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9.3 平行四边形 第一课时【培优题】（满分100分 时间：40分钟） 班级 姓名 得分 【知识点回顾】1、 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；2、 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；【课时练习】一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1（2020重庆实验外国语学校八年级月考）如图，将平行四边形ABCD绕点D逆时针旋转150，得到平行四边形DEFG，这时点C，E，G恰好在同一直线上，延长AD交CG于点H若AD2，A75，则HG的长是（）ABCD【答案】D【分析】证明CDG是顶角为150的等腰三角形，再证明DHCG，由直角三角形的性质求出DH，进而解决问题【详解】解：由题意：ADE150，ADDE2，EDH30，ABCD，CDHA75，CDG150，CDHGDH75，DCDG，DHCG，EHDE1，DHEH在CG上取一点k，使得DKGK，KDGKGD15，DKH15+1530，KGDK2DH2，HKDH3，HGHK+KG3+2，故选：D【点睛】本题考查旋转变换的性质、含30角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题2（2019长春市第五十二中学八年级期中）如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，则平行四边形的面积是（ ）ABCD【答案】A【分析】设，先根据平行四边形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，从而可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得【详解】设，四边形ABCD是平行四边形，又，解得，即，是等腰直角三角形，平行四边形ABCD的面积是，故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键3（2019四川南充市九年级一模）如图，与的周长相等，且，则的度数为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据与的周长相等，且,可得两个四边形的边，进而可得ABF为等腰三角形；由，可得,，根据周角定理可得；在等腰三角形ABF中即可求得的度数【详解】解：与的周长相等，且,；，,；故选：A【点睛】本题主要考查了平四边形邻角与对角的性质及三角形内角和定理等4（2020江苏徐州市八年级期末）在中，于点，点为的中点，若，则的度数是（ ）ABCD【答案】D【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明NAECFE，所以NECE，NACF，再由已知条件CDAB于D，ADE50，即可求出B的度数【详解】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，四边形ABCF是平行四边形，ABCF，ABCF，NAEF，点E是的AF中点，AEFE，在NAE和CFE中， ，NAECFE（ASA），NECE，NACF，ABCF，NAAB，即BN2AB，BC2AB，BCBN，NNCB，CDAB于D，即NDC90且NECE，DENCNE，NNDE50NCB，B80故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答5（2020河北石家庄市石家庄外国语学校九年级三模）如图，由25个点构成的55的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（ ）A6个B7个C9个D11个【答案】D【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形故选：【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键6（2020广西来宾市八年级期中）如图，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CEAB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )DCF=BCD；EF=CF；DFE=4AEFABCD【答案】B【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出AEFDMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案【详解】解：F是AD的中点，AF=FD在ABCD中，AD=2AB，AF=FD=CD，DFC=DCFADBC，DFC=FCB，DCF=BCF，DCF=BCD，故正确；延长EF，交CD延长线于M四边形ABCD是平行四边形，ABCD，A=MDFF为AD中点，AF=FD在AEF和DFM中，AEFDMF（ASA），FE=MF，AEF=MCEAB，AEC=90，AEC=ECD=90FM=EF，EF=CF，故正确；EF=FM，SEFC=SCFMMCBE，SBEC2SEFC故正确；设FEC=x，则FCE=x，DCF=DFC=90x，EFC=1802x，EFD=90x+1802x=2703xAEF=90x，DFE=3AEF，故错误故答案为B 