角它和正弦一起解决了解三角形中各类问题.（3）本节课我们利用向量法证明定理，体现向量法的灵活运用.七、作业基础性巩固练习1课本, 3.4.2在ABC中，已知下列条件,求解三角形（1）（2）（3）.独立性探求问题3写出三角形为锐角三角形的一个充要条件.合作性研究问题研究利用几何法、三角法、解析法或创造新的方法证明余弦定理.教学课后反思与总结在下面几个方面很好地完成教学任务和实现教学目标：1课题引入：研究一般三角形的一类问题，目标明确.由特殊的直角三角形开始研究，探讨斜三角形中一边的平方和另两边平方和及夹角的关系.展现知识发生和发展过程.2定理证明：利用向量证明定理，条理清晰、思路轻松自然.3定理研究：创造学生自主探究的氛围，让学生（细心）观察、（小组）讨论、（交流）合作、（代表）报告.充分调动学习的积极性，促进不同层次的学生合作交流.4思想总结：本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实，为今后的“定理教学”提供了一些有用的借鉴。 创设数学情境是“问题教学”模式的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。 这种教学模式主张以问题为“主线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键。教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。