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绝密启用前高考湘军2015年长沙市高考模拟试卷理 科 数 学长沙市教科院组织名优教师联合命制满分：150分 时量：120分钟说明：本卷为试题卷，要求将所有试题答案或解答做在答题卡指定位置上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1设复数满足，则 =ABCD2设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件3某商场在今年元霄节的促销活动中，对3月5日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为5万元，则11时至12时的销售额为A10万元 B15万元 C20万元 D25万元4执行如右图所示的程序框图,若输出的值为22，那么输入的值等于A6B7 C8 D95如图，矩形的四个顶点正弦曲线和余弦曲线在矩形内交于点F，向矩形区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是A B C D 6. 设函数f（x）=sin（2）+cos（2），且其图象关于直线x=0对称，则Ay =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数By =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数Cy =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数Dy =f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数7. 已知为椭圆的两个焦点，P在椭圆上且满足，则此椭圆离心率的取值范围是ABCD8. 已知函数，设方程的四个实根从小到大依次为，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为A B C D二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）。9. 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC依次交圆于B，C两点.若PA6，AC8，BC9，则AB_10. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为，以极点为原点，极轴方向为正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为(为参数)设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角的最大值是_11. 不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的取值范围为 （二）必做题（1216题）12. 三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .13. 二项式的展开式中常数项为 （用数字作答）。14. 已知x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）A.或1 B2或 C2或1 D2或115. 已知数列中， b=1时，=12; 存在，数列成等比数列；当时，数列是递增数列；当时数列是递增数列以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题对应的序号）。16. 若函数 y =f（x）在定义域内给定区间上存在xo（axoa1）上的“平均值函数”，xo是它的一个均值点，则xo与 的大小关系是 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格.现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立.课 程初等代数平面几何初等数论微积分初步合格的概率（）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，, 点是的中点，且交于点（）求证:平面；第18题图（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值19（本小题满分12分）节能减排是现代生活的追求。长沙地区某一天的温度（单位：）随时间（单位：小时）的变化近似满足函数关系：，且早上8时的温度为，（）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？（）某通宵营业的超市，为节约能源和开支，在环境温度超过时，才开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？20（本小题满分13分）已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和（）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；（）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合 （）求的值； （）求数列的通项公式21（本小题满分13分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率虚轴长为2.