2020版第7章第4节直线平面平行的判定及其性质

第四节 直线、平面平行的判定及其性质考纲传真1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间 中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 有关空间图形的平行关系的简单命题.1.线面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直 线与此平面内 的一条直线平 行，则该直线 与此平面平行 （简记为“线线 平行？线面平 行”） 1 / a, a?a -L2a I / a性质定理一条直线与一 个平面平行， 则过这条直线 的任一平面与 此平面的交线 与该直线平行 （简记为“线面 平行？线线平 行”） 1 / a, 1?B, aAb,1 / b2.面面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言一个平面内的两/ a/ B判定条相交直线与另b / B一个平面平行，则a A b=定理这两个平面平行P, a? a.（简记为“线面平b? a.行？面面平行”） all B如果两个平行平T a/性质面同时和第三个aG 尸 a，定理平面相交，那么它阳尸b，们的交线平行a / b常用结论线、面平行的性质(1) 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2) 夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4) 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.(5) 如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行.(6) 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行.(7) 垂直于同一条直线的两个平面平行.(8) 垂直于同一平面的两条直线平行.基础自测1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“x” )(1) 若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.()(2) 若直线a/平面a, P a,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(3) 若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行()(4) 若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行( )答案X x x V2(教材改编 )下列命题中，正确的是 ( )A. 若a, b是两条直线，且a II b,那么a平行于经过b的任何平面B. 若直线a和平面a满足a I a，那么a与a内的任何直线平行C .若直线a, b和平面a满足a I a, b I a,那么a I bD .若直线a , b和平面a满足a I b , a I a, b? a,则b I aD 根据线面平行的判定与性质定理知 选 D.3. 设a, B是两个不同的平面，m是直线且m? a, “ m I B”是“ a I B” 的()A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件B 当mI B时,过m的平面a与B可能平行也可能相交，因而mI B? aI B； 当aI B时，a内任一直线与B平行，因为m? a所以mI B综上知，“mI B” 是“aI B”的必要而不充分条件.4. 在正方体 ABCD-AiBiCiDi中,E是DDi的中点,贝U BDi与平面 ACE的位置关系是 .平行如图所示，连接BD交AC于F ,连接EF ,则EF是厶BDDi的中位 EF/ BDi,又 EF? 平面 ACE，BDi?平面 ACE, BDi / 平面 ACE.5设m, n是两条不同的直线，a, B, y是三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 m? a, n / a ,则 m / n ； 若 all B y m a,贝U m Y 若 aG# n , m/ n , m/a,则 m/ B 若 a丄Y B丄Y 贝U a/p.其中是真命题的是 （填上序号 ）对于，m/ n或m , n异面，故错误；易知正确；对于，m/ B 或m? B,故错误；对于，all B或a与B相交，故错误 直线与平面平行的判定与性质?考法1直线与平面平行的判定1【例1】 如图，在四棱锥 P-ABCD中，AD / BC, AB= BC = qAD, E, F,H分别为线段AD, PC, CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点.(1) 求证：AP/平面BEF;求证：GH /平面FAD.证明连接EC, 1因为 AD / BC, BC = 2AD，所以 bcA AE,所以四边形ABCE是平行四边形，所以0为AC的中点.又因为F是PC的中点，所以 F0 / AP,因为F0?平面BEF, AP?平面BEF,所以AP/平面BEF.