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绝密启用前鹰潭市2015届高三第一次模拟考试数学试题(理科)本试卷分第卷和第II卷两部分，满分150分，时间120分钟 第卷一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。1设集合，集合，则等于（ ）A B C D2已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条3设等比数列的前项和为，满足，且，则=（ ）A63 B48 C42 D36 4已知，则（ ）A B C D5已知命题:函数的最小正周期为；命题：若函数为偶函数，则关于对称.则下列命题是真命题的是（ ）A B C D6已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的不小于的概率为（ ）否开始n=1输入xn= n +1x= 3x +1输入x输出x结束是A BCD7已知，则展开式中，项的系数为（ ）A B C D8甲乙两人从门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有（ ）A30种 B36种 C60种 D72种9已知是双曲线的左焦点，过作倾斜角为的直线，直线 与双曲线交于点与轴交于点且，则该双曲线的离心率等于（ ）A B C D10已知方程在有两个不同的解（），则下面结论正确的是（ ）A B C D 11设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集（ ）AB C D12设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是 （ ） A B C D 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知 ，的夹角为60，则 14设实数满足则的最大值为 15棱锥的三视图如上图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最小值为 16球为边长为的正方体的内切球，为球的球面上动点，为中点，则点的轨迹周长为 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）已知公比为负值的等比数列中，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和18(本小题满分12分）湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某位大众评审对这位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求： （）恰有人把票投给歌手甲的概率； （）投票结束后得票歌手的个数的分布列与期望19(本小题满分12分）在如图所示的几何体中，平面，是的中点，（）证明 平面；（）求二面角的余弦值的大小20（小题满分12）椭圆的方程为，、分别是它的左、右焦点，已知椭圆过点，且离心率（）求椭圆的方程；（）如图，设椭圆的左、右顶点分别为、，直线的方程为，是椭圆上异于、的任意一点，直线、分别交直线于、两点，求的值；（）过点任意作直线（与轴不垂直）与椭圆交于、两点，与交于点， 求证： 21（本大题满分12分）已知函数，图象与轴异于原点的交点处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行（）求的值； （）已知实数，求的取值范围及函数的最小值；（）令，给定，对于两个大于的正数，存在实数满足：，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.PABCDE22题图O22(本小题满分10分）选修41：几何证明选讲 如图，内接于直径为的圆，过点作圆的切线交 的延长线于点，的平分线分别交和圆于点 ，若（）求证：； （）求的值23(本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数（）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（）若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值24.（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数 （）当时，解不等式；（）若的解集为，求证：鹰潭市2015届高三第一次模拟考试数学(理科)答案一、选择题：15 DAADB 6 10 BCABC 1112 AB二、填空题： 13 14 15 16三、解答题： 17解：（）因为数列是等比数列，所以，则或，因为数列的公比为负值，所以，故，则，故即数列的通项公式为6分（）由条件知，9分则故。12分18解：（）解法一：所有可能的投票方式有种，恰有2人把票投给歌手甲的方式种，从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为5分解法二：设对每位投票人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“把票投给歌手甲”为事件，则，从而，由独立重复试验中事件恰发生次的概率计算公式知，恰有2人把票投给歌手甲的概率为 （）的所有可能值为：11分综上知，有分布列 1 2 3P 从而有12分19解法一（1）取的中点，连结、因为，所以又因为，所以所以四边形是平行四边形， 分在等腰中，是的中点，所以因为平面，平面，所以而，所以平面又因为，所以平面 分（2）因为平面，平面，所以平面平面过点作于，则平面，所以过点作于，连结，则平面，所以所以是二面角的平面角 分在中，因为，所以是等边三角形又，所以，在中，所以二面角的余弦值是分解法二（1）因为平面，所以平面故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是，分所以，因为，所以，而，所以平面分（2）由（）知，设是平面的一个法向量，由 得即取，则设是平面的一个法向量，由得即取，则分二面角为锐二面角，设二面角的大小为，则 故二面角的余弦值是分20解：（）4分（）设，则直线、的方程分别为，将分别代入可求得两点的坐标分别为，. 由（），,所以，又点在椭圆上，.8分（）设，,，由得所以，代入椭圆方程得 同理由得 消去，得，所以12分21解：（1） 图象与轴异于原点的交点，图象与轴的交点，由题意可得，即， 2分， 3分（2）=令，在 时，在单调递增， 4分图象的对称轴，抛物线开口向上当即时， 5分当即时，6分当即时， 7分,所以在区间上单调递增 时，当时，有，得，同理， 由的单调性知 、从而有，符合题设. 9分当时，由的单调性知 ，与题设不符 11分当时，同理可得，得，与题设不符. 综合、得 12分22. 选修41：几何证明选讲解：（1）PA是圆O的切线 又是公共角 2分 4分 （2）由切割线定理得： 又PB=5 6分又AD是的平分线 8分 又由相交弦定理得：10分23.选修44：坐标系与参数方程解：（1）由得 3分（2）将代入圆的方程得，化简得. 设、两点对应的参数分别为、,则, 7分,或.10分24. 解：（1）当a=2时，不等式为，不等式的解集为；5分（2）即，解得，而解集是，解得a=1,所以所以. 10分15
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