弹性力学试题及答案

5弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以曲氐时为正，缩短时为负,与坦幼的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以由角变小时为正,变大时为负,与切应21的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力,它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关 的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分 量的最纲是国IS5、弹性力学的基本假定为连缝住、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题7、已知一点处的应力分量O;=100MPa, a =50MPa, r =10750MPa,则主应力G=150MPa, (T2=0MPa, ax= 35168、已知一点处的应力分量，4=200MPa, crv=0MPa, 1 =400 MPa,则主应力3=512MPa, % = 2312Mpa, % = -37 57, MPa,则主应力9、已知一点处的应力分量，O- =-2000NIPa,=1000MPa, r =-400(71= 1052 MPa, 6 = 2052 MPa,。尸-82 32, 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为壬衡微分之直。10、在弹性力学里分析问题，要考虑力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程。12、边界条件表示边界上位成i约莫，或应2L皿2之间的关系式。分为位移边界表件、应力边界 条件和混合边界条件。13、按应力求解平解问题时常采用逆解法和半逆解法。14、仃限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步 骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的,另一部分是由于其 他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点 不相同的，即所谓变最应变:另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常最应变。17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应 当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数,为了使得相邻 单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公公结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界 上具有相同的位移。19、在有限单元法中，单元的形函数N在1结点N=1；在其他结点M=9_及20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况：二是采用包含更高次项的位移模式,使位移和应力的精度提高。二、判断题（请在正确命题后的括号内打“ J在错误命题后的括号内打“X）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（J）5、如果某一问题中，0-.=, =0,只存在平面应力分量b、，T、y,且它们不沿Z方向变 化，仅为X,歹的函数，此问题是平面应力问即。36、如果某一问题中，?=;=%=0,只存在平面应变分量J,%,且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。（J）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（J）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（J）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力.（J）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（7 ）三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分晟存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分景是 否可能在弹性体中存在。（1） crx=Ax+By, （Tr=Cx+Zh, T=Ex+Fy ：（2） dx- 、1-v1-v dxdy将己知应力分量%=-q, ay=-q , % =0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分最存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分最是否可能存在。 x=.4xy, v=为3, yC-Dy（2） x=Ay2, sv=Bx2y, y火=Cxy：（3） q=0 x =0, y=Cxy ；其中，a, b, c,。为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即/产今/九犷 dx2 &加将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2） 2A+2By=C （1分）；这组应力分量若存在,则须满足:3=0, Z4=C.（3）0=C：这组应力分量若存在，则须满足：C=0,则J=0, 、=0, 4=0 （1分）。