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第1部分 算术 1. 数的概念与性质（1） 自然数：0，1，2，（2） 整数：，-2，-1，0，1，2，（3） 分数：将单位“1”分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“%”来表示。（4） 数的整除：当整数除以非零整数，商正好是整数而无非零余数是，则称能被整除，或称能被整除。（5） 倍数或约数：当能被整除时，称是的倍数，或者是的约数。（6） 质数（素数）：一个正整数，如果只有1和它本身两个约数，叫做质数（素数）。（7） 合数：一个正整数，除了1和它本身，还有其他约数，叫做合数。（8） 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。（9） 最小公倍数：所有公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。（10） 公约数：几个数公有的约数叫做这几个数的公约数。（11） 最大公约数：所有公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。（12） 互质数：公约数只有1的两个正整数，叫做互质（素）数。2. 数的四则运算定律与运算性质（1） 运算定律加法交换律 加法结合律 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 （2） 运算性质交换性质 结合性质 3. 比和比例（1） 定义：两个数相除又称为两个数的比，即。表示两个比相等的式子叫做比例，记作。（2） 比的性质：比的前项与后项同乘（除）以同一个非的数，其比值不变。（3） 比例的性质： （外项积内项积） 或（互换外项或内项） （合比定理） （分比定理） （合分比定理）第2部分 初等代数1. 绝对值（2） 实数的绝对值记为，并规定（3） 绝对值的性质与运算法则 （） 当时，；。2. 复数的基本概念以及代数运算（4） 基本概念： 虚数单位：满足。 一般形式：，其中，是实数，是虚数单位。 实部与虚部：，分别称为复数的实部与虚部。 共轭复数：称为的共轭复数，记为。 模：称为复数的模 辐角：复数的辐角满足，（5） 基本形式 一般形式（代数形式）：, 三角形式：, 指数形式：（6） 复数的代数运算设， 加法运算： 减法运算： 乘法运算： 除法运算：3. 共轭复数的性质（1）（2） ，（3） （4） ；（5） （）4. 复数的三角形式及运算（1） 复数的三角形式：假设复数（）的模为，幅角为，则称为复数的三角形式，且有，。（2） 复数的三角形式的运算法则 如果，则有：，（）。 如果，则。 的次方根有个，为： （其中）5. 整式乘法的几个常用公式（1） 和的平方：（2） 差的平方：（3） 和的立方：（4） 差的立方：（5） 平方差：（6） 立方和：（7） 立方差：6. 根式（1） 基本概念：设正整数，已知数，若有，则称为的次方根，记为。正数的正方跟称为算术根，规定零的算术根为零。由方根的定义，有，。（2） 根式的运算性质： 乘积的方根 （对于，） 分式的方根 （对于，） 根式的乘方 （对于） 根式的化简 （对于）7. 集合（1） 概念：把某些确定的对象汇集成一个整体，称为集合。集合中的各个对象称为元素。不含有任何元素的集合称为空集，记为。含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。 如果是集合的元素，记作，否则，记作。常用集合：自然数集（），整数集（），有理数集（），实数集（），复数集（）。集合的表示方法：（2） 包含关系 子集：如果集合中任意一个元素都是集合的元素，记作或者，则称是的一个子集。 相等：如果且，则称集合和集合相等，记作。 真子集：如果，集合和集合不相等，则称是的真子集，记作。（3） 子集的个数 如果集合中有个元素，那么集合的子集个数为； 如果集合中有个元素，那么集合的非空子集个数为； 如果集合中有个元素，那么集合的真子集个数为； 如果集合中有个元素，那么集合的非空真子集个数为。（4） 运算 概念：假设，是两个集合。所有既属于又属于的元素构成的集合，则称为和的交集，记作。所有或者属于，或者属于的元素构成的集合，则称为和的并集，记作。假设是一个集合，。所有属于但不属于的元素构成的集合，则称为关于的补集，记作，在明确的条件下，也可记为。