线性方程组的解及其应用

编号：08005110107南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题 目： 线性方程组的解及其应用 完 成 人： 班 级： 2008- 01 学 制： 4 年 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 完成日期： 2011-04-12 目 录摘要（1）0引言（1）1线性方程组解的结构（1）2 线性方程组的解法及相关结论（4）2.1 线性方程组的解法（4） 2.1.1 线性方程组的个数和未知量的个数相等（4） 2.1.2 线性方程组的个数和未知量的个数不相等（6） 2.2 线性方程组解得的几个结论（10）3线性方程组解的应用（11）3.1 在矩阵理论中的应用（12）3.2 在多项式理论中的应用（12）3.3 在欧氏空间上的应用（12） 3.4 在解空间理论上的应用（13）参 考 文 献（14）Abstract（14） 线性方程组的解及其应用 摘要：介绍线性方程组解的结构及其几种解法，如初等行变换法，初等列变换法等，通过对线性方程的解法的探讨，揭示了线性方程组的求解规律，并在此基础上研究了它的应用. 关键词：线性方程组，解的结构，初等行变换法，应用0引言线性方程组是高等代数或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置，学好线性方程组基本理论与方法对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要，对于线性方程组的初等解法，既是线性方程组理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法解题.1 线性方程组解的结构 定理11 设是一个矩阵，,是满足的两矩阵，令.() 是的一基础解系；() 方程组 （ * ）有解的充分必要条件是；() 若方程组（ * ）有解，则（*）的解的集合. 证明 () 因为，于是 =,其中，为中前列组成的矩阵，于是有中前列 ,即 ,又线性无关，所以()成立.() 令.有上述定理知，方程组（*）有解当且仅当方程组 （1)有解，并且是（*）的解当且仅当是（1）的解，显然方程组（1）有解当且仅当后的行为，即.() 若（*）有解，即，则，取显然是（1）的解，故是方程组（*）的解.因此，方程组（*）的解集合为.上述命题给出了方程组（*）的可解性和解的结构与之间的关系。有趣的是从命题中还可看出，不但矩阵的后列是相应齐次方程组的一基础解系，而且的前列的一个线性组合.于是方程组（*）的解集合是矩阵的列空间的一个子集.特别当系数矩阵固定时，上述定理给出了一个任意列向量求解方程的通用公式. 求线性方程组的步骤：第一步 求出可逆矩阵,使 ； 第二步 检验的后行是否为零.第三步 若（*）有解令，则写出（*） 的通解2 线性方程组的解法及相关结论 恰当分类线性方程组，可以快速求出线性方程组的解，而在求解和探讨过程中，又能得到一些非常重要的相关结论。2.1 线性方程组的解法2.1.1 线性方程组的个数和未知量的个数相等 现在我们来应用行列式解决线性方程组的问题，在这里只考虑方程个数与未知量的个数相等的情形.以后会看到，这是一个重要的情形. 克拉默法则 如果线性方程组 （1）的系数矩阵 （2）的行列式，那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 其中是把矩阵A中第列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式. 例12 用克拉默法则求解线性方程组 解 方程的系数行列式 ，而 ，从而由克拉默法则知，同理可得 下面介绍齐次线性方程组的解的方法，齐次线性方程组是指常数项全为零的线性方程组. 定理22 如果齐次线性方程组的系数矩阵的行列式那么它只有零解，即如果上述方程组有非零解，那么必有. 例22 求在什么条件下，方程组有非零解. 解 如果方程组有非零解，那么系数行列式 所以.不难验证，当时，方程组确有非零解.2.1.2 线性方程组的个数和未知量的个数不相等 介绍了方程组的个数和未知量的个数相等的情形，下面来探讨一般的情形.（线性方程组有解判定定理） 线性方程组 （1）有解充分必要条件是它的系数矩阵 与增广矩阵 有相同的秩.则有以下结论：()若秩秩，则方程组（1）无解；()若秩秩，则方程组（1）有唯一解；()若秩秩,则方程组（1）有其中一组自由未知量.以下是针对上述三种情形的三个举例： 例33 解线性方程组 解 对增广矩阵作初等变换，可得因此秩秩，线性方程组无解. 例43 解线性方程组 解 对增广矩阵作初等变换，可得所以秩=秩=4，线性方程组的解为 例53 解线性方程组 解 对增广矩阵作初等变换，可得所以秩=秩=34，所以方程组的一般解为其中是自由未知量.2.2 线性方程组解的几个结论 利用矩阵理论讨论线性方程组的解及解的结构问题是代数中常用的方法。但利用线性方程组的解来推导矩阵的一些结论却不常见， 下面就试图利用线性方程组的解来推导出一些结论，同时还可得出线性方程组的一些更进一步的结论.