(2) 连接 FH , 0H ,因为F, H分别是PC, CD的中点，所以FH / PD，因为FH?平面PAD, PD?平面PAD,所以FH /平面FAD.又因为0是BE的中点，H是CD的中点，所以0H / AD，因为0H?平面PAD, AD?平面PAD.所以0H /平面PAD.又 FH n 0H = H ,所以平面0HF /平面PAD.又因为GH?平面OHF ,所以GH /平面PAD.?考法2直线与平面平行的性质【例2】 如图，在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，E为线段AD上的任意一 点（不包括A，D两点），平面CECiA平面BBiD = FG.证明：FG/平面AAiBiB.证明 在四棱柱 ABCD-AiB1C1D1 中，BBi/ CCi，BBi?平面 BBiD， 平面BBiD，所以CCi /平面BBiD.又 CCi?平面 CECi,平面 CECiA 平面 BBiD = FG,所以 CCi / FG.因为 BBi / CCi,所以 BBi / FG.而 BBi?平面 AAiBiB，FG?平面 AAiBiB，所以FG /平面AAiBiB.规律方法判定线面平行的4种方法i利用线面平行的定义 无公共点；2利用线面平行的判定定理 a? a b? a a/ b? a/ a ；3利用面面平行的性质定理all B, a? 0? a / B ；4利用面面平行的性质all B, a? a, a?B, a/ 0? a/ B.,注意：构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等.如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,AB = 2 , AF =1 , M是线段EF的中点.求证：MA /平面BDE.(2)若平面 ADM G平面 BDE= I ,平面 ABM n平面 BDE= m,试分析I与m的位置关系，并证明你的结论.解(1)证明：如图，记AC与BD的交点为O,连接OE.因为O, M分别是AC, EF的中点，四边形ACEF是矩形, 所以四边形AOEM是平行四边形，所以AM / OE.又因为OE?平面BDE, AM?平面BDE,所以AM /平面BDE.(2)1 / m,证明如下：由(1)知 AM / 平面 BDE，连接 DM , MB.又AM?平面ADM，平面 ADM n平面BDE= l,所以I / AM,同理，AM /平面BDE,又AM?平面ABM，平面 ABMn平面BDE= m,所以m / AM，所以I / m.平面与平面平行的判定与性质【例3】如图，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，E, F, G, H分别是AB, AC,AiBi, AiCi的中点，求证:(1) B, C, H, G四点共面；平面EFAi /平面BCHG.证明(1)因为GH是厶AiBiCi的中位线，所以GH/ BiCi. 又因为 BiCi / BC,所以 GH / BC, 所以B, C, H, G四点共面.(2) 因为E, F分别为AB, AC的中点， 所以 EF/ BC,因为EF?平面BCHG, BC?平面BCHG,所以EF /平面BCHG.所以四边形AiEBG是平行四边形，所以AiE/ GB.因为AiE?平面BCHG, GB?平面BCHG, 所以AiE /平面BCHG.因为 AiEA EF = E,所以平面EFAi /平面BCHG.拓展探究在本例条件下，若Di, D分别为BiCi, BC的中点，求证：平面 AiBDi /平面 ACiD.证明如图所示，连接AiC交ACi于点M ,因为四边形AiACCi是平行四边形， 所以M是AiC的中点，连接MD， 因为D为BC的中点，所以 AiB/ DM.因为AiB?平面AiBDi，DM?平面 AiBDi，所以DM /平面AiBDi.又由三棱柱的性质知，DiCi二BD， 所以四边形BDCiDi为平行四边形， 所以 DCi / BDi.又 DCi?平面 AiBDi.BDi?平面 AiBDi，所以DCi /平面AiBDi,又因为DCm DM = D,DCi, DM?平面 ACiD.所以平面AiBDi /平面ACiD.规律方法1.判定平面与平面平行的4种方法(1) 面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用);(2) 面面平行的判定定理(主要方法)；(3) 利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)；(4) 利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)；注意：谨记空间平行关系之间的转化在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF / DB, G, H分别是EC和FB的中点.求证：GH /平面ABC.证明 取FC的中点I，连接GI, HI，则有GI / EF, HI / BC.又 EF/ DB,所以 GI / BD,又 GI n HI = I, BDn BC= B, 所以平面GHI /平面ABC.因为GH?平面GHI,所以GH /平面ABC.平行关系中的存在性冋题【例4】 如图，已知四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD为菱形.