10.泰勒展开式下的高考试题

中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)泰勒展开式下的高考试题三类函数不等式的来源 多项式函数是最简单的函数,用多项式函数逼近其它函数(如超越函数)是微分学,甚至是数学的精义所在,也是泰勒展开式产生的背景;泰勒展开式是高考命题的有力工具,许多高考试题直接来自于泰勒展开式.母题结构:(基本函数的泰勒展开式):ex=1+ex(其中01);ln(1+x)=x-+-+(-1)n-1+(-1)n()n+1;sinx=x-+-+(-1)k-1+(-1)kcosx;cosx=1-+-+(-1)k-1+(-1)kcosx.母题解析:在中学范围内,以上结论没必要证明,因为不能直接引用;我们关心的是泰勒展开式在解决高考试题中的作用(不是直接引用),当|x|充分小时,泰勒展开式中的前几项占主导地位,而后面的项对函数值的贡献可忽略不计,由此思想,我们可以通过去掉泰勒展开式中的“零头”,得到相关不等式,这样不仅可以探明一些不等式的来源,而且可为解决一些不等式恒成立问题指明方向. 1.指数函数的展开式 子题类型:(2010年课标高考理科试题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.()若a=0,求f(x)的单调区间;()若当x0时,f(x)0,求a的取值范围.解析:()当a=0时,由f(x)=ex-1-x(x)=ex-1,由此列表,由表知,f(x)在(-,0)上递减.在(0,+)上递增;()由ex=1+ex(其中0时,(x)=ex-1-2ax(x)=ex-2a(x)在(0,ln2a)上单调递减当0xln2a时,(x)(0)=0f(x)在(0,ln2a)上单调递减当0xln2a时,f(x)2(x+);()设实数k使得f(x)k(x+)对x(0,1)恒成立,求k的最大值.解析:()由f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)f(0)=0,(x)=+(0)=2切线:y=2x;()由ln(1+x)=x-+-+(-1)n-1+ln(1+x)=-x-+(-1)2n-1+f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=2(x+)当x(0,1)时,f(x)2(x+),这就是第()问的来源,证明略;()由()知,当k2时,f(x)2(x+)k(x+)对x(0,1)恒成立;当k2时,令g(x)=f(x)-k(x+),则(x)=(x)-k(1+x2)=(x2-)g(x)在(0,)上单调递减当0x时,g(x)g(0)=0f(x)k(x+),不合题意.综上,k的最大值为2.点评:对对数函数的泰勒展开式,由基本对数函数ln(1+x)的泰勒展开式,应会通过换元求ln(1-x),lnx等的泰勒展开式;利用泰勒展开式解决不等式恒成立问题可称为“先猜后证”,“先猜后证”是应当掌握的重要方法. 3.三角函数的展开式 子题类型:(2006年湖南高考试题)已知函数f(x)=x-sinx,数列an满足:0a11,an+1=f(an),n=1,2,3,.证明:()0an+1an1;()an+10f(x)在(0,1)上单调递增f(0)f(x)f(1)0f(x)1-sin11;又f(x)=x-sinxx0f(x)x1;用数学归纳法证明:由0a110f(a1)a110a2a11;假设当n=k时结论成立,即0ak+1ak10f(ak+1)ak+110ak+2ak+11,故n=k+1时,结论成立.综上,0an+1anx-x-sinxx3f(x)0(x)在(0,1)上单调递增(x)(0)=0g(x)在(0,1)上单调递增g(x)g(0)=0f(x)x3;由()知,0an1f(an)an3an+11.2.(2013年课标高考试题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).()设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;()当m2时,证明f(x)0.3.(2010年课标高考文科试题)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.()若a=,求f(x)的单调区间;()若当x0时,f(x)0,求a的取值范围.4.(2007年全国高考试题)设函数f(x)=ex-e-x.()证明:f(x)的导数(x)2;()若对所有x0都有f(x)ax,求a的取值范围.5.(2006年全国高考试题)已知函数f(x)=e-ax.()设a0,讨论y=f(x)的单调性;()若对任意x(0,1)恒有f(x)1,求a的取值范围.6.(2008年全国高考试题)设函数f(x)=.()求f(x)的单调区间;()如果对任何x0,都有f(x)ax,求a的取值范围. 4.子题详解:1.解:()f(x)的定义域为(0,+);由f(x)=aexlnx+(x)=aex(lnx+)+;由曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线为y=e(x-1)+2f(1)=2,(1)=eb=2,a=1;()因f(x)=exlnx+,所以,f(x)1exlnx+1ex(lnx+)1;由ex=1+ex(其中0ex(-+)=1.2.解:()f(x)的定义域为(-m,+);由f(x)=ex-ln(x+m)(x)=ex-;由x=0是f(x)的极值点(0)=0m=1(x)=ex-(x)=ex+0(x)在(-1,+)内单调递增当x(-1,0)时,(x)(0)=0f(x)在(0,+)内单调递增;()当m2时,f(x)=ex-ln(x+m)ex-ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)=ex-ln(x+2)0;由ex=1+ex(其中0ln(x+2)f(x)=ex-ln(x+2)0.3.解:()当a=时,由f(x)=x(ex-1)-x2(x)=ex-1+xex-x=(x+1)(ex-1),由此列表如下:由表知,f(x)在(-,-1)和(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减;()当x0时,f(x)0当x0时,x(ex-1-ax)0当x0时,ex1+ax;由ex=1+ex(其中01时,令g(x)=ex-ax-1,则(x)=ex-ag(x)在(0,lna)上单调递减g(x)g(0)=0,不合题意.综上,a的取值范围是(-,1.4.解:()由(x)=ex+e-x2=2,当且仅当x=0时取得等号;() 由ex=1+ex(其中02时,令g(x)=f(x)-ax,则(x)=ex+e-x-a=e-x(e2x-aex+1)g(x)在(0,ln)上单调递减g(x)g(0)=0,不合题意.综上,a的取值范围是(-,2.5.解:()由f(x)定义域为x|x1,(x)=(x2-);当02时,(x)=(x+)(x-)f(x)在(-,-)、(,1)和(1,+)上单调递增,在(-,)上单调递减;()当x(0,1)时,f(x)1e-ax1ln-ax0lnax;由ln(1+x)=x-+-+(-1)n-1+ln(1+x)=-x-+(-1)2n-1+ln=ln(1+x)-ln(1-x)=2(x+)当x(0,1)时,ln2x;当a2时,ln2xax;当a2时,令g(x)=ln(1+x)-ln(1-x)-ax,则(x)=+-a=(x+)(x-)g(x)在(0,)上单调递减g(x)g(0)=0ln-(x)0f(x)在每一个区间(2k-,2k+)(kZ)是增函数;当x(2k+,2k+)(kZ)时,cosx-(x)0f(x)在每一个区间(2k+,2k+)(kZ)是减函数;()当x0时,由f(x)axaxsinxax(2+cosx);由sinx=x-+-+(-1)k-1+(-1)kcosx;cosx=1-+-+(-1)k-1+(-1)kcosx1-+-+(-1)k-1+(-1)kcosxa(3-+-+(-1)k-1+(-1)kcosx)13aa;令g(x)=ax-f(x),则(x)=a-=a-+=3(-)2+a-;当a时,(x)0g(x)在0,+)上单调递增g(x)g(0)=0f(x)ax;当a0,且当x(0,x0)时,(x)0g(x)在(0,x0)上单调递减g(x)ax,不合题意.综上,a的取值范围是,+).