点睛：本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出AEFDMF是解题的关键二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）7（2020山东潍坊市东埠初中八年级月考）在中，平分交于点，平分交于点，且，则的长为_【答案】18或14【分析】根据平行线的性质得到DAEAEB，由AE平分BAD，得到BAEDAE，等量代换得到BAEAEB，根据等腰三角形的判定得到ABBE，同理CFCD，根据平行四边形的性质得到ABCD，ADBC，即可得到结论【详解】解：如图1，在ABCD中， ABCD8， ADBC，BCAD，AE平分BAD交BC于点E，BAEDAE，BCAD，DAEAEB，BAEAEB，ABBE，同理，CFCD，EF2，BCBE+CFEF2ABEF14，AD14；如图2，在ABCD中， ABCD8， ADBC，BCAD，AE平分BAD交BC于点E，BAEDAE，BCAD，DAEAEB，BAEAEB，ABBE，同理，CFCD，EF2，BCBE+CF+EF2AB+EF18，AD18；综上所述：AD的长为14或18故答案为：14或18【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BABE，CFCD8（2020沙坪坝区重庆八中八年级月考）已知点函数的图象上有两个动点，且，则四边形的周长最小值是_【答案】【分析】如图（见解析），先利用平行四边形的判定与性质可得，再利用轴对称的性质可得，然后根据两点之间线段最短可得的最小值为OC，最后利用一次函数的性质、两点之间的距离公式求出OC的长，由此即可得【详解】如图，过点A作PQ的平行线，过点P作AQ的平行线，两平行线交于点B，作点B关于直线的对称点C，连接PC、OC、BC，其中BC交直线于点D，四边形ABPQ是平行四边形，由轴对称的性质得：，四边形的周长为，则要使四边形的周长最小，只需最小，由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，设直线AB的函数解析式为，将点代入得：，解得，则直线AB的函数解析式为，设点B的坐标为，则，解得或（不符题意，舍去），设直线BC的函数解析式为，将点代入得：，解得，则直线BC的函数解析式为，联立，解得，设点C的坐标为，点B、C关于直线对称，点D为BC的中点，解得，的最小值，则四边形的周长最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、一次函数的几何应用、轴对称的性质等知识点，利用平行四边形的性质和轴对称性的性质找出的最小值是解题关键9（2020宁波市海曙区储能学校八年级期末）在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ， ，则平行四边形ABCD 的周长等于_ 【答案】12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=，在RtACE中，由勾股定理可知：，在RtABE中，由勾股定理可知：,BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2(AB+BC)=2(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=在RtACE中，由勾股定理可知：，在RtABE中，由勾股定理可知：,BC=BE-CE=3-2=1,平行四边形ABCD的周长为2(AB+BC)=2(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20故答案为：12或20【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键10（2020江苏无锡市九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB，点E为AD的中点，连接BE、CE，且BEBC，过点C作CFBE，垂足为点F，若BF2EF，则BC的长_【答案】【分析】过点C作于点G，由平行四边形的性质可得：，ABCD=，AD=BC，由平行线性质可得：，由BEBC可得：，进而可得，用AAS可证，可得EF=EG，FC=GC，由BF2EF可设EF=x，则BF=2x，BC=BE=3x，在中，由勾股定理可求FC的长度，故可得CG和DG的长度， 在中，由勾股定理可列方程解出x即可求出【详解】如图所示，过点C作于点G，四边形ABCD为平行四边形，ABCD=，AD=BC，BEBC，又，EC=EC，EF=EG，FC=GC，BF2EF，设EF=x，则BF=2x，BC=BE=3x，在中，CG=CF=，EG=EF=x，E为AD中点，ED= BC= ，DG= ，在中，CG=，DG= ，CD=，解得：，BC=3x= 故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，根据已知条件作出适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）11（2021沙坪坝区重庆南开中学八年级期末）已知， 为 上的一点 （1）如图1，若，求的长； （2）如图2，过点作垂直的平分线于点，过点作交的延长线于点，连接交于点，若平分，求证：【答案】(1)，(2) 证明见详解【分析】(1)过M作MGBC于G，利用平行四边形的性质得AD=BC，C=45， 得MG=CG，由，可求MBG=30，利用30角所对直角边，求出CG=MG=2，再由勾股定理可得BG=，可求BC=BG+CG=即可， (2)过B作BHDC于H，由平分，可证MHBMFB（AAS）得BH=BF，HBM=FBM，由FB平分MBC，FBM=FBC，由C=45，求HBC=45，得BH=HC，HBM=FBM=FBC=，可求HBF=30，利用四边形内角和求NMF=150，利用平角求EMN=180-NMF=30，由EN=MN，得NEM=NME=30，由，求DEM=90-EMN=60，DEN=30，利用勾股定理求DE=，把BDE绕着点B顺时针旋转90到BCE，则CE=,E=E=30，先证N，C，E三点共线，再通过计算可证NBE=90，利用30角直角三角形性质得出NE=2BN=CN+CE=CN+即可【详解】(1)过M作MGBC于G，,AD=BC，C=A=45，MG=CG，DBC=90，MBG=90-MBD=30，在RtBMG中，MG=，由勾股定理BG=，CG =MG=2，BC=BG+CG=，AD=BC=，(2)过B作BHDC于H，平分，HMB=FMB，MFBF，MHB=MFB，MB=MB，MHBMFB（AAS）BH=BF，HBM=FBM，FB平分MBC，FBM=FBC，HBM=FBM=FBC，C=45，HBC=45，BH=HC，HBM=FBM=FBC=，MBC=，HBF=45-15=30，NMF=360-90-90-30=150，EMN=180-NMF=30，EN=MN，NEM=NME=30，DEM=90-EMN=60，DEN=DEM-NEM=60-30=30，再RtDEN中DEN=30，EN=2DN，由勾股定理DE= ，把BDE绕着点B顺时针旋转90到BCE，则CE=DE=,E=E=30，BDE=EDC+CDB=90+45=135，BCE=BDE=135，DCB=45，DCB+BCE=45+135=180，N、C、E三点共线，END=180-EDN-DEN=180-90-30=60，BNE=END=60，ENB+E=60+30=90，NBE=180-ENB-E=90，NE=2BN=CN+CE=CN+【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等，三角形旋转变换，直角三角形中30角的性质，线段的和差等知识，只有很好的掌握这些知识，准确作出辅助线构造图形是解题关键12（2020重庆市南川中学校九年级月考）如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，其中，于G，交BA延长线E，CF平分，连接，.