(1) 证明：平面 ABiC /平面DAiCi;(2) 在直线CCi上是否存在点P,使BP/平面DAiCi?若存在，确定点P的 位置；若不存在，请说明理由.解 证明：由棱柱 ABCD-AiBiCiDi的性质知，ABi/ DCi(图略), ABi?平面 DAiCi, DCi?平面 DAiCi,二ABi / 平面 DAiCi,同理可证BiC /平面DAiCi,又 ABin BiC= Bi,平面 ABiC / 平面 DAiCi.(2)存在这样的点 P,使BP/平面DAiCi. v AiBi AB DC ,四边形AiBiCD为平行四边形. AiD / BiC.在CiC的延长线上取点P,使CiC = CP,连接BP(图略),v BiB CiC,二 BiB CP,四边形BBiCP为平行四边形，贝 U BP/ BiC,二 BP/ AiD , BP/ 平面 DAiCi.规律方法解决存在性问题的一般方法，解决存在性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件， 若找到了使结 论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件出现矛盾，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三 等分点，然后给出符合要求的证明如图所示，在三棱柱 ABC-AiBiCi中，D是棱CCi的中点，问在棱 AB上是 否存在一点E，使DE /平面ABiCi?若存在，请确定点E的位置；若不存在， 请说明理由.解法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE/平面ABiCi,如图，取 BB1 的中点 F，连接 DF ，EF，ED，则 DF / B1C1,又DF?平面ABiCi,B1C1? 平面 AB1C1,DF / 平面 ABiCi,又 DE/平面 ABiCi, DE A DF = D ,平面 DEF / 平面 ABiCi, EF?平面 DEF ,二 EF /平面 ABiCi,又 EF?平面 ABBi，平面 ABBiA 平面 ABiCi = ABi, EF/ ABi,点F是BBi的中点，点E是AB的中点.即当点E是AB的中点时，DE /平面ABiCi.法二：存在点E,且E为AB的中点时，DE /平面ABiCi.证明如下：如图，取BBi的中点F，连接DF, 贝U DF / BiCi.v DF?平面 ABiCi, B1C1?平面 ABiCi, DF / 平面 ABiCi.v AB的中点为E,连接EF, ED,贝 EF/ ABi.v EF?平面 ABiCi, ABi?平面 ABiCi, EF/ 平面 ABiCi.v DF n EF = F,平面 DEF / 平面 ABiCi.而 DE?平面 DEF,二 DE / 平面 ABiCi.1. (2017全国卷I )如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M, N，Q为所在棱的中点，贝U在这四个正方体中，直线 AB与平面MNQ不平行的是()A A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，贝U QD / AB.QDG平面MNQ = Q，二QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交.B项，作如图所示的辅助线，则AB / CD，CD / MQ， AB / MQ.又 AB?平面 MNQ, MQ?平面 MNQ, / AB / 平面 MNQ.C项，作如图所示的辅助线，则 AB/ CD, CD / MQ ,二AB/ MQ.又 AB?平面 MNQ, MQ?平面 MNQ, / AB/ 平面 MNQ.D项，作如图所示的辅助线，则 AB/ CD, CD / NQ,二AB/ NQ.又 AB?平面 MNQ，NQ?平面 MNQ，/ AB/平面 MNQ.故选A.2. （2017全国卷U）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂1直于底面 ABCD，AB= BC=，AD，/ BAD=Z ABC= 90证明：直线BC/平面PAD;(2)若厶PCD的面积为2 7，求四棱锥P-ABCD的体积.解证明：在平面ABCD内，因为/ BAD =/ ABC = 90所以BC/ AD.又BC?平面FAD, AD?平面FAD,故BC /平面PAD.1(2)如图，取 AD的中点 M，连接PM , CM.由AB= BC = qAD及BC / AD,/ ABC= 90得四边形ABCM为正方形，则 CM丄AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面PAD G平面ABCD=AD,所以PM丄AD，PM丄底面ABCD.因为CM?底面ABCD，所以PM丄CM.设 BC= x,则 CM = x, CD = 2x, PM= . 3x, PC= PD= 2x.如图，取CD的中点N,连接PN,贝U PN丄CD,VT4所以 PN = -yx.因为 PCD的面积为2 7,所以2xXx= 2 7,解得x= 2(舍去)或x= 2.于是 AB= BC= 2, AD= 4, PM = 2 3.所以四棱锥P-ABCD的体积7= |x 2 2；4 X 2 3=4 3.