在有关补集的问题中，也常称为全集。 集合运算的性质假设，为任意三个集合，为全集，则：交换律：，；结合律：，；分配率：，；摩根定律：，；等幂律：，；吸收律：，；01律：，；互补律：，；重叠率：，。8. 函数（1） 概念假设是非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作：，其中叫做自变量，是函数值，。A称为函数的定义域，函数值的集合叫作函数的值域，值域包含于集合B。反函数：，若在原函数的图像上，则在它的反函数图像上。（2） 简单性质：有界性：； 奇偶性：若函数在其定义域内任意一个，都有，则称是奇函数；若函数在其定义域内任意一个，都有，则称是偶函数。 周期性：如果存在一个非零常数，使得函数当取定其定义域内任意一个值时，都有，则称为周期函数，称为函数的周期。一个关于周期函数的重要的变换：。9. 幂函数（1） 幂函数的一般形式是 ，其中，常数，定义域是使得有意义的全体实数构成的集合。（2） 当时，幂函数过点和点，在区间上是增函数。（3） 当时，幂函数过点，在区间上是减函数。10. 指数函数（1） 指数函数的一般形式是(且)，定义域为，函数的图像在的上方，过点。（2） 当时, (且)是上的增函数；当时，是上的减函数。（3） 图像： 指数函数图像11. 对数的定义如果（且），那么叫做以为底的对数，记作。12. 对数的运算法则：设，且，则（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 换底公式：，（且）；（6） （，）；（7） ，。13. 对数函数（1） 对数函数的一般形式是(且)，它是指数函数 (且)的反函数，其定义域为，值域为。（2） 当时, (且)是上的增函数；当时，是上的减函数。（3） 图像：14. 一元一次方程、二元一次方程一元一次方程的形式是：，其中，它的根为.二元一次方程组的形式是：，如果，则方程组有唯一解。15. 一元二次方程 一元二次方程的形式是（1） 判别式：（2） 求根公式：（3） 根与系数的关系（韦达定理）：，（4） 二次函数的图像其图像是以为对称轴，为顶点的抛物线。16. 不等式的基本性质 （1） 若则；反之，若，则。（2） 若，则。（3） 若，则。（4） 若，则；若，则。（5） 若，则。（6） 若，则。（7） 若，、都是正数，则。（8） 若，、是符号相同的两个数，则。（9） 若，、都是正数，则。（10） 若，、都是正数，是自然数，则。（11） 若，、都是正数，是自然数，则。17. 常用的基本不等式 （1） 。（2） 且时，。（3） 时，。（4） （以上4式在时等号成立）。（5） 柯西不等式 ，。（6） 。18. 解一元一次不等式（1） 当时，其解为。（2） 当时，其解为。19. 解含有绝对值的不等式（1） 。（2） 。20. 一元二次不等式的图像解法一元二次方程的根有两个相异实根（取）有两个相等实根没有实根一元二次不等式的解集（或）（）（实数集）（）无解无解二次函数的图像21. 数列的概念数列的形式：， 通项为，前n项和为 ，22. 等差数列（1） 定义：数列是等差数列，称为等差数列的公差。（2） 通项公式：。（3） 前n项和公式：或。（4） 简单性质： （中项公式）， （平均值）。23. 等比数列（1） 定义：数列（）是等比数列，称为等比数列的公比。（2） 通项公式：。（3） 前n项和公式：当时，；当时，或。（4） 简单性质：中项公式： 24. 数学归纳法步骤：（1） 先验证当取第一个值（如）时命题成立；（2） 假设当时，命题成立，证明当时命题也成立。25. 排列与组合（1） 加法原理：如果完成一件事可以有n类办法，在第i类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（2） 乘法原理：如果完成一件事需要分成n个步骤，做第i步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法。（3） 排列与排列数：从n个不同的元素中任取m个，按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取出m个元素的一个排列；所有这些排列的个数，称为排列数，记为。（4） 排列数公式：。 注：阶乘（全排列）（5） 组合与组合数：从n个不同的元素中任取m个并成一个组，称为从n个元素中取出m个元素的一个组合；所有这些组合的个数，称为组合数，记为。