（1）如图1，若，求的面积. （2）如图2，若，求证：.（3）如图3，在（2）的条件下，若，点M，N是线段CF，CD上的动点，求的最小值. 【答案】（1）4；（2）证明见详解；（3）【分析】（1）证明 和为等腰直角三角形，即可得解；（2）延长EF交CD于点M，证明和即可得解；（3）根据角平分线的性质和轴对称的性质求解即可；【详解】解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC， 和为等腰直角三角形，；（2）延长EF交CD于点MMCF=ECF，CF=CF，CFE=CFM，EF=MF又EAF=FDM，EFA=DFM， （3）CF平分，D关于CF的对称点在直线EC上，过作于，则最小，这时M与F点重合，最小值为 由（2）知，最小值为：【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理进行计算是解题的关键13（2020沙坪坝区重庆一中九年级开学考试）如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点，过点作交、于点、（1）如图1，若，求平行四边形的面积：（2）如图2，若，求证：【答案】（1）30；（2）见解析【分析】（1）连接BD，求出SOBC，再根据平行四边形的性质得出平行四边形的面积与SOBC的关系求得结果；（2）过点E作EHEG，与GC的延长线交于点H，证明OEGCEH得OG=CH，EG=EH，再证明OAFOCG，得AF=CG，OF=OG，进而根据等腰直角三角形的性质得结论【详解】解：（1）连接BD，平行四边形ABCD，BD过点O，SOBC=BCOE=53=，平行四边形ABCD的面积=4SOBC=30；（2）过点E作EHEG，与GC的延长线交于点H，如图2，OEBC，OEG+OEC=GEC+CEH=90，OEG=CEH，ACB=45，COE=45，OE=CE，平行四边形ABCD中，ABCD，又FGAB，FGCD，EOG+ECG=360-90-90=180，ECH+ECG=180，EOG=ECH，OEGCEH（ASA），OG=CH，EG=EH，四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，ABCD，OAF=OCG，AOF=COG，OAFOCG（ASA），AF=CG，OF=OG，CG+CH=GH，AF+OF=GH，GEH=90，EG=EH，GH=EG，AF+OF=EG【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积公式，关键是证明全等三角形14（2020宁波市海曙区储能学校八年级期末）如图，在平行四边形 ABCD中，AD=30 ，CD=10，F是BC 的中点，P 以每秒1 个单位长度的速度从 A向 D运动，到D点后停止运动；Q沿着 路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动已知动点 P，Q 同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动 设运动时间为 t秒，问：（1）经过几秒，以 A，Q ，F ，P 为顶点的四边形是平行四边形 （2）经过几秒，以A ，Q ，F ， P为顶点的四边形的面积是平行四边形 ABCD面积的一半？【答案】（1）秒或秒；（2）15秒【分析】(1)Q点必须在BC上时，A，Q ，F ，P 为顶点的四边形才能是平行四边形，分Q点在BF和Q点在CF上时分类讨论，利用平行四边形对边相等的性质即可求解；(2)分Q点在AB、BC、CD之间时逐个讨论即可求解【详解】解：(1)以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形，且AP在AD上，Q点必须在BC上才能满足以A、Q、F、P为顶点的四边形是平行四边形四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=30，AB=CD=10，点F是BC的中点，BF=CF=BC=15，AB+BF=25，情况一：当Q点在BF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=35-3t，故t=25-3t，解得；情况二：当Q点在CF上时，AP=FQ，且AP=t，FQ=3t-35，故t=3t-25，解得t=；故经过或秒，以A、Q、B、P为顶点的四边形是平行四边形；(2)情况一：当Q点在AB上时，0t，此时P点还未运动到AD的中点位置，故四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况二：当Q点在BC上且位于BF之间时，此时AP+FQ=t+35-3t=35-2t，35-2t 30，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况三：当Q点在BC上且位于FC之间时，此时AP+FQ=t+3t-35=4t-35，4t-3530，四边形AQFP面积小于平行四边形ABCD面积的一半，情况四：当Q点在CD上时，当AP=BF=15时，t=15，当t=15秒时，以A、Q、F、P为顶点的四边形面积是平行四边形ABCD面积的一半，故答案为：15秒【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，根据动点的位置不同需要分多种情况分类讨论，熟练掌握平行四边形的性质是解决本题的关键
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