空间直角坐标系课件北师大版

:如何确定空中飞行的飞机的置？如何确定空中飞行的飞机的置？ 怎样确切的表示室内灯泡的位置？怎样确切的表示室内灯泡的位置？对问题对问题1,2的分析的分析 对于直线上的点，我们可以通过建立数轴来对于直线上的点，我们可以通过建立数轴来确定点的位置；确定点的位置； 对于平面上的点，我们可以通过建立平面直对于平面上的点，我们可以通过建立平面直角坐标系来确定点的位置；角坐标系来确定点的位置； 对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题们需要研究的课题. 数轴数轴Ox上的点上的点M，可用与它对应的实数，可用与它对应的实数x表示；表示； 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数，可用一对有序实数(x，y)表示表示xOxMxOyA (x,y)xy知识探究（一）：空间直角坐标系知识探究（一）：空间直角坐标系 归纳归纳: :数轴上的点数轴上的点M M的坐标用一个实的坐标用一个实数数x x表示，它是表示，它是一维坐标一维坐标；平面上的；平面上的点点M M的坐标用的坐标用一对有序实数一对有序实数（x x，y y）表示，它是表示，它是二维坐标二维坐标. .设想：对于空设想：对于空间中的点间中的点M M的坐标，需要几个实数表的坐标，需要几个实数表示？示？O Ox xx xO Ox x(x,y)(x,y)y y联想并思考联想并思考1:1:平面直角坐标系是由平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，请大家两条互相垂直的数轴组成，请大家想一想：怎样建立一个空间直角坐想一想：怎样建立一个空间直角坐标系？空间直角坐标系由几条数轴标系？空间直角坐标系由几条数轴组成呢？其相对位置关系如何？组成呢？其相对位置关系如何？ 三条交于一点且两三条交于一点且两两互相垂直的数轴两互相垂直的数轴 空间直角坐标系的建立：空间直角坐标系的建立：在空间中，过任意的一在空间中，过任意的一点点O O作三条两两互相垂直的具有相同长度单位的数作三条两两互相垂直的具有相同长度单位的数轴：轴：x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，组成空间直角坐标系轴，组成空间直角坐标系O-xyzO-xyz，( (如下图所示）如下图所示）其中点其中点O O叫做叫做坐标原点坐标原点，x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做，通过每两个坐标轴的平面叫做坐坐标平面标平面，并分别称为，并分别称为xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平面平面. .xyzOx xz zy yO O思考思考2:2:在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中，中，三个坐标平面的位置关系如何？三个坐标平面的位置关系如何？它们它们将空间分成几个部分？将空间分成几个部分？ 在空间直角坐标系在空间直角坐标系中，三个坐标平面的位中，三个坐标平面的位置关系是两两互相垂直，置关系是两两互相垂直，它们把空间分成它们把空间分成8部分，部分，我们把每一部分分别叫我们把每一部分分别叫做做 第第1卦限，第卦限，第2卦限，卦限，第第3卦限，第卦限，第4卦限，卦限，第第5卦限，第卦限，第6卦限，卦限，第第7卦限，第卦限，第8卦限卦限x xz zy y12345687O思考思考3:3:如图，在长方体如图，在长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，以点中，以点D D为坐标原点建立空间直角为坐标原点建立空间直角坐标系，那么坐标系，那么x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴应如何轴应如何选取？选取？ABCDA1B1C1D1x xy yz z知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标 思考思考1:1:在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点M M的的横坐标、纵坐标的含义如何？横坐标、纵坐标的含义如何？ O Ox x(x,y)(x,y)y y|x|x|y|y|思考思考:在空间直角坐标系中，怎样描述一点在空间直角坐标系中，怎样描述一点M位位置呢？置呢？ 在空间直角坐标系中，设点在空间直角坐标系中，设点M M为空间的一为空间的一个定点，过点个定点，过点M M分别作垂直于分别作垂直于x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴的轴的平面，垂足为平面，垂足为A A、B B、C. C. 设点设点A A、B B、C C在在x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴上的坐标分别为轴上的坐标分别为x x、y y、z z，那么点，那么点M M的的位置与有序实数组（位置与有序实数组（x x，y y，z z）是一个什么对）是一个什么对应关系？应关系？ AOxMyzxxCOMyzzBOxMyzy 设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点M分别作垂直于分别作垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴于轴于点点P、Q和和RyxzMO 设点设点P、Q和和R在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点，那么点M就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）MRQP我们把有序实数组（我们把有序实数组（x x，y y，z z）称为点）称为点M M的的空间坐空间坐标标，记为，记为M M （x x，y y，z z）其中）其中x x、y y、z z分别叫做点分别叫做点M M的的横坐标、横坐标、纵坐标、纵坐标、竖坐标。竖坐标。ABCOxMyzx xy yz z点点M（X，Y，Z） 反过来，对于一个有序实数组（反过来，对于一个有序实数组（x x，y y，z z），它也唯），它也唯一的对应着空间直角坐标系中的点。在一的对应着空间直角坐标系中的点。在x x 轴、轴、y y 轴和轴和z z 轴轴上依次取坐标为上依次取坐标为x x，y y和和z z的点的点P P、Q Q, R, RyxzMOMRQP 分别过分别过P、Q 、 R各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，轴， 这三个平面的唯一交点就是有序实数组（这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x x，y y，z z）确）确定的点定的点M M例如在空间直角坐标系中怎样求点例如在空间直角坐标系中怎样求点M(1，2，3)的位置呢？的位置呢？