直线斜率公式的应用教资材料

浅议直线斜率公式的应用贵州省岑巩县第一中学 蒋世军摘要：直线是一种简单的几何图形，而斜率是直线的本质属性，它直观反映了一条直线的倾斜程度。直线的斜率公式是平面解析几何中的重要公式，也是高中数学的一个重要知识点。在新课标和考试说明中都有较高的要求，由于斜率公式与代数中的分式在结构上有密切的联系。所以它除了直接用来求直线方程，求直线的斜率外，还可以用来解决其他一些问题。如求分式函数的值域（最值），解决数列有关问题，以及不等式的有关问题等-都可借助斜率的几何意义，巧妙的解决。关键词：直线 斜率公式 应用 下面就问题举例说明：一、求直线的倾斜角例1：已知直线l1经过两点A(2，1)、B(6，)，直线l2的斜率为直线l1的斜率的一半，求直线l2的倾斜角.分析：先利用过两点的斜率公式求l1的斜率，再求得l2的斜率，从而求得.解：设直线l1、l2的斜率斜率分别为k1、k2，则由已知可求得，k2 即tan， 0，) 点评：经过两点的直线的斜率公式在解题中有广泛的应用，必须熟记并灵活应用.根据斜率求倾斜角时，在tank中，的取值与k的正负有关，当k0时，当k0时，另外要注意斜率不存在时，直线的倾斜角为。 二、证三点共线例2：求证：A(1，3) 、B（5，7）、C（10，12）三点在同一条直线上。分析：要证A、B、C三点共线，只需证直线AB,AC的斜率相等。证明： 又直线AB,AC有共同的端点A。 A、B、C三点在同一条直线上。例3：过抛物线焦点的一条直线与抛物线交于P、Q两点，自Q点向抛物线的准线作垂线，垂足为，求证：P过抛物线的顶点。 证明：设抛物线方程为y=2px(p0)，则焦点F的坐标为（），准线方程为x=-, yF(,0)xPQ1可设过焦点F的直线方程为x=my+O解方程组Q解得 将 所以 P 因此所以P、O、Q三点共线。 即直线P过抛物线的顶点O点。评注：两直线AB、AC的斜率相等A、B、C三点共线；反过来，A、B、C三点共线两直线AB、AC的斜率相等（斜率存在）或都不存在。AxMyM0M三、求函数的值域（最值）例4：求函数的值域。解：若将y看成是动点M（cos，）和定点A（-2，-1）连线的斜率，问题就变得较简单。不妨设x=cos，y= 消去得 （如右图）当MA与椭圆相切时，得出斜率的最大值与最小值。令切线的斜率为k，则切线的方程为： 将其方程与椭圆方程消去y得： （*）PxyQOy=x因此该方程的判别式 解得 所以 函数的值域是。 四、不等式证明和解不等式中的应用例5：已知a、b、m都是正数，并且求证： （旧人教版第二册6.3节例2）分析：对问题我们可以把看成是经过P（b，a），Q（-m，-m）两点的直线的斜率。 即 ，把看成是经过点P（b，a）、o（0,0）两点的直线的斜率。即 。（如图）证明：如图， 点P（b，a）在第一象限且必在直线y=x的下方，又因为m0，所以点Q（-m，-m)在第三象限且必在直线y=x上，连结OP、PM，则直线OP的斜率为，直线PQ的斜率为；因为直线PQ的倾斜角大于直线OP的倾斜角。 所以 例6：关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围。分析：令为斜率k1=2直线方程，是过点A（2,0）且斜率k2=a的直线方程。由于不等式的解集为R。即xR时，y1只能有k1 = k2 即a = 2 。解:略。 五、比较大小 例7：若，则（ ）A. B. C. D. （高考题）解：因为，表示函数的图象上的点（x，y）与坐标原点O连线的斜率，如图 ， 则 由图象可知： 即，选C。说明：也可以考察函数的单调性，即利用它的导数来严格求解，但对于选择题、填空题，用数形结合的思想将问题转化为过曲线上的点与原点的直线的斜率，问题便可直观、简捷地解出，但图形须相对准确。六、构造直线斜率解决数列问题 数列是一种特殊函数，他的定义域是自然数集N或N的子集，任何一个数列都可以对应的“还原”为一个函数。从图像上看，表示数列的点在对应函数的图像上，高中教材中比较典型的等差数列的通项公式：，若令，则“还原”为一次函数。其中斜率，截距,那么表示数列的点必在直线上，这种“还原”就为我们用直线方式观察等差数列问题创造了条件。例8：在等差数列中，求。解：从函数的观点来看，在等差数列中，通项是自变量n的一次函数，则两点 和，即（3,6）和（8,21）都在一次函数所对应的直线上，直线斜率为由直线方程的点斜式可得： 整理得：所以 总之，对直线斜率公式的应用比较广泛，仅从以上例题可以看出，运用直线斜率公式解决某些数学问题方便简捷。 5光c