（6） 组合数公式：（7） 组合数的基本性质：，26. 二项式定理：27. 古典概率的基本概念（1） 样本空间：某个随机试验所有可能的结果的集合称为样本空间，记为。（2） 样本点：中的每个元素，及试验的每个结果，称为样本点。（3） 随机事件：的子集称为随机事件，简称事件。（4） 必然事件：是自身的一个子集，在每次试验中，它是必然发生的，称为必然事件。（5） 不可能事件：空集也是的一个子集，它在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件。和事件：事件称为事件与事件的和事件，当且仅当，至少有一个发生时，事件发生。有时也记为。（6） 积事件：事件称为事件与事件的积事件，当且仅当，同时发生时，事件发生。有时也记为。（7） 互不相容事件：如果，称事件与事件互不相容，或互斥，即指事件与事件不能同时发生。（8） 对立事件：如果，且，称事件与事件互为对立事件，即指对每次试验，事件与事件必有一个且仅有一个发生。 28. 概率的概念与性质（1） 定义：设是某随机试验的样本空间，对于随机试验的每一事件赋予一个实数，满足： 非负性：对于每一个事件，； 规范性：对于必然事件，； 可加性：设是两两互斥的事件，即：，有：，则称为事件的概率。（2） 概率的性质：，。29. 几种特殊事件发生的概率（1） 等可能事件（古典概型）： （2） 互不相容事件： （3） 对立事件： （4） 相互独立事件： （5） 独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为第3部分 几何与三角1. 三角形（1） 三角形内角之和：。（2） 三角形外角等于不相邻的两个内角之和。（3） 三角形面积公式，其中是边上的高，C是边所夹的角，为三角形的半周长。（4） 三角形三边关系：两边之和大于第三边，即。（5） 几种特殊三角形勾股定理：。等腰直角三角形的三边之比：。三个内角分别是的直角三角形，三个内角对应的三边之比为。2. 四边形（1） 矩形（正方形）：四内角均为。矩形两边长为，面积，周长，对角线长。注：时的矩形称为正方形。（2） 平行四边形（菱形）平行四边形两边长是，以为底边的高为，面积为，周长。注：时的矩形称为正方形。（3） 梯形 上底为，下底为，高为，中位线，面积为。3. 圆和扇形（1） 圆 圆的圆心为O,半径为r，直径为d，则周长为，面积是。（2） 扇形 扇形OAB中，圆心角为，则AB弧长，扇形面积。 4. 长方体 假设长方体的3条相邻的棱边长是。体积：全面积：对角线长： 5. 圆柱体 假设圆柱体的高为，底半径为R.体积：侧面积： 全面积： . 6. 正圆锥体假设正圆锥体的高为，底半径为R.体积：母线：侧面积： ，其侧面展开图为一扇形，该扇形的圆心角为全面积： . 7. 球假设球半径为R。体积： 。面积： 8. 三角函数（1） 定义 假设为角的终边上的任意一点，它与原点的距离.则角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义分别为： （2） 特殊角的三角函数值 01010-101不存在0不存在10不存在（3） 符号 角的各个三角函数值的符号取决于它终边上一点的坐标的符号，三角函数值在各象限的符号用图概括如下 _+_+_+_+ 9. 三角函数的图像和性质（1） 图像：（2） 性质三角函数名称定义域值域奇偶性单调性最小正周期正弦函数R奇函数在上增，在上减。余弦函数R偶函数在上增，在上减。正切函数R奇函数在上增余切函数R奇函数在上减10. 三角函数的周期公式 的最小周期为，的最小周期为。11. 常用的三角函数恒等式（1） 同角三角函数间的关系（2） 诱导公式，。（3） 和角与差角公式 （4） 倍角与半角公式（5） 积化和差公式（6） 和差化积公式12. 反三角函数，； ，；，； ，13. 正弦定理和余弦定理（1） 正弦定理（为外接圆的半径）（2） 余弦定理，。，。（3） 三角形的面积公式14. 平面向量 （1） 定义：既有大小又有方向的量叫做向量。在平面直角坐标系里，对于起点为坐标原点，终点为的向量，称为向量的坐标，记为。（2） 向量的加法 三角形法则：在中，。 平行四边形法则：在以、为邻边的平行四边形中，。（3） 向量的数乘 设，为平面向量，则 （4） 向量运算的坐标表示设， ， ， ， ， ， ， 定比分点公式；设，、的坐标分别为：、，则有，。15. 