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真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。习题二十一1.某年级有100个学生,其中40个学生学英语,40个学生学俄语,40个学生学日语.若分别有21个学生学习上述三种语言中的任何两种语言,有10个学生所有3种语言.问不学任何语言的学生有多少个?解：用A1、A2、A3分别表示学英语、学俄语、学日语的学生集合，S表示总学生集合，则问题变成求，利用逐步淘汰公式，分别求，所以由逐步淘汰公式2.有多少个小于70且与70互质的正整数?解：由于70=2，所以该题也就变成了，求所有小于的并且不能被，整除的正整数的个数。设、分别表示1到之间能被、7整除的整数之集合.于是,问题变成求.利用逐步淘汰公式,先分别求:其中表示对取整,下同:其中表示与的最小公倍数.代入公式(21.1)得:3.在由10个数字位组成的三进制序列中,有多少个至少出现一个0,一个1和一个2的序列?解：设只出现0、1、2中任意i位数的三进制数的个数为N(i)个，i=1,2。显然，10位三进制数共有个，而。故0、1和2都出现的数字共有个。4.某班级有学生25人,其中有14个会西班牙语,12人会法语,6人会法语和西班牙语,5人会德语和西班牙语,还有2人这三种语言都会说,而6个会德语的人都会说另一种语言(指西政牙语).求不会以上三种语言的人数.解 设会法语，德语，西班牙语的学生的集合分别为那么显然现在考虑，因6个会德语的人都会另一种语言，其中5人会西班牙语，那么另一人肯定会法语。又5个会西班牙语的人中也有两个会法语。所以。有公式（4-1）即不会外语的有5人。5.求的没有偶整数在它的自然位置上,即不在第位置上的排列个数.解 S的所有排列个数是，有个偶数出现在其自然位置上而其余个数不加限制的排列数为。此外，个偶数有种不同选法。代入对称筛选式得6.求的恰有4个整数在其自然3位置上的排列个数. 解 在其自然数位置上的4个数有种选法。余下的不在其自然位置上的4个数有种排法。于是答案为7.试用组合推理解释恒等式解的排列可分别成下列情况：没有一个数载其自然位置上的排列数位。恰有个数载其自然数为。有的所有排列的个数为，根据加法原理得8.试证: 是一个偶数当且仅当是一个奇数.证 命题等价于是奇数时是偶数，是偶数时是奇数。用归纳法证明。因为归纳基础成立。假定对任一是奇数，是偶数时命题成立。那么是奇数 是奇数 是偶数命题得证9.个人参加一晚会,每人寄存一顶帽子和一把雨伞,会后各人任取一顶帽子和一把雨伞,有多少种可能使得没有人能拿回他原来的任何一件物品?解 因为人和帽子都是有区别的，每人随便地戴一顶帽子相当于顶帽子的一个重排。这些重排的个数为。而没有一个人戴上自己原来的帽子恰是错置，错置数为没有人拿回自己原来的帽子有种可能。没有人拿回自己原来的伞也有种可能。这两件事情是互相无关的。因此答案为。3 / 3
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