5、证明应力函数由与口能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题 （体力不计，辰0 ）h/2xh/2O1/2y13解：将应力函数0=。），2代入相容方程寸(P 1dMe dx2dy2 1可知，所给应力函数外力,能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为d2(p “q.=Xr=2b , b,d2(pdx2=0, 1o既对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面 力分别为：上边,=-y，=，?”=-1，。=一（%入=_广，刀=一（4）、,二：卜边，/=o,加=1，工=（%）产，/、=（%）产0；2尸5 y=i左边,X= 9 11 92，=0,刀=一（巴）=一28，工=一（%） =,=0 ；7右边，x= , 1=19 ni=0，工=（q） / =2b，工=（J ） , =0。2.后5 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2人因此，应力函数的切尸能解决矩形板在x方向受均布拉力（力0）和均布压力（辰0）的问题。6、证明应力函数所,能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题 （体力不计，QWO）oh/2h/21/21/2ly解：将应力函数片ayy代入相容方程系反詈。ux gx dy c i可知，所给应力函数能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为d2(p 八 d2(p 八d2(pcr =-v=0, cr =-v=0 , r =-=-ax/2)dx2 g 市对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面 力分别为：上边,1=0，力1=-1,，=一（%）_,=，=_（4）t=o；下边,，/= ,加=1，=(%) h=-a，f3=9J 产；左边,7x= , 7=1 jh=O , 工=(q)2l=0，=一（%）产。;尸一右边，x=- 9 /=1, /w=0,/ =，尸（小，）/=a 2，七, 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力。，而在上下两边分别受行向右和向左的均 布面力。因此，应力函数的a3能解决矩形板受均布剪力的问题。7、加图所示的矩形截面的长坚柱，密度为0,在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解:根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设 q=0。由此可知dq） 八cv将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得，力（x）d% , dx4 dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系 数和自由项都应该等于零，即婷/2(aDa3 +Ex 2 +Jx+Kx3 +E.x2对应应力分量为(p(7=-=y(6.4x+2B)+6Dx+2E-pgy%氏一d2(pdxdy%以上常数可以根据边界条件确定。左边，x-0, 7=-1, m-0,沿y方向无面力，所以有一（。=0右边,x=h . 7=1 J)1=O .沿y方向的而力为q,所以有 (Tjxsb=-3Ab2-2Bb=q上边，1，=0, 1=0, 77/=-1 ,没有水平面力，这就要求7“在这部分边界上合成的主矢量和主 J-V矩均为零，即.(%)尸。烝=0将丁的表达式代入，并考虑到c=o,则有(-3.4a2 -2Ax)dx=-3 -Ba 2 : =-Aby-Bb 2=O而工(7。)。小一=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求巴.在这部分边界 上合成的主矢量和主矩均为零，即弧)尸。出=0 ,如.)10.必=0将4的表达式代入，则有C (6D.v+2)dv=3D.v2 +2Ex|: =3Db2 +2Eb=0(6Dx+2E)xdx=2Dx3 +Ex21 ； =2Db 3+Eb2=O由此可得A= B= C=0 , D=0 ， E=0b2 b应力分量为如W” 5居2)虽然上述结果并不严格满足上端面处。=0)的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离)=0处这 一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为人=-空， dxS 其中p是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，q= 答+P,区=驾+/,试导出相应的相容方程.dx- *&/证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问超时，应力分量巴，1汗应当满足4 J平衡微分方程犯16% avdx 0V dx Jdy dx 还应满足相容方程（L浜k+?M+d 誓（注）（/）-白等并在边界上满足应力边界条件（1分）.时于多连体，=0（1分）=0可、卜一（对于平面应力问题）df、 （对于平面应变问题）有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程这是一个齐次微分方程组。O将其改写为d z、（cr-rt=odx x 7 加J袅将。dyex为了求得通解，将其中第一个方程改写为34一/卜ex0根据微分方程理论，一定存在某一函数.4 （x, 丁），使（TrV=，- 由同样，将第二个方程改写为UyC4lJ可见也一定存在某一函数5 （x, y）,使得 6B*一 - dx由此得dAdB dx dy因而又一定存在某一函数G（x,y），使得j=丝，B： 由f 7）得dAT =a dx”）（1 分）dB*T =A /1_d（p dx代入以上各式，得应力分量济。TZ SepTZd2(pa=,(y=，t=-dydxdy9r.