椭圆的几何性质

椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质212. .,.小小、对对称称性性和和位位置置等等包包括括椭椭圆圆的的形形状状、大大程程研研究究它它的的几几何何性性质质方方下下面面再再利利用用椭椭圆圆的的标标准准椭椭圆圆的的标标准准方方程程立立了了建建出出发发几几何何特特征征上上面面从从椭椭圆圆的的定定义义 .来来研研究究椭椭圆圆的的几几何何性性质质我我们们用用椭椭圆圆的的标标准准方方程程1012222babyax.,.,几几何何性性质质其其特特性性等等来来研研究究它它们们的的及及点点、顶顶、对对称称性性分分范范围围章章对对几几种种圆圆锥锥曲曲线线都都是是本本所所以以形形状状、大大小小和和位位置置以以从从整整体体上上把把握握曲曲线线的的可可称称性性及及特特殊殊点点的的讨讨论论通通过过对对曲曲线线的的范范围围、对对 yOx ?,比比较较特特殊殊点点些些哪哪上上椭椭圆圆它它具具有有怎怎样样的的对对称称性性围围吗吗你你能能从从图图上上看看出出它它的的范范的的形形状状观观察察椭椭圆圆观观察察012222 babyax范围范围1yOx1A2A1B2B2F1Fcba712 .图图 .,.,.究它的范围究它的范围研研代数方法代数方法我们利用方程我们利用方程面面下下纵坐标的范围是纵坐标的范围是点的横坐标的范围是点的横坐标的范围是容易看出椭圆上容易看出椭圆上观察图观察图bybaxa 712 .,axaaxaxby 即即都适合不等式都适合不等式椭圆上点的横坐标椭圆上点的横坐标所以所以可知可知由方程由方程1011222222即即同理有同理有, 122 by.byb 所所和和这说明椭圆位于直线这说明椭圆位于直线byax .712 图图围成的矩形框里围成的矩形框里对称性对称性2.,中心对称图形中心对称图形又是又是称图形称图形可以发现椭圆既是轴对可以发现椭圆既是轴对观察椭圆的形状观察椭圆的形状 ;,轴轴对对称称所所以以椭椭圆圆关关于于也也在在椭椭圆圆上上点点轴轴的的对对称称它它关关于于在在椭椭圆圆上上时时这这说说明明当当点点变变方方程程并并不不改改代代中中以以在在椭椭圆圆xyxPxyxPyybabyax 1222201;,轴对称轴对称所以椭圆关于所以椭圆关于方程也不改变方程也不改变代代以以yxx ,同理同理.,中心对称中心对称所以椭圆关于原点所以椭圆关于原点方程也不变方程也不变代代以以代代以以yyxx 叫叫做做心心中中圆圆的的对对称称椭椭中中心心称称对对椭椭圆圆的的点点是是原原轴轴称称坐坐标标轴轴是是椭椭圆圆的的对对这这时时轴轴对对称称轴轴、椭椭圆圆关关于于综综上上,yx.椭椭圆圆的的中中心心顶点顶点3.,.,标标轴的交点坐轴的交点坐轴、轴、常需要求出曲线与常需要求出曲线与常常的位置的位置要确定曲线在坐标系中要确定曲线在坐标系中线的位置线的位置可以确定曲可以确定曲的位置的位置研究曲线上某些特殊点研究曲线上某些特殊点yx ?交点坐标吗交点坐标吗轴的轴的轴、轴、得出椭圆与得出椭圆与程程你能由椭圆的方你能由椭圆的方探究探究yxbabyax012222 yOx1A2A2B1B812 .图图yOx1A2A2B1B812 .图图 .,.,8120000002121 图图轴轴的的两两个个交交点点圆圆与与是是椭椭这这说说明明得得令令同同理理交交点点轴轴的的两两个个是是椭椭圆圆与与这这说说明明得得令令在在椭椭圆圆的的标标准准方方程程里里xaAaAaxyybBbBbyx这这四四个个交交点点叫叫做做椭椭圆圆的的称称轴轴有有四四个个交交点点所所以以椭椭圆圆与与它它的的对对轴轴是是椭椭圆圆的的对对称称轴轴轴轴、因因为为,yx顶顶点点,分分别别叫叫做做线线段段2121BBAA椭椭圆圆的的长长轴轴和和短短轴轴他他们们.,长长和和短短半半轴轴长长分分别别叫叫做做椭椭圆圆的的长长半半轴轴和和和和的的长长分分别别等等于于baba22离心率离心率4 ?,.画椭圆的扁平程度呢画椭圆的扁平程度呢用什么量可以刻用什么量可以刻那么那么椭圆的扁平程度不一椭圆的扁平程度不一我们发现我们发现图图观察不同的椭圆观察不同的椭圆思考思考912 912 .图图ca = 0.66c = 1.20a = 1.81ca = 0.83a = 1.81c = 1.50 xyO1022 .