线性代数习题解答

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线性代数习题解习题一 A组1.计算下列二阶行列式（1） （2） （3） （4）2.计算下列三阶行列式（1）=1+8+27-6-6-6=18 （2） （3） （4）3. 当k取何值时，=0.解：， 得 ， 所以 或 。4.求下列排列的逆序数. 解：(1) . (2) . (3) .(4) .5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 中一项?如果是,该项应取什么符号?解：(2) 不是. 因为 中有俩个元素在第一列.(3) 是. 对应项为 所以该项应取负号。6.选择i, j使成为五阶行列式 中带有负号的项解: 当 时, , 是奇排列.当 时, , 是偶排列.所以 i = 1, j = 5. 8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1) (2) . =(3) (4) .（5）（6）9.用行列式性质证明:(1) =证明: .(2) =证明: . (3) 证明: = .10.解下列方程: (1) 解: 由 得 所以 或 .(2) 解: 由 = 得 , 所以 , .15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1）解：由系数行列式 , . (3) 解: 由系数行列式 63 得 , ,. 16.判断下列齐次方程组是否有非零解:(1) 解:由系数行列式 (第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解. (2). 解:由系数行列式 此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 有非零解.则取何值?解:由系数行列式 其齐次线性方程组有非零解,则 或 .习题二 A组 1.计算下列矩阵的乘积. (1) .解： .（2） (3) .解： .（4）解：=+ 2. 计算下列各矩阵: (1) .解： .（2）解: = (3) .解： = ,其中 .(4) 解： = 其中 , .5. 证明：对任意矩阵，与都是对称方阵；而当为阶对称方阵时，则对任意阶方阵，为对称方阵.证明： （1）为阶方阵， 又 为阶对称方阵同理为阶对称方阵（2）为阶方阵， 为阶对称方阵 又 为阶对称方阵 6.设均为阶方阵.证明:如果 则 解: 由已知 则 .且 即 , 则 . 得 .8.（3）解： 9. 解下列矩阵方程: (1) 解: 由 , 得 . (3) 解: 由 , 即 . 11. 设 , 求解: 由已知 因 存在, 则 由 所以 .12.设均为n阶方阵，为n阶单位阵，证明： （1） 若 则可逆； （2） 若 则可逆，并求. 解: （1）由已知 , 即,所以 可逆,且. （2）由已知 , 所以 可逆,且. 14.设, 求 及.解: , 由, 所以 . 由, 所以 .15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形:(1) 解: 16.求下列各矩阵的秩：（2） 所以17.设，且矩阵的秩为2，求解：因为，所以=0 又因为， 所以 即习题三 A组2. 设，其中 , 求向量.解:由已知 , 即, 所以 3. 设向量组线性无关,而向量组 试判断向量组的线性相关性.解:设数 使得 成立，即 ，得线性方程组，其系数行列式线性方程组只有唯一解，则向量组的线性无关.5.已知向量组 问取何值时向量组线性无关或向量组线性相关.解:设数 使得成立，得线性方程组 ， 其系数行列式.所以 线性方程组有非零解 向量组线性相关; 线性方程组只有零解 向量组线性无关. 6.设向量组线性无关,证明向量组也线性无关.解：设数 使得成立，得线性方程组， 其系数行列式线性方程组只有唯一解，所以向量组线性无关. 7. 设向量组线性无关,判断向量组线性相关性并证明之.解：设数 使得 成立得线性方程组 其系数行列式则线性方程组有非零解，所以向量组线性相关 . 9.若向量组线性无关,而向量不能由线性表示,证明向量组线性无关. 证明: 反证法.设线性相关,由定理3.1向量可由线性表示,这与已知条件矛盾.假设不成立.