为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数M、j）必须满足一定的方程，将上述应 力分最代入平面应力问题的相容方程，得v4=-（i-/7）v2r脩粉简写为将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得17简写为1-49、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为p,试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为相应的应力分量表达式为d2（p-也=2cx+6(p=ax 3+bx2y+cxy 2+dyd2(p fd2(p f% =T-K =6依+2 勿，一困，% =-2bx-2c)Civ-CJWVJ所以有这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来号察，如果适当选择各个系数，是否能满 足应力边界条件。上边，1，=0, 1=0, ?=一1,没有水平面力,对上端面的任意X值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力,所以有对上端而的任意x值都应成立,可见因此，应力分量可以简化为斜面，片xtana , Z=cos一(%)10=2匕工=0b=0一(cr)a=6ax=067=0ax=2cx+6dy, ay=-pg) T-lcy仔)?=cos(a)=cosa ,没有面力，所以有缸+”门)=0、*k A,srtantf冷4=xtana由第一个方程，得-(2cx+6vtanaina-2cvtanacosa=-4cxsina-6rZxtanasina=0对斜面的任意无值都应成立，这就要求一 4c - 6dtana=0由第二个方程，得2cxtanasina-pgxtanacosa=2cxtanasina-pgxsina=0对斜面的任意x值都应成立，这就要求2ctana咫=0 (1 分)由此解得1 7 1c=pgcota (1 分)，d=pgcoVa23从而应力分量为ax=pgxcota-2pgyco2a, ay=-pg %=一侬0匕设三角形悬臂梁的长为人高为儿则tana=。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x 方向的分量为0,沿y方向的分量为-;廖/力。因此，所求5r在这部分边界上合成的主矢应为零, 一应当合成为反力一;因优。(7t ) dy=(pglcoXa-2pgyxoVa)ly=pglhcota-pgh2cot2a=0 Gr)=/ 加(rPgya H=-gpgh2 coia=pglh可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅由，右面与铅克面成角a,下端作为无限长，承受重力及液体压力,找形体的密度为P】，液体的密度为?”试求应力分量。v N解:采用半逆解法。首先应用晟纲分析方法来假设应力分量 A的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当.（与qg成正比（g是重力加速度）：另一部分由液体压力引起,P2g Pig 应当与夕送成正比。此外，每一部分还与a, x, y有关。由y于应力的量纲是LMT2,话和。退的量纲是L-2MT-2,。是量纲一的量，而、和y的量纲是L,因此，如果应力分量具仃多项式的解答，那么它们的表达式只可能是 即巴即回，Cp2gx ”2型四项的组合，而其中的4比C,。是量纲一的量，只与a有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力题数比应力分量的长度量纲高二次，应该是 x和y纯三次式，因此，假设3,22 3（p=ax +bxy+cxyay相应的应力分量表达式为d2(p f d2(p ,d2(p .*一 L也=2cv+6力,(tv- . -yfY =6ax+2by-p, t-=-Ibx-lcy ov“oxoxc-LJ这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满 足应力边界条件。左面，X=O./=一1, D1=O 9作用有水平面力夕所以有- 9）=0 =-6m=2 幻 对左面的任意y值都应成立，可见同时，该边界上没有竖直面力，所以有-（）x=o=2cy=。对左面的任意y值都应成立，可见c=0因此，应力分量可以简化为。一夕？幻，07=6。、+2一夕1 幻,，r,=-2bx斜面，x=ytana , l=cosa , 7w=cos| 雪a |=-siiia,没有面力，所以有 2)(q+加%)=06/(7v+/rn.)=0I、 J Q r=vtana由第一个方程，得-p?gvcosa+2 m anasina=0对斜面的任意y值都应成立，这就要求-.gcosa+2anasina=0由第二个方程，得一(6ajtana+2i-Pgyina-2tanacosa=(-6atanasina-4bsina+0gsina)v=O对斜面的任意x值都应成立，这就要求-6atana-4。+p、g=0由此解得n=pcota-p2gcot3a b=p2gco2a632从而应力分量为0*=一。2幻,，CTV =(91 gcota-2p2gcot3 a )+(92gcot2 a-pxg , r-pcova第二种状态可取为弹性体受均匀压力p的状态（图3-1 （b）,应力分量为6=c： =6 =_p , .=孚名一。（6 +。、. +仁）=_3。，任何方向的正应变都是 = _上生，力E E LEP作用点之间的距离为/,在第二种状态下这段距离的缩短为。二也p/,第二种状态边界 E上面力为t2）=_p（q,%,%）,（勺,%,%）为边界法向方向，根据功的互等定理，有=jj t11。出5 = J即十.即+年）加）/=-PJJ （.+ 1。力、+ w* 工）ds=吓Q十史二史,与J -PAV 邛/& Vv = _尸匕也/,也就是说体积缩小了尸上三2/, EE