江苏省宿迁市高三考前信息卷数学试题及答案

此卷上交考点保存 姓名 准考证号 绝密启用前 2014年宿迁市考前模拟试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共4页，均为非选择题（第1题第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：圆锥的体积公式：，其中是锥体的底面积，为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，则= 2若复数是纯虚数，则实数的值为 3某校高三年级学生年龄分布在17岁，18岁，19岁的人数分别为500，400，200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为，则 4已知直线直线，则直线与直线没有公共点的概率为 5根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 （第5题）x yO36函数是偶函数，且在上是减函数，则 7如右图的部分图象，则 8已知双曲线的一条渐近线方程是（第7题），它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 9若等比数列的前n项和，等差数列的前n项和，则 10在中，则 11已知集合，若，则实数的取值范围是 12将三个半径为3的球两两相切地放在水平桌面上，若在这三个球的上方放置一个半径为1的小球，使得这四个球两两相切，则该小球的球心到桌面的距离为 13定义：表示中的最小值已知函数，对于任意的，均有成立，则常数的取值范围是 14已知实数不全为零，正数满足，设的最大值为 ，则的最小值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在中，已知为边上的中点，且，ADBC（1）求 的值；（2）若，求边的长（第15题）16（本小题满分14分）如图，在正四棱柱中，已知，且点为的中点D1A1B1C1PBADC（1）求证：直线平面；（2）求证：平面平面（第16题）17（本小题满分14分）如图，某工厂生产的一种无盖冰淇淋纸筒为圆锥形，现一客户订制该圆锥纸筒，并要求该圆锥纸筒的容积为设圆锥纸筒底面半径为r，高为h（1）求出r与h满足的关系式；（2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，求最省时的值（第17题）18（本小题满分16分）已知椭圆：，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过的直线交椭圆于点，若，且当直线轴时，（1）求椭圆的方程；OAPQFxyl（2）设直线，的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论；（3）记的面积为，求的最大值（第18题图）19（本小题满分16分）已知函数，设直线分别是曲线 的两条不同的切线 （1）若函数为奇函数，且当时有极小值为（i）求的值；高 考 资 源 网（ii）若直线亦与曲线相切，且三条不同的直线交于点，求实数的取值范围；（2）若直线，直线与曲线切于点且交曲线于点，直线和与曲线切于点且交曲线于点，记点的横坐标分别为，求的值20（本小题满分16分）已知公比为q（q 1）的无穷等比数列an的首项a1=1（1）若q = ，在a1与a2之间插入k个数b1，b2， ，bk，使得a1，b1，b2， ，bk ，a2 ，a3成等差数列，求这k个数；（2）对于任意给定的正整数m，在a1， a2 ，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；（3）当且仅当q取何值时，在数列an的每相邻两项ak ，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及 cn的通项公式（用q表示）此卷上交考点保存 姓名 准考证号 绝密启用前 2014宿迁市考前模拟试卷数学(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共2页，均为非选择题（第21题第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。21选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）EABCDO如图，四边形内接于，AC平分，过点的切线交的延长线于点求证： （第21-A题）B选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知圆在矩阵对应的变换作用下得到椭圆，求矩阵的特征值和特征向量C选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于点写出曲线的直角坐标方程并求出线段的长度D选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知不等式的解集为，记中的最大元素为T，若正实数满足，求的最大值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）已知抛物线C：y2 = 2px（p0）上的一点M（2，m）（m0），M到焦点F的距离为 ，A、B是抛物线C上异于M的两点，且MAMB（1）求p和m的值；（2）问直线AB是否恒过定点？若过定点，求出这个定点的坐标；若不过定点，请说明理由23（本小题满分10分）设正整数满足，为集合的元子集，且（1）若，满足（i）求证：； （ii）求满足条件的集合的个数；（2）若中至多有一个元素，求证：数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1 2 3 220 4 525 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题：本大题共6小题，1517每题14分，1820每题16分，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：（1）因为，所以， 2分又，所以， 4分 所以 ； 7分（2）在中，由正弦定理，得，即，解得， 10分 故，从而在中，由余弦定理，得所以， 14分16证明:（1）连结交AC于点O，因为三棱柱为正三棱柱，所以四边形是正方形，所以是BD的中点，又点是的中点， 所以， 4分而，所以直线平面； 7分（2）连结，设，在三角形中，所以，所以，因为三棱柱为正三棱柱，所以，而，所以，又，所以，因，所以，又， 