图图 .,.,.,.以刻画椭圆的扁平程度以刻画椭圆的扁平程度可可这两个量这两个量和和利用利用这样这样椭圆越扁平椭圆越扁平越接近越接近发现发现可以可以改变椭圆的半焦距改变椭圆的半焦距变变不不保持长半轴长保持长半轴长半焦距为半焦距为的长半轴的长为的长半轴的长为椭圆椭圆如图如图acaccacababyax0110122222 .,的的关关系系与与观观察察椭椭圆圆的的扁扁平平程程度度操操作作打打开开的的几几何何画画板板ac.,aceeac 即即表示表示用用称为椭圆的离心率称为椭圆的离心率轴长的比轴长的比我们把椭圆的焦距与长我们把椭圆的焦距与长.,;,.,近于圆近于圆这时椭圆就越接这时椭圆就越接越接近于越接近于从而从而于于越接近越接近越接近于越接近于反之反之此椭圆越扁此椭圆越扁因因越小越小从面从面越接近于越接近于则则越接近于越接近于所以所以因为因为abcecabaceeca00110022 .,2220ayxcba 它的方程为它的方程为图形变为圆图形变为圆合合这时两个焦点重这时两个焦点重时时当且仅当当且仅当.,质带来方便质带来方便统一性等性统一性等性圆锥曲线的圆锥曲线的给今后研究给今后研究这样规定会这样规定会心的程度心的程度焦点离开中焦点离开中两个两个前提下前提下轴长不变的轴长不变的在椭圆的长在椭圆的长象地理解为象地理解为心率可以形心率可以形椭圆的离椭圆的离 ?,?,.?.椭圆越圆吗椭圆越圆吗越小越小椭圆越扁椭圆越扁越大越大为什么为什么识解释识解释你能运用三角函数的知你能运用三角函数的知为什么为什么的扁平程度吗的扁平程度吗的大小能刻画椭圆的大小能刻画椭圆或或探究探究aceacebcab 21.和顶点的坐标和顶点的坐标轴的长、离心率、焦点轴的长、离心率、焦点的长轴和短的长轴和短求椭圆求椭圆例例4002516422 yx, 1452222 yx程把已知方程化成标准方解.,3454522 cba于是 .,4040050503035382102212121BBAAFFaceba和是四个顶点坐标分别和别是两个焦点坐标分离心率和分别是椭圆的长轴和短轴的长因此 ., ,.| ,.| ,.,.,.)(,.所所在在的的椭椭圆圆方方程程求求截截口口已已知知集集中中到到另另一一个个焦焦点点经经过过旋旋转转椭椭圆圆面面反反射射后后发发出出的的光光线线一一个个焦焦点点由由椭椭圆圆上上片片门门位位于于另另一一个个焦焦点点上上一一个个焦焦点点灯灯丝丝位位于于椭椭圆圆是是椭椭圆圆的的一一部部分分称称轴轴的的截截口口过过对对的的一一部部分分的的曲曲面面其其对对称称轴轴旋旋转转一一周周形形成成椭椭圆圆绕绕是是旋旋转转椭椭圆圆面面电电影影放放映映灯灯泡泡的的反反射射镜镜一一种种如如图图例例BACcmFFcmBFFFBCFFFFBAC548211125211212121 xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112 .图图.,示示椭椭圆圆镜镜面面工工作作原原理理演演操操作作打打开开的的几几何何画画板板.,.111122222 byax圆方程为设所求椭的直角坐标系所示建立图解.|,22221212215482 FFBFBFFBFRt中在所以由椭圆的性质知,| ,aBFBF221 ;.) | (1454828221212221 BFBFa.43252142222 cabxy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射镜面反射镜面1112 .图图.,143142222 yx所求的椭圆方程为所以 .,:,的的轨轨迹迹求求点点是是常常数数的的距距离离的的比比线线的的距距离离和和它它到到直直与与定定点点点点例例MxlFyxM54425046 的轨迹就是集合点根据题意的距离到直线是点设解MxlMd,:425 xyOFMHdl1212 .图图.,的轨迹形成过程的轨迹形成过程点点观赏观赏操作打开的几何画板操作打开的几何画板M .54425422 xyx由此得.,19252252592222 yxyx即得并化简将上式两边平方 .,1212610 图的椭圆、分别为的轨迹是长轴、短轴长点所以MxyOFMHdl1212 .图图.| 54dMFMP