（全国通用）高考数学大一轮复习 不等式选讲 第2节 不等式的证明课件 理 新人教B

第第2节节 不等式的证明不等式的证明 最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. 知知 识识 梳梳 理理 1.均值不等式 定理 1：如果 a，bR，那么 a2b2_，当且仅当_时，等号成立. 定理 2：如果 a，b0，那么ab2_，当且仅当_时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 定理 3：如果 a，b，cR，那么abc3_，当且仅当_时，等号成立. 2ab ab ab abc 3abc ab 2.不等式的证明方法 (1)比较法 作差法(a，bR)：ab0_；ab0a0，b0)：ab1ab；ab1ab 推理 论证 分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的_，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. 充分条件 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( ) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( ) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 诊诊 断断 自自 测测 答案 A 2.若 ab1，xa1a，yb1b，则 x 与 y 的大小关系是( ) A.xy B.xb1 得 ab1，ab0，所以（ab）（ab1）ab0，即 xy0，所以 xy. 3.(教材习题改编)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，则M，N的大小关系为_. 解析 2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab). 因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0， 从而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b. 答案 MN 答案 4 4.已知 a0，b0 且 ln(ab)0，则1a1b的最小值是_. 解析 由题意得， ab1， a0， b0， 1a1b1a1b(ab)2baab22baab4.当且仅当 ab12时等号成立.1a1b的最小值是 4. 5.已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy. 证明 因为x0，y0， 所以 1xy233xy20，1x2y33x2y0，故(1xy2)(1x2y)33xy233x2y9xy. 考点一考点一 比较法证明不等式比较法证明不等式 【例11】 (2017 江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216.试证明：acbd8. 证明 (a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2(a2c2b2d22acbd) b2c2a2d22acbd(bcad)20， (a2b2)(c2d2)(acbd)2， 又a2b24，c2d216. 因此(acbd)264，从而acbd8. 【例 12】 (一题多解)已知 a0，b0，求证：abba a b. 证明 法一 因为abba( a b)（ a）3（ b）3（ a b） abab （ a b）（ a b）2ab， a0，b0，（ a b）（ a b）2ab0. 因此abba a b. 法二 由于abbaa ba ab bab（ a b） （ a b）（a abb）ab（ a b） abab12 abab11. 又 a0，b0， ab0，所以abba a b. 规律方法 1.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号. 2.在例 12 证明中，法一采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明 ab 转化为证明ab1(b0). 提醒 在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号. 【训练 1】 设 a，b 是非负实数，求证：a2b2 ab(ab). 证明 因为 a2b2 ab(ab)(a2a ab)(b2b ab) a a( a b)b b( b a) ( a b)(a ab b)(a12b12)(a32b32). 因为 a0，b0，所以不论 ab0，还是 0ab，都有 a12b12与 a32b32同号， 所以(a12b12)(a32b32)0，所以 a2b2 ab(ab). 考点二考点二 综合法证明不等式综合法证明不等式 【例21】 (2017 全国卷)已知实数a0，b0，且a3b32. 证明：(1)(ab)(a5b5)4； (2)ab2. 证明 (1)a0，b0，且a3b32. 则(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6 (a3b3)22a3b3ab(a4b4) 4ab(a42a2b2b4)4ab(a2b2)24. (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab) 23（ab）24(ab)23（ab）34， 所以(ab)38，因此 ab2. 【例 22】 (2016 全国卷)已知函数 f(x)x12x12，M 为不等式 f(x)2 的解集. (1)求 M； (2)证明：当 a，bM 时，|ab|1ab|. (1)解 f(x)2x，x12，1，12x12，2x，x12.当 x12时，由 f(x)2 得2x1，所以1x12；当12x12时，f(x)2 恒成立. 当 x12时，由 f(x)2 得 2x2，解得 x1，所以12x1. 所以 f(x)2 的解集 Mx|1x1. (2)证明 由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1， 从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21 (a21)(1b2)0， 所以(ab)2(1ab)2，因此|ab|1ab|. 规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. 2.在用综合法证明不等式时，不等式的性质和均值不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件. 【训练 2】 (2018 石家庄调研)已知函数 f(x)2|x1|x2|. (1)求 f(x)的最小值 m； (2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 abcm，求证：b2ac2ba2c3. (1)解 当x3； 当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x4， 此时，3f(x)6； 当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6. 综上可知，f(x)的最小值m3. (2)证明 a，b，c 均大于 0，且 abc3. (a b c) b2ac2ba2cab2abc2bca2c2b2aac2bba2cc 2(abc)(当且仅当 abc1 时取“”)， 所以b2ac2ba2cabc，故b2ac2ba2c3. 考点三考点三 分析法证明不等式分析法证明不等式 【例 3】 已知 abc，且 abc0，求证： b2acbc 且 abc0，知 a0，c0.要证 b2ac 3a， 只需证 b2ac3a2.abc0，只需证 b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0， 只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0， (ab)(ac)0 显然成立，故原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件 【训练 3】 (2018 福州八中质检)已知函数 f(x)|x1|. (1)解不等式 f(x)f(x4)8； (2)若|a|1，|b|a|fba. (1)解 依题意，原不等式等价于|x1|x3|8. 当x1时，则2x28，解得x3. 所以不等式f(x)f(x4)8的解集为x|x3或x5. (2)证明 要证 f(ab)|a|fba， 只需证|ab1|ba|， 只需证(ab1)2(ba)2. |a|1，|b|1，知a21，b20. 故(ab1)2(ba)2成立. 从而原不等式成立.