北京大学保送生数学真题及答案

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2012年北京大学保送生考试数学试题及参考答案1 已知数列为正项等比数列，且，求的最小值解：设数列的公比为，则，由知，当且仅当即时，有最小值2已知为二次函数，且成正项等比数列，求证：证法一：设，数列的公比为，则，得，得若，则；若，则与矛盾证法二：由成等比数列得，三点满足，三点共线，与三点在抛物线上矛盾，3称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形若锐角三角形的三边满足，证明：这个三角形的内接正方形边长的最小值为解：如图所示，设正方形的边长为，，同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为，这个三角形的内接正方形边长的最小值为4从点发出两条射线，已知直线交于两点，且（为定值），记中点为，求证：的轨迹为双曲线解：以的角平分线所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系设，则，，得，的轨迹为双曲线5已知满足，求证：，使证明：用反证法，假设，令，则，且与矛盾，，使

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