（注：以下部分定理不做详细证明，可参考文献6 ) 定理34 （替换定理）若线性无关向量组可由向量组线性表示，则：（1） ；（2）用替换向量的s个向量（不妨假设就是前s个）后得到的新向量组与原来的向量组等价. 定理44 设为阶矩阵，=，线性无关，则分别属于=的个解也线性无关. 证明 设由构成的矩阵X=()的行向量组为；由构成的矩阵的行向量为.则由=得可由线性表示.于是秩秩，所以秩=，即得到X的列向量线性无关.证毕 定理55 设与是矩阵且秩分别为人，的列向量可由的列向量线性表示，则存在秩为（）的矩阵，有. 推论15 设与是矩阵且秩分别为人，的列向量可由的列向量线性表示，则满足的矩阵的秩最大为最小为.由推论1知道，如果，有，故有： 推论25 设，则. 定理66 （线性方程组的同解定理）线性方程组与同解的充要条件是只需经过线性方程组的初等变换将线性方程组变为. 证明 充分性在一般的高等代数的教材上可查到，下证必要性.由于线性方程组与同解，则与线性方程组同解，秩=秩=秩于是的列向量可以由的列向量线性表示,于是存在阶可逆矩阵，使得，也即存在一系列初等矩阵,有 即线性方程组可由初等变换变为线性方程组.证毕3 线性方程组解的应用 我们在研究一些问题时 ,只要恰当地运用线性方程组理论,就可以使比较复杂的研究过程简单化.下面从矩阵理论，多项式理论，欧氏空间，线性空间等方面着重来讨论线性方程组理论在高等代数中解题方面的应用.3.1 在矩阵理论中的应用 在矩阵的研究过程中，线性方程组理论有着举足轻重的地位，可以使矩阵理论的某些经典结论得到很好证明. 例67 设为矩阵，为矩阵，若,则. 证明 因为，所以的个列向量都是齐次线性方程组的解向量，则的基础解系中恰有个解向量，所以，故. 例77 设为实矩阵，证明. 证明 构造齐次线性方程组，于是；反之由 可得，即，因为为实矩阵，为实维列向量，所以.即方程组与同解，故.3.2 在多项式理论中的应用 多项式在实际应用中，往往需要借助线性方程组的理论，并在后者基础上进行展开和求解. 例88 若，这里的为实系数多项式，求证=0，其中 证明 设的5个根为，记.由假设可得 （*）再由范德蒙德行列式知（*）的系数行列式不等于零.从而，其中3.3 在欧氏空间上的应用 欧式空间是高等代数的重要组成部分，充分借助线性方程组的理论，可以使欧式空间的问题转化为线性方程组的问题，从而使问题得到简化. 例99 在中按通常内积定义求一单位向量与三个向量正交. 解 一个向量同三个向量正交的充分必要条件是是方程组 的非零解,易知此方程组系数矩阵的秩是3.令=4得即为所求.3.4 在线性空间理论上的应用 线性方程组和线性空间的关系不言自明，解决线性空间的问题需要恰当的使用线性方程组的有关理论. 例1010 设为矩阵，为矩阵且,则. 证明 把矩阵分块为：则，从而,其中是的解空间.从而，即. 例1110 若是阶方阵，且，则. 证明 因,且由得,从而由例10知左边，显然左边，即 . 另外，线性方程组在矩阵、广义逆矩阵、线性变换等问题的解决中都有很重要的作用,本文不再一一详述.参 考 文 献1 周尚启.线性方程组的结构J.高等数学研究.2005,8（3）:56-57.2 杜祥林，周兴建.齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用J.重庆山峡学院晚报，2008,24（3）:136-138.3 王秀珍，李国义，罗敏.线性方程组的一种新解法J.大庆石油学院学报，1997,10（6）：101-104.4 范玉军，李桂荣.齐次线性方程组解得研究J.德州师专学报，2000,16（2）：16-17.5 李向朝.用列初等变换求解线性方程组J.洛阳农业高等专科学校学报，2002,22（1）：44-45.6 邹国成.关于线性方程组的解的几个结论J.乐山师范学院学报，2005,20（5）:16-17.7 吕荣生.由基础解系构造线性方程组的方法研讨J.西安联合大学学报.2004,7（5）：33-35.8 宋杰.利用线性方程组证明矩阵秩的有关问题J.韶关学院学报，2010,31（12）：1-3.9 徐德余.线性方程组理论在高等代数中的应用J.绵阳师范学院学报，2008,27（11）：5-11.10北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数M.北京：高等教育出版社，2003. Method and Application of Linear Equation QIN Yu-pengAbstract: Describing several solutions to solve linear equations, such as the row transformation, column transformation, etc., in the learning process, through the solution for different types of equations, linear equation reveals the laws to find the optimal solution and introduce the application.Key words: linear equations; row transformation; method; introduce the application第 14 页 (共 14 页)