11分所以，又，所以平面平面 14分17解：（1）设圆锥纸筒的容积为，则， 由该圆锥纸筒的容积为，则，即， 故r与h满足的关系式为； 4分 （2）工厂要求制作该纸筒的材料最省，即所用材料的面积最小，即要该圆锥的侧面积最小， 设该纸筒的侧面积为，则，其中为圆锥的母线长，且，所以（ ）， 8分 设 （ ）， 由，解得 ， 当时，；当时，； 因此，时取得极小值，且是最小值，此时亦最小；12分由得， 所以最省时的值为 14分18解：（1）设右焦点，则，由得，又当直线轴时，的横坐标为，代入得，则，解得，所以椭圆的方程为； 4分（2）为定值，证明如下：由及直线，的斜率分别为，得直线，的方程分别为， 6分设，则在曲线上，化简得，又因为在椭圆上，则，故，即，则在直线上，9分由在直线 上，则可得； 10分（3）设，由题意得，设直线，的方程分别为，由（2）得，联立 化简得，即或 则，同理可得， 12分所以 令，则，易求得时，则当时，取最小值为16，此时有最大值为 16分19解：（1）（i），为奇函数，即，b = 0， 2分则，又当时有极小值为， 即 即， 4分经检验满足题意； 5分（ii）设为曲线上一点，由（i）得， 则曲线在点处的切线方程为， 即，显然过某一点的切线最多有三条；又，y = 4是曲线的一条切线，且过（m，4）； 6分设另两条切线切点分别为，其中，且，不妨设直线的方程为，直线的方程为，令y = 4并化简得，则且， 8分是方程的两解，令，令得x = 2或0，当或x2时，；当或时，；又，故当时，的值域为，当时，的值域为； 当时，的值域为，当x2时，的值域为；又当时，因此； 10分（2）令，由及得，由 得，即； 12分将与联立化简得， 14分同理， 16分20解：（1）由条件得1，b1，b2， bk ， ，成等差数列，所以公差d = ，k = 2，所以这2个数为：b1=，b2= ； 2分（2）设a1与a2之间插入k个数，kN，且km，则在a2与a3之间插入（m k）个数，由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2 = q，第m+2项为a2 = q2，所以 = ，q 1，所以q = ，且 k ；所以公比q的所有可能的取值的集合 q | q = ，kN，k m且k ；6分（3）当且仅当qN，且q 2时，在数列an的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列；证明如下：（i）当qN，且q 2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，显然满足条件； 8分（ii） 若在数列an的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（kN*，ckN）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为bn，则对于任意的kN*，都有 = ，即 = ，q 1且q 0，所以q = ，ck+1，ckN，所以q为正有理数，an为正项无穷等比数列，若q不为整数，不妨设q = ，其中p，tN*，p与t互质，且p 2，等差数列bn的公差为d = = ，通项为bn= 1+(n 1) ；则数列(c1+1) pbn的各项都为整数，则对于任意的nN* ，(c1+1) p anN*，即对于任意的nN* ，(c1+1) p（）n-1N*，即于任意的nN*，由p与t互质，则(c1+1) p都能被pn 1整除，p2，且pN*，这是不可能的，所以q为正整数，又q 1，所以qN，且q 2； 12分当qN，且q 2时，对于首项为1，第(c1+1)项为q的等差数列bn，则公差d = ，令an = bm ，即q n1 = 1+(m1) （nN*），有m = (c1+1)+1N*，所以an是bn中的第(c1+1)+1项，所以c1的所有可能值的集合是自然数集N ； 14分对于任意的自然数c1，由 = q，qN，nN*且q 2知cn+1是首项为c1+1，公比为q的等比数列，所以cn的通项公式为cn = (c1+1) q n11 16分21A.证明： 因为EA切于A， 所以EABACB 因为ACDACB，ABAD于是EABACD 4分又四边形ABCD内接于，所以ABED所以于是，即所以 10分B.解：设为圆上任意一点，在矩阵对应的变换下变成另一点，则 ，即 又满足， 则，由且的任意性及，故，即矩阵， 5分矩阵的特征多项式为 ，令，解得的特征值，从而求得对应的一个特征向量分别为 10分C.解：曲线可化为，由得曲线C的直角坐标方程为， 4分直线的参数方程为代入可得即或，由的几何意义可得线段的长度为 10分D.解：不等式的解集为，则， 4分由柯西不等式得 ，所以，当且仅当即时，的最大值为 10分22解：（1）由点M（2，m）（m0）在抛物线C：y2=2px （p0）上得2+ = ，m2 = 4p，且m0，所以p=1， m=2； 4分（2）由（1）得抛物线C的方程为y2 =2x，由条件知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB的方程为x = my+n，且2m+n 2，设A，B两点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），将x = my+n代入y2 = 2x，并整理得关于y的一元二次方程：y2 2my 2n=0其两根为y1， y2，所以4m2+8n0，且y1 +y2 = 2m，y1 y2 = 2n； 6分由MAMB得(x12)(x22)+ (y12)(y22) = 0，而x1= my2+n，x1 = my2+n，y12 = 2x1 ，y22 = 2x2，所以 + y1 y22(m+1)( y1 +y2) 4n+8 = 0，所以(n3)2 = (2m+1) 2，而2m+n2，所以n = 2m+4， n 3，4m2+8n = 4m2+ 16m+32 = 4(m+2) 2+ 160，所以直线AB的方程为x = m (y+ 2) +4，所以直线AB过定点（4，2） 10分23解：（1）（i）设，其中，则， ， ，累加得，即；3分（ii）从个元素中，任取个元素由题设可知，这个元素任意两个元素都不是相邻的自然数，将剩下的个元素排序，共形成空档，将个元素放回个空档中，共有放法，所以满足条件的元子集共有个；6分（2）集合是元集合，与没有相同的二元子集，否则假如有相同的二元子集，则与至少有两个相同的元素，与题设矛盾，又因为的所有二元子集个数为且互异，中的所有二元子集个数为，从而，即有10分