所以向量组线性无关.10.判断题(结论对的请在括号内打“” ,错的打“”)(1) 若当数时,有则向量组线性无关. ( ). (2) 若有个不全为零的数, 使得则向量组线性无关 ( ). (3) 若向量组线性相关,则可由其余向量线性表示. ( ). (4) 设向量组;.若向量组线性无关,则向量组也线性无关. ( ). (5) 若向量组线性无关,则向量不能由线性表示. ( ). (6) 若向量组线性无关且向量不能由线性表示,证明向量组线性无关. ( ). (7) 若向量不能由线性表示,则向量组线性无关. ( ).提示: 利用向量组 讨论(1)(4),(7),利用定理3.1和3.2讨论(5),(6).12.求下列向量组的秩,并求它的一个极大无关组. (1) .解: 取矩阵 所以向量组的秩为3，极大无关组是. (2) .解: 取矩阵 所以向量组的秩为3，极大无关组是. (3) 解: 取矩阵 所以向量组的秩为3，极大无关组是.14.求解线性方程组.(1) 解： 由增广阵 所以 . (2) 解：由增广阵 得 , 所以此方程组无解.(3) 解：由增广阵得同解方程组 ; 取 得通解 (4) 解：由增广阵 得同解方程组取 得通解 .15.求下列齐次线性方程组的基础解系及全部解.（1）解：由系数阵 得同解方程组 , 取 得通解 ， 基础解系. (2) 解：由系数阵 得同解方程组 取 得通解 ，基础解系. (4) 解：由系数阵 得同解方程组 , 取 , 得基础解系 , 通解 . 18.已知非齐次线性方程组 解: 由增广阵 知: 当时, ,方程组有无穷多解,通解为 ; 当时, 则 ,方程组无解; 当时, 有,方程组有唯一解.19.问取何值时，线性方程组有唯一解，无解，无穷多解（无穷多解时并求其解）解：（1）系数行列式= 当时方程组有唯一解（克拉默法则） （2）当时， 所以线性方程组无解（3）当时，当时，即时 ，方程组有无穷多解，同解方程组为 令 得方程组的特解 取得基础解系此时全部解为 其中为任意常数20. 设 将表示成向量组的线性组合.解: 设数 使得 得 其增广阵 得, 即.21.设四元线性方程组的系数矩阵的秩为3，是其3个解向量，且，.求其全部解解： 所以全部解为 其中为任意常数B组1. 判断题(结论对的请在括号内打“” ,错的打“”)(1) 若,则维向量组线性相关. ( )提示:定理3.3的推论2.(2)若向量组线性相关,则它的任意一个部分组都相关. ( )提示:利用上面(10)题解中的讨论.(3) 若向量组线性相关,则它的秩小于,反之也对. ( )提示: 若向量组的秩为,则若.(4) 向量组的极大无关组为. ( )提示: 向量组的秩为3.(5) 若阶方阵的行列式不等于零,则的列向量组线性相关. ( )提示: 由阶方阵的行列式不等于零, 方阵的秩,和的列向量组的秩=方阵的秩, 则的列向量组线性相关. 2. 填空题(1) 向量组的秩= 2 .解: 由.(2) 若都是齐次线性方程组的解向量,则= 0 .解: .(3) 若向量组线性相关,则1 .解: 由线性相关,有 .即 . (4) 方程组的基础解系所含向量的个数= 1 .解:由系数阵的秩是2,.(5) 方程组的基础解系为 .(6) 若线性方程组的有解,则长数 15/4 .解: 线性方程组的有解,则其系数阵的秩=增广阵的秩,有所以 .3. 单项选择题(1) 向量组(I)线性相关的充分必要条件是（ B ）. (A) (I)中每个向量都可由其余向量线性表示. (B) (I)中至少有一个向量都可由其余向量线性表示. (C) (I)中只有一个向量都可由其余向量线性表示. (D) (I)中不包含零向量.提示:定理3.2.习题四 A组10.下列矩阵是否为正交矩阵？（1） （2）解：（1），其中 所以为正交矩阵（2），其中 所以不是正交矩阵11.设是阶对称矩阵，是阶正交矩阵，证明也是对称矩阵证明： 由题意可知， 因为 所以也是对称矩阵习题五 A组1. 设矩阵 , 试证向量为矩阵的属于特征值的特征向量.解：由 所以向量为矩阵的属于特征值的特征向量. 3. 若是矩阵的一个特征值, 是正整数,试证是矩阵的一个特征值.证明: 由是矩阵的一个特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩阵的属于特征值的特征向量.那么有所以是矩阵的一个特征值.4. 