（）求双曲线的标准方程；（）若直线与双曲线相交于，两点（均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标22（本小题满分13分）已知为常数，在处的切线方程为（）求的单调区间；（）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围；（）求证：对任意正整数，有2015年长沙市高考模拟试卷数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C 【解析】因为，所以选C.【思路点拨】可结合复数的运算法则先求出复数z，进而得其共轭复数，解答即可.2.【答案】B 【知识点】向量的数量积；充分条件；必要条件. 【解析】因为时，夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.【思路点拨】因为时，夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时， 成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.3.【答案】C【知识点】用样本估计总体【解析】由频率分布直方图得0.40.1=4 11时至12时的销售额为54=20【思路点拨】由频率分布直方图得0.40.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍4.【答案】C 【知识点】程序框图的准确阅读与理解. 【解析】图中循环结构循环的结果依次是：（1）s=1+0=1,i=2; (2)s=1+1=2,i=3;(3)s=2+2=4,i=4;(4)s=4+3=7,i=5;(5)s=7+4=11,i=6;(6)s=11+5=16,i=7.（7）s=16+6=22,i=8,所以若输出的值为22，那么输入的值等于8.故选C. 【思路点拨】根据程序框图描述的意义，依次写出循环结果，得输入的n值. 5.【答案】B【知识点】定积分 几何概型 【解析】根据题意，可得曲线与围成的区域，其面积为又矩形的面积为，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是：.所以选B.【思路点拨】利用定积分计算公式，算出曲线与围成的区域包含在区域D内的图形面积为，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率6.【答案】C【知识点】三角函数的图像与性质 【解析】由题意已知函数为，因为其图象关于直线x=0对称，所以，又因为，所以，即函数为，所以的最小正周期为，且在 上为减函数，故选择C.【思路点拨】根据其图象关于直线x=0对称以及的范围，可得，即可求得.7.【答案】C【解析】由椭圆的定义得：，平方得：又，由余弦定理得：，由得：，则此椭圆离心率的取值范围是，故选C考点：椭圆的标准方程，余弦定理的应用.8.【答案】D 【知识点】函数与方程【解析】不妨令b=0,函数f(x)图象与函数的图象如图，则方程的根即为两个函数图象交点的横坐标，由图象可知，可能大于2，所以A错误,又，所以，所以B错误；，所以，则C错误，综上可知选D.【思路点拨】可先结合图象判断4个根的位置及由那段函数产生，再结合指数函数与对数函数的运算及性质进行判断即可.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分. （一）选做题：在9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分.9.【答案】4【知识点】圆的切线的判定定理的证明 【解析】：由题意 故答案为：4 【思路点拨】由题意可得，从而，代入数据可得结论10【答案】 【解析】圆心,设切点为,要使 最大，则取最大值，而,所以当取最小值时，取最大值11【答案】【知识点】含绝对值不等式 基本不等式【解析】：，其最小值为2，又的最大值为1，故不等式| 恒成立，有，解得，故答案为【思路点拨】由对勾函数的性质，我们可以求出不等式左边的最小值，再由三角函数的性质，我们可以求出的最大值，若不等式恒成立，则，解这个绝对值不等式，即可得到答案（二）必做题（1216题）12【答案】3【知识点】三视图的应用. 【解析】由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于.【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积. 13【答案】10 【知识点】二项式定理 【解析】因为，由，得r=3,所以展开式中常数项为.【思路点拨】一般遇到二项展开式的某项或某项系数问题，通常利用展开式的通项公式解答.14【答案】D【知识点】线性规划 【解析】：由题意作出其平面区域，将化为相当于直线的纵截距，由题意可得与或与平行，故.所以选D.【思路点拨】由题意作出其平面区域，将化为相当于直线的纵截距，由几何意义可得15【答案】 【知识点】数列问题. 【解析】：当b=1时, 为：3,0，3,0，3,0,3,0，所以=12成立；若数列成等比数列，则，即，所以存在，数列成等比数列；当时，由得，所以所以当时，数列是递增数列成立；由可知当时，数列是递增数列不成立.【思路点拨】逐一分析各命题得每个命题的真假. 16【答案】(1) (0，2) (2)【知识点】单元综合【解析】(1)函数f（x）=x2mx1是区间上的平均值函数，关于x的方程x2mx1=在（1，1）内有实数根由x2mx1=x2mx+m1=0，解得x=m1，x=1又1（1，1）x=m1必为均值点，即1m110m2所求实数m的取值范围是0m2（2）解：由题知lnx 0=猜想：lnx 0，证明如下：，令t=1，原式等价于t+lnt2t2lnt令h（t）=2lntt+，则h（t）=，h（t）=2lntt+h（1）=0，得证lnx0【思路点拨】（1）函数f（x）=x2mx1是区间上的平均值函数，故有x2mx1=在（1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（1，1）内，即可求出实数m的取值范围（2）猜想判断，换元转化为h（t）=2lntt+，(利用导数证明，求解出最值得出）2lntt+ h（1）=0，三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 【解析】：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立， “甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为： （2）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ，的分布列为： ,【思路点拨】（I）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为，由事件A，B，C，D相互独立能求出结果（II）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3，由此能求出的分布列和数学期望18（本小题满分12分）【解析】：方法一：（）证明：连结交于，连结 第18题图是正方形， 是的中点 是的中点，是的中位线 2分 又平面，平面， 平面 4分 （）证明：由条件有 平面，且平面 又 是的中点， 平面 平面 6分 由已知 平面又平面 平面平面 8分 （）取中点，则作于，连结 底面，底面为在平面内的射影, 为二面角的平面角 10分设，在中， 二面角的余弦的大小为 12分 方法二：（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由,可设，则， ， ,即有6分又且平面 又平面 平面平面 8分 （） 底面，是平面的一个法向量，设平面的法向量为, , 则即, 令,则 10分, 由作图可知二面角为锐二面角二面角的余弦值为 12分【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.19 【解析】（1）这一天在时也就是下午时出现最高温度，最高温度是.（2）央空调应在上午时开启，下午时（即下午时）关闭解析：（1）依题意 2分因为早上时的温度为，即，3分 ，故取，所求函数解析式为. 5分由，可知，即这一天在时也就是下午时出现最高温度，最高温度是.7分（2）依题意：令，可得 9分，且，即或，11分故中央空调应在上午时开启，下午时（即下午时）关闭12分【思路点拨】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，利用已知条件求出参数值，即可得到解析式（2）利用函数的解析式直接求出时间t，即可得到所求结果20【解析】：（）设无穷等差数列的公差为，则 所以又 .2则= .3所以则或 .5（）（i）记，显然 .6对于，有 故，所以 .7（ii）由题意可知，集合按上述规则，共产生个正整数而集合按上述规则产生的个正整数中，除这个正整数外，还有，共个数所以， .10又所以 .11当时，而也满足.12所以，数列的通项公式是 .13【思路点拨】（）写出等差数列an的前n项和，结合对任意正整数n都有Sn3(Sn)3成立列式求取首项和公差，从而得到两个无穷等差数列的通项公式；（）（1）由题意利用用集合相等求得a1，a2的值；（2）有题意可知，集合按上述规则共产生Sn个正整数，而集合按上述规则共产生Sn+1个正整数中，除1，2，Sn这Sn个正整数外，还有an+1，an+1+i，|an+1-i|（i=1，2，Sn）共2Sn+1个数结合求得Sn，然后由Sn-Sn-1求通项21 【解析】：（）由题设双曲线的标准方程为，由已知得：，又，解得，双曲线的标准方程为. 。5分（）设，联立 ，得，故 ，。7分 ，以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，即， ，解得：，. 。10分当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾； 。11分当时，的方程为，直线过定点，经检验符合已知条件。12分所以，直线过定点，定点坐标为 。13分【思路点拨】（）由已知得：，易得双曲线标准方程；（）设，联立 ，得，以AB为直径的圆过双曲线的左顶点，即，代入即可求解.22 【解析】：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+），f（x）=+，f（1）=把x=1代入x+y2=0得y=1，f（1）=1，m=2，n=，.2f（x）=lnx，f（x）=，x0，f（x）0，f（x）的单调递减区间为（0，+），没有递增区间.4（2）由（1）可得，f（x）在上单调递减，f（x）在上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2a对任意的t上恒成立，5令g（t）=，则g（t）=2t1=，令g（t）=0可得t=1，而2t2+t+10恒成立，当t1时，g（t）0，g（t）单调递减，当1t2时，g（t）0，g（t）单调递增7g（t）的最小值为g（1）=1，而g（）=+2=，g（2）=42+=，显然g（）g（2），g（t）在上的最大值为g（2）=，只需2a，即a，实数a的取值范围是上单调递减，对于任意的正整数n，都有f（）f（1）=1，即ln1，.10整理可得+lnn2，则有：+ln12，+ln22，+ln32，+lnn2.12把以上各式两边相加可得：4（+）+（ln1+ln2+lnn）2n.13【思路点拨】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在上的最小值为f（1）=1，只需t3t22at+21，即2a对任意的t上恒成立，令g（t）=，利用导数求出g（t）的最大值，列出不等式，即可求得结论；（3）由（1）可知f（x）在区间（0，1上单调递减，故有f（）f（1）=1，即 ln1，整理可得+lnn2，利用累加法即可得出结论 28
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