平面直线（1） 直线的斜率公式： （2） 直线方程的五种形式 点斜式：（直线过点，斜率为）。 斜截式：（直线斜率为，在轴上的截距为）。 两点式：（）( （）为直线上两点)。 截距式：（、分别为直线的横、纵截距，）。 一般式：（其中不同时为0）。（3） 两条直线的位置关系：； ：平行：垂直：（4） 点到直线的距离直线：，点到直线的距离为。16. 圆（1） 定义：到一定点距离相等的点的轨迹称为圆。（2） 圆的标准方程：，其中为圆心，为半径。（3） 圆的一般方程：（），其中圆心为，半径（4） 圆的参数方程： 圆心在半径为的圆的参数方程为：，其中是参数。17. 椭圆 （1） 定义：若是两定点，则满足（为常数）的点的轨迹称为椭圆。（2） 椭圆的标准方程：，其中。（3） 椭圆的参数方程：，其中，是参数。（4） 椭圆的离心率：，其中。（5） 椭圆的准线方程：（6） 椭圆的图像：（7） 椭圆的性质： 范围：椭圆上点的坐标满足，。 椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为。18. 双曲线（1） 定义：如果是两个定点，则满足（为常数）的点的轨迹称为双曲线。（2） 双曲线的标准方程：，其中，。（3） 双曲线的参数方程：，其中，是参数。（4） 双曲线的离心率：，其中。（5） 双曲线的渐近线：，。（6） 双曲线的准线方程：（7） 双曲线的图像：（8） 双曲线的性质： 范围：双曲线上点的坐标满足。 双曲线的实轴长为，虚轴长为，焦距为。 焦半径：，。19. 抛物线（1） 定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线，定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线。（2） 抛物线的方程： （3） 抛物线的离心率：（4） 抛物线的图像：（5） 抛物线的焦点坐标： （6） 抛物线的准线 第4部分 一元函数微积分1. 函数极限的定义（1） （趋于无穷大函数的极限）假设函数在区间上有定义，为常数。如果当时，函数的值无限趋于，则称当时，以为极限， 记作。 假设函数在区间上有定义，为常数。如果当时， 函数的值无限趋于，则称当时，以为极限，记作。 假设函数在区间上有定义，为常数。如果当无限增大时，函数的值无限趋于，则称当时，以为极限，记作。（2） （时函数的极限）设函数在的某邻域（可除外）有定义。 当无限趋于时，函数的值无限趋于常数，则称当趋于时，以为极限，记作。 当且趋向于时，函数的值无限趋于常数，则称当趋于时，的左极限为，记作。 当且趋向于时，函数的值无限趋于常数，则称当趋于时，的右极限为，记作。2. 极限的运算法则 设，则：（1）（2） ，特别的，。（3） （）3. 常用的重要极限，。4. 无穷小量与无穷大量（1） 定义：如果函数当（或）时的极限为零，则称函数为当当（或）时的无穷小量。如果函数当（或）时无限变大，则称函数为当当（或）时的无穷大量，记作。（2） 无穷小量与极限的关系 ，其中，即。（3） 无穷小量与无穷大量的关系在同一个极限过程中， 为无穷小量，为无穷大量； 为无穷大量，为无穷小量。（4） 无穷小量的运算性质： 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量（5） 常见的无穷小量 当时， ，。5. 函数的连续性设函数在的某邻域内有定义。（1） 在点连续：如果，则称在点连续。注：函数在点连续（2） 左连续与右连续如果，则称在点左连续；如果，则称在点右连续。注：函数在点连续的充要条件是在点左连续且右连续。（3） 在内连续如果在内的每一点都连续，则称在内连续。（4） 在在上连续如果在内的每一点都连续，且在点右连续，在点左连续，则称在上连续。6. 闭区间上连续函数的性质设在闭区间上连续，那么（1） 有界性：在上有界。（2） 介值定理：若是介于与（）之间的任何一个数，则至少存在一点，使得。（3） 最值定理：在闭区间上有最大值和最小值，并且能够娶到最大值和最小值之间的任何一个值。（4） 零点存在定理：若，则至少存在一点，使得。7. 导数（1） 切线的斜率：（2） 导数的定义：（用于判定抽象函数是否可导）（用于表达式给定的具体函数，求导数值）（3） 可导、连续、极限之间的关系： 在点处可导在处连续在处的极限存在。（4） 左右导数：左导数：右导数：结论：（5） 导数的几何意义：导数的几何意义为在点处的切线斜率。 