方法一：分析：因为点P在第一卦限，故在x轴上取点P(1,0,0),在y轴上取点 Q(0,2,0)，在z轴上取点R(0,0,3)然后过A,B,C分别作x轴，y轴,z轴的垂面，则这三个垂面的交点就是点P如图所示：方法二：先画一个长方体使共顶点的三条棱长分别为1,2,3MORQxyMPz思考思考2:2:设点设点M M的坐标为（的坐标为（a a，b b，c c）过）过点点M M分别作分别作xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？如何？ABCOxMyzA(a,b,0)A(a,b,0)B(0,b,c)B(0,b,c)C(a,0,c)C(a,0,c)思考思考2:2:x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴上的点的坐标轴上的点的坐标有何特点？有何特点？xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平面上的点的坐标有何特点？平面上的点的坐标有何特点？x x轴上的点轴上的点:(x,0,0):(x,0,0)xOyxOy平面上的点平面上的点:(x,y,0):(x,y,0)xyzOxoy平面上的点竖坐标为平面上的点竖坐标为0例如：例如：D D点坐标记为点坐标记为D(a,b,0)D(a,b,0)yoz平面上的点横坐标为平面上的点横坐标为0例如：例如：E E点坐标记为点坐标记为E(0,b,c)E(0,b,c)xoz平面上的点纵坐标为平面上的点纵坐标为0例如：例如：F F点坐标记为点坐标记为F(a,0,c)F(a,0,c)x轴上的点纵坐标竖坐为轴上的点纵坐标竖坐为0. 例如：例如：A点坐标记为点坐标记为A(a,0,0)z轴上的点横坐标纵坐标为轴上的点横坐标纵坐标为0.例如：例如：C C点坐标记为点坐标记为C(0,0,c)C(0,0,c)y轴上的点横坐标竖坐标为轴上的点横坐标竖坐标为0.例如：例如：B B点坐标记为点坐标记为B(0,b,0)B(0,b,0)二、坐标平面内的点二、坐标平面内的点一、坐标轴上的点一、坐标轴上的点ABCOxMyzDEF思考思考3:在空间直角坐标系中，在每个卦限内点的在空间直角坐标系中，在每个卦限内点的横，纵，竖坐标的符号分别具有怎样的特横，纵，竖坐标的符号分别具有怎样的特点？点？x xz zy y12345687O（1）点）点M (x,y,z)在第在第1卦卦限时，限时，X0,y0,zo，（2）点）点M (x,y,z)在第在第2卦卦限时，限时，X0,zo，（3）点）点M (x,y,z)在第在第3卦卦限时，限时，X0,yo，（4）点）点M (x,y,z)在第在第4卦卦限时，限时，X0,yo，（5）点）点M (x,y,z)在第在第5卦卦限时，限时，X0,y0,zo，（6）点）点M (x,y,z)在第在第6卦卦限时，限时，X0,zo，x xz zy y12345687O（7）点）点M (x,y,z)在第在第7卦限时，卦限时，X0,y0,z0,y0,zo，思考思考3:3:设点设点M M的坐标为（的坐标为（x x，y y，z z）那）那么点么点M M关于关于x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴及原点对称轴及原点对称的点的坐标分别是什么？的点的坐标分别是什么？xyzOM(x,y,z)M(x,y,z)N(x,-y,-z)N(x,-y,-z)点M(x,y,z)是空间直角坐标系中的一点，则有 （1 1）与）与M M点关于点关于X X轴对称的点为轴对称的点为 (x,-y,-z)(x,-y,-z) （2 2）与）与M M点关于点关于Y Y轴对称的点为轴对称的点为 (-x,y,-z)(-x,y,-z) （3 3）与）与M M点关于点关于Z Z轴对称的点为轴对称的点为 (-x,-y,z) (-x,-y,z) （4 4）与）与M M点关于原点对称的点为点关于原点对称的点为 (-x,-y,-z)(-x,-y,-z) （5 5）与）与M M点关于点关于xoyxoy平面对称的点为平面对称的点为 (x,y,-z)(x,y,-z) （6 6）与）与M M点关于点关于yozyoz平面对称的点为平面对称的点为 (-x,y,z)(-x,y,z) （7 7）与）与M M点关于点关于xozxoz平面对称的点为平面对称的点为 (x,-y,z)(x,-y,z)思考思考4:4:设点设点A A（x x1 1，y y1 1，z z1 1），点），点 B B（x x2 2，y y2 2，z z2 2），则线段），则线段ABAB的中点的中点M M的坐标如何？的坐标如何？121212(,)222xxyyzzM+yxzABCABCDO例例1:1:OABCABCD是单位正方体以是单位正方体以O为原点为原点分别以射线分别以射线OA,OC, OD的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, OD的长为单位长，建立的长为单位长，建立空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz试说出正方体的各个顶点的坐标并指试说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)例例2 2 、在长方体、在长方体OABC-DOABC-DA A B B C C 中，已知中，已知|OA|=3,|OC|=4|OA|=3,|OC|=4， |OD|=2|OD|=2，建立如图，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出长方体所示的空间直角坐标系，试写出长方体各顶点的坐标各顶点的坐标. .ABCOxAyzBCDzxyOACDBABCPPzyABCOADCBQQxzxyO134DD 解解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标位置的坐标 例例5， 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的示意图（可看成是八个棱长为 1 的小正方体堆积成的正的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子21如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的后，试写出全部钠原子所在位置的坐标坐标xyzO 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1），（），（1，0，1），（），（1，1，1），（），（0，1，1），），（ ， ，1）2121 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（ ，0， ），（），（1， ， ），（），（ ，1， ），（），（0， ， ）；）；2121212121212121 下层的原子全部在平面上，它们所下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,2121（ ， ，0）.xyzO思考:若建立如图所示空间直角坐标系那么全部钠原子所在位置的坐标不变吗 xyzOO