若是矩阵的一个特征值,试证（1）是矩阵的一个特征值;（2）若,矩阵的特征值只能等于-2或1.证明: 由是矩阵的一个特征值,存在非零向量,使得成立,即是矩阵的属于特征值的特征向量.那么有 (1) 所以是矩阵的一个特征值.(2) 由, 和 , , 有,得,即矩阵的特征值只能等于-2或1.7. 求下列矩阵的特征值与特征向量. (1) 解：由 得特征值 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意非零常数.当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意非零常数. (2) 解：由 得特征值 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组,即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意非零常数. (3) 解：由 得特征值 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意不同时为零常数.8. 设为3阶矩阵,满足, 求 (1)的特征值; (2)的行列式.解: (1) 因得因即得因即得(2)由和,有.9. 已知矩阵 的特征值求的值，并求矩阵特征向量。解：由和,因 ， 得 . 当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,由其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意不同时为零常数.当时,对应的特征向量应满足齐次线性方程组，即,由其基础解系.所以矩阵的属于特征值的全部特征向量为,其中是任意不同时为零常数.12. 设3阶矩阵的特征值为-2，-1，3，矩阵，求矩阵的行列式。解 因为的特征值为-2，-1，3，。所以的特征值为17，9，-3，所以。17.设为阶可逆矩阵，且相似于，试证：（1）为可逆矩阵 （2）相似于（1）证明：因为相似于，所以存在可逆矩阵使 因为为阶可逆矩阵，所以，即 所以为可逆矩阵（2）因为，所以，所以相似于19. 已知3阶矩阵与相似，的特征值为，求行列式的值。解 因为与相似，所以与有相同的特征值，所以的特征值也为，所以的特征值为1,2,3，所以。24试证：若正交矩阵有实特征值，则该特征值等于1或.证明：设为正交矩阵的特征值，为对应的非零特特征向量 或即该特征值等于1或.25.若为奇数阶的正交矩阵，且，试证1是的一个特征值证明：因为为奇数，所以 即，所以1是的一个特征值26. 若为阶正交矩阵，且，试证是的一个特征值证明： 即，所以是的一个特征值27.若是正交矩阵的特征值，试证也是的一个特征值证明：因为是正交矩阵的特征值，所以是的一个特征值 又因为 而且与的特征值相同，所以是的一个特征值28. 下列矩阵为是对称阵，求正交矩阵，使为对角矩阵 解 ，所以。当时，所以当时，所以因为是属于不同特征值的特征向量，所以是正交的，将单位化，得，第六章1. 写出下列二次型的矩阵 ； 解 ； 解 ；解 ； 解 ； 解 2. 写出下列对称矩阵对应的二次型 解 ； ； 解 ； 解 ； 解 ； 解 3. 求二次型的秩.解 所以，所以的秩也为2.4. 已知二次型的秩等于1，求的值.解 ，因为的秩等于1，所以，所以，即.8. 判定下列二次型是否为正定二次型 解 ，40， ，所以是正定二次型. 解 ，20， ， 所以不是正定二次型.9. 当取何值时，下列二次型为正定二次型 解 ，要使二次型是正定二次型，则，解得 . 解 ，要使二次型是正定二次型，则，即，即，解得 .10.设为阶正定矩阵，试证证明：由题意可知，的特征值都是非负的，则的每个特征值都大于1，又因为等于所有特征值的乘积，所以 膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈膁蒀蒈螄芁膀蚄蚀袇节蒆薆袆莅蚂羄袅膄蒅袀袅芇螀螆袄荿薃蚂袃蒁莆羁袂膁薁袇羁芃莄螃羀莆薀虿罿肅莂薅罿芇薈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅羆膂葿蚁羅芄蚄薇肄莆蒇袆肃肆蚃螂肃膈蒆蚈肂莁蚁蚄肁蒃薄羃肀膃莇衿聿芅薂螅肈莇莅蚀膇肇薀薆膇腿莃袅膆节蕿袁膅蒄莂螇膄膃蚇蚃膃芆蒀羂膂莈蚅袈