中考数学考点讲解直角三角形

第16讲直角三角形知识点1直角三角形的性质与判定1在一个直角三角形中，有一个锐角等于40，则另一个锐角的度数是(B)A40 B50 C60 D702如图，ACB90，CDAB，垂足为D，下列结论错误的是(B)A图中有三个直角三角形B12C1和B都是A的余角D2A知识点2含30角的直角三角形的性质3如图，ABC中，C90，A30，AB12，则BC(A)A6 B6C6 D12 第3题图 第4题图4如图，在ABC中，ACB90，CD是高，A30，AB4，则下列结论中不正确的是(D)ABC2 BBD1CAD3 DCD2知识点3直角三角形斜边上的中线的性质5如图，在RtABC中，E是斜边AB的中点，若AB10，则CE5 第5题图 第6题图6如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的中线，若A20，则BDC40知识点4勾股定理7直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为68把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的数是 第8题图 第9题图9如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为18_m知识点5勾股定理的逆定理10下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)A4，5，6 B1.5，2，2.5C2，3，4 D1，311如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则ABC的形状为直角三角形重难点1勾股定理及其逆定理已知，如图，在ABC中，D是BC的中点，DEBC，垂足为D，交AB于点E，且BE2EA2AC2.(1)求证：A90；(2)若DE3，BD4，求AE的长【思路点拨】(1)连接CE，根据题意可知DE是BC的垂直平分线，则BECE，由BE2EA2AC2，可得CE2EA2AC2，依据勾股定理的逆定理即可得证；(2)先分别用AE表示AB，AC，然后在RtABC中依据勾股定理构造方程模型求解【自主解答】(1)证明：连接CE，D是BC的中点，DEBC，CEBE.BE2EA2AC2，CE2EA2AC2，即EA2AC2CE2.ACE是直角三角形，即A90.(2)DE3，BD4，BE5CE.AC2EC2AE225AE2.BC2BD8，在RtABC中，由勾股定理可得：BC2BA264(5AE)2AC2.64(5AE)225AE2，解得AE.【变式训练1】如图所示的一块地ABCD，已知AD4 m，CD3 m，ADC90，AB13 m，BC12 m，则这块地的面积是24_m21勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只有在同一直角三角形中，才能利用它求第三边长2勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形的重要方法，应先确定最长边，然后验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方重难点2直角三角形性质的应用(2017青岛改编)如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.(1)判断DEB的形状，并说明理由；(2)当BAD的度数为多少时，BED是等腰直角三角形；(3)若AC10，BD8，求BDE的周长【思路点拨】(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DEBEAEAC；(2)利用等边对等角以及三角形外角的性质得出DEBDAB，即可得出答案；(3)根据直角三角形斜边上的中线的性质求出ED，BE的值，再代入BDDEBE求出即可【自主解答】(1)DEB是等腰三角形理由：在ABC中，ABC90，点E是AC的中点，BEAC.同理，DEAC.BEDE.BED是等腰三角形(2)AEED，DAEEDA.AEBE，EABEBA.DAEEDADEC，EABEBABEC，DABDEB.BED是等腰直角三角形，DEB90.BAD45.(3)AC10，DEAC5，BEAC5.BDE的周长为BDDEBE85518.【变式训练2】(2016南充)如图，在RtABC中，A30，BC1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为(A)A1B2C.D1,直角三角形中“斜边上的中线等于斜边的一半”，“30角所对的直角边等于斜边的一半”都能揭示直角三角形中的边、线与斜边的关系，运用这两个性质时，要注意它们之间的区别1下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(D)A2，3，3 B2，3，4C2，3，5 D3，4，52(2017南充)如图，等边OAB的边长为2，则点B的坐标为(D)A(1，1) B(，1)C(，) D(1，) 第2题图 第3题图3(2015北京)如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为(D)A0.5 km B0.6 kmC0.9 km D1.2 km4(2017绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(C)A0.7米 B1.5米C2.2米 D2.4米 第4题图 第5题图5(2017枣庄)如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，则FM的长为(B)A2 B. C. D16(2017淮安)如图，在矩形纸片ABCD中，AB3，点E在边BC上，将ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若EACECA，则AC的长是(B)A3 B6 C4 D5 第6题图 第7题图7(2017益阳)如图，ABC中，AC5，BC12，AB13，CD是AB边上的中线则CD6.58(2016西宁)如图，OP平分AOB，AOP15，PCOA，PDOA于点D，PC4，则PD2 第8题图 第9题图9(2017淮安)如图，在RtABC中，ACB90，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点，若AB8，则EF210(2017丽水)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJAB，则正方形EFGH的边长为1011如图，在ABC中，ABAC，AD是BC边上的中线，BEAC于点E.求证：CBEBAD.证明：ABAC，ABCC.又AD是BC边上的中线，ADBC.BADABC90.BEAC，CBEC90.CBEBAD.12(2017荆州)九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为(D)Ax26(10x)2 Bx262(10x)2Cx26(10x)2 Dx262(10x)213(2016连云港)如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S4，S5，S6.其中S116，S245，S511，S614，则S3S4(C)A86 B64 C54 D4814(2016雅安)如图所示，底边BC为2，顶角A为120的等腰ABC中，DE垂直平分AB于点D，则ACE的周长为(A)A22 B2C4 D3 第14题图 第15题图15(2017扬州)如图，把等边ABC沿着DE折叠，使点A恰好落在BC边上的点处，且DBC，若B4 cm，则EC(22)cm.16(2017常德)如图，已知RtABE中，A90，B60，BE10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得CDE30，则CD长度的取值范围是0CD5