切线方程： 法线方程：（6） 初等函数的求导公式函数名称导数函数名称导数（7） 导数的四则运算法则 (“数乘”)对任意常数，。 （“加减法”）对任意常数、，。 （“乘积”）。（“除法”），（）。（8） 复合函数的求导法则 已知 则（9） 微分的四则运算法则 (“数乘”)对任意常数，。 （“加减法”）对任意常数 , 。 （“乘积”）。（“除法”），（）。8. 中值定理与导数应用（1） 罗尔中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，则至少存在一点，使得。（2） 拉格郎日中值定理如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，使得。也可变为。推论1：如果函数在闭区间上导数恒为零，则在区间上是一个常数。推论2：如果函数和在闭区间上每一点的导数都相等，则这两个函数在区间上至多相差一个常数。（3） 柯西中值定理如果函数和在闭区间上连续，在开区间内可导，且在每一点处均不为零，则至少存在一点，使得。9. 洛必达法则设函数和满足：（1） （或）；（2） 和在的空心邻域内可导且；（3）则，其中可以是有限数，也可以是。10. 函数的增减性、凸凹性与极值（1） 函数增减性的判定法如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则： 在上单增的充要条件是。 在上单减的充要条件是。（2） 函数凸凹性的判定法如果函数在闭区间上连续，在开区间内具有一阶和二阶导数，则： 若在内，则在上的图形是凹的。 若在内，则在上的图形是凸的。（3） 函数极值的定义：设。若（为某一常数）均有，则称为的极大值点，为的极大值；若（为某一常数）均有，则称为的极小值点，为的极小值。（4） 极值的必要条件若函数在点可导，且取得极值，则。（5） 极值的判别法法一：假设函数在点处连续，在的某个空心邻域内可导， 若当时，；当时，则在点取得极大值。 若当时，；当时，则 在点取得极小值。法二：函数在的某邻域内具有二阶导数，且， 若，则在点取得极大值。 若，则在点取得极小值。（6） 函数拐点 定义：设函数在上连续，若为凸凹部分的分界点，则称点为曲线的拐点。 求法：设在内二阶可导，。如果 在点的左右邻域内异号，则为曲线的一个拐点；如果在点的左右邻域内同号，则不是曲线的拐点。11. 曲线的渐近线（1） 垂直渐近线：若，则为的一条垂直渐近线。（2） 水平渐近线：若，则为的一条水平渐近线。（3） 斜渐近线：若，则为曲线的一条斜渐近线。 12. 不定积分与导数（微分）的关系求函数的不定积分是求导数（微分）的逆运算，他们的关系如下：（1）（2）（3）（4）13. 常用的不定积分（1） (k是常数)， （2） ，（3） ， （4） =arctanx+C，（5） ， （6） ，（7） ， （8） 。14. 不定积分的运算法则（1） 数乘：对任意常数，。（2） 加减法：对任意常数、， 。15. 不定积分的计算方法（1） 第一换元积分法：若，则 ，称之为第一换元积分法。（2） 第二换元积分法：“反过来”， 又若，则，称之为第二换元积分法。（3） 分布积分公式：。注：对于定积分有类似于上面的公式。16. 定积分的几何意义+_定积分在几何上表示由曲线（）与直线，及轴所围平面曲边梯形的面积，如图。若在上变号，则表示曲线与直线，及轴所围平面图形面积的代数和，即轴上方的图形面积减去轴下方的图形面积就是定积分的值。如图。17. 定积分的性质（1） （即积分值与积分变量的记号无关）（2） ；（3） （为常数）（4）（5） 若，则。若，则。但若，在上连续，且不恒为零，则如果有，必有。若有，必有。（6） （）（7） 估值定理：若对，有，则（）（8） 积分中值定理：设在上连续，则在内至少存在一点，使得，通常称为在区间上的平均值。18. 变上限的定积分设在上连续，为区间上任一点，在在上的定积分是上限的函数，记为，。定理：设函数在上连续，则。19. 定积分的计算（1） 牛顿-莱布尼茨公式如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则（2） 变量替换法 设在上连续，函数满足下列条件： 函数在区间上有连续的导数。 ，且当在区间上变化时，关系式所确定的值不超过，则有：
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