【创新设计】2014高考数学一轮复习 第八章 直线的倾斜角与斜率直线的方程训练 理 新人教A版
[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．
3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．
2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．
3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：
(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．
(2)主要是涉及直线方程和斜率.
[归纳知识整合]
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①一个前提：直线l与x轴相交；
一个基准：取x轴作为基准；
两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．
②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0.
③倾斜角的取值范围为[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：若直线的倾斜角θ不是90，则斜率k＝tan_α.
②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.
[探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？
提示：这种说法不正确．由k＝tan θ知，当 θ∈时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．
2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系
[探究] 2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？
提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．
3．直线方程的几种形式
名称
条件
方程
适用范围
点斜式
斜率k与点(x0，y0)
y－y0＝
k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
斜率k与截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
两点
(x1，y1)，
(x2，y2)
不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2)
截距式
截距a与b
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
[探究] 3.过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？
提示：当x1＝x2，或y1＝y2时，由两点式方程知分母此时为零，所以不能用两点式方程表示．
[自测牛刀小试]
1．(教材习题改编)若直线x＝2的倾斜角为α，则α( )
A．等于0 B．等于
C．等于 D．不存在
解析：选C 因为直线x＝2垂直于x轴，故其倾斜角为.
2．(教材习题改编)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：选A 由题意知，＝1，解得m＝1.
3．过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )
A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：选B 直线斜率为＝－1，
其方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
4．直线l的倾斜角为30，若直线l1∥l，则直线l1的斜率k1＝________；若直线l2⊥l，则直线l2的斜率k2＝__________.
解析：∵l1∥l2，∴kl1＝tan 30＝.
∵l2⊥l，∴kl2＝－＝－.
答案： －
5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x等于________．
解析：因为kAB＝＝2，kAC＝＝－.
A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC，即－＝2，
解得x＝－3.
答案：－3
直线的倾斜角和斜率
[例1] (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
(2)已知两点A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，则直线AB的倾斜角为________；
(3)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
[自主解答] (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤或≤ θ<π.
(2)设直线AB的倾斜角为θ，斜率为k，则
k＝tan θ＝＝－1.
又θ∈[0，π)，
所以θ＝.
(3)如右图，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
[答案] (1)B (2) (3)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)
若将P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围．
解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
借助图形可知，直线l的斜率的取值范围为.
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斜率的求法
(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tan α求斜率；
(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
1．直线l：xsin 30＋ycos 150＋1＝0的斜率是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选A 设直线l的斜率为k，
则k＝－＝.
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B．－
C．－ D.
解析：选B 设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋7＝2,1＋y＝－2，
解得x＝－5，y＝－3，从而kl＝＝－.
直线的平行与垂直的判断及应用
[例2] 若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________.
[自主解答] 因为两直线平行，
所以有a(a－1)＝2，
即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
[答案] 2或－1
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用一般式确定两直线位置关系的方法
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
的充分条件
≠(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
＝＝(A2B2C2≠0)
3．已知l1的倾斜角为45，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝________.
解析：k1＝tan 45＝1，k2＝，
∵l1⊥l2，∴k2＝＝－1，解得m＝－6.
答案：－6
4．已知过点A(－2，m)，B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为________．
解析：由题意知，kAB＝＝－2，
解得m＝－8.
答案：－8
直 线 方 程
[例3] (1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0,0)，A(1,3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
(2)直线l经过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点．△OAB的面积为12，则直线l的方程是________________________________________________．
[自主解答] (1)因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为：y－3＝－3(x－1)．
(2)法一：设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)．
则有＋＝1，且ab＝12.
解得a＝6，b＝4.
所以所求直线l的方程为＋＝1，
即2x＋3y－12＝0.
法二：设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
令x＝0，得y＝2－3k>0；
令y＝0，得x＝3－>0.
所以S△OAB＝(2－3k)＝12，解得k＝－，
故所求直线方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.
[答案] (1)D (2)2x＋3y－12＝0
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求直线方程的常用方法
(1)直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中系数，写出直线方程．
(2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程．再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．
5．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解：(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则
x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
1个关系——直线的倾斜角和斜率的关系
(1)任何的直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0
0<α<90
90
90<α<180
k
0
k>0
不存在
k<0
3个注意点——与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点
(1)明确直线方程各种形式的适用条件
点斜式斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．在应用时要结合题意选择合适的形式，在无特殊要求下一般化为一般式．
(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．
(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率存在与否加以讨论.
易误警示——有关直线方程中“极端”情况的易误点
[典例] (2013常州模拟)过点P(－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为_______________________________．
[解析] 当截距不为0时，设所求直线方程为
＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵点P(－2,3)在直线l上，∴－2＋3－a＝0，
∴a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0.
当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，则有
3＝－2k，即k＝－，
此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.
综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
[答案] x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
1．因忽略截距为“0”的情况，导致求解时漏掉直线方程3x＋2y＝0而致错，所以可以借助几何法先判断，再求解，避免漏解．
2．在选用直线方程时，常易忽视的情况还有：
(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；
(2)选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况．
已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为________________．
解析：当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
当m≠2时，直线l的方程为＝，
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为m＝2时，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，
即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013秦皇岛模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，所以α＝.
2．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：选C 由已知kAB＝2，即＝2，解得m＝3.
3．若直线经过点(1,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则这样的直线共有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
解析：选B 作图易得在第一、二、四象限各能围成一个．
4．(2013银川模拟)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．3或－1
解析：选C 由题意知，l1∥l2⇔＝≠，
即a＝－1.
5．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点( )
A. B.
C. D.
解析：选D 原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直线都过定点.
6．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与直线bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以两条直线的斜率分别为k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1k2＝－＝－1，所以两条直线垂直．
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，而α∈∪，则k的取值范围是________________．
解析：当α∈时，k＝tan α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
8．已知直线x－ky＋1＝0与直线y＝kx－1平行，则k的值为________．
解析：若两直线平行，则k＝，解得k＝1.
答案：1
9．(2013皖南八校联考)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为________．
解析：∵两直线互相垂直，∴a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，
∴ab＝＝a＋，
∴|ab|＝＝|a|＋≥2(当且仅当a＝1时取等号)．
答案：2
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l的斜率为1；
(2)直线l在x轴上的截距为－3.
解：(1)因为直线l的斜率存在，所以m≠0，于是直线l的方程可化为y＝－x＋.由题意得－＝1，解得m＝－1.
(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
法二：直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.
11．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝.
②当m≠－1时，m＋1∈∪，
即k＝∈(－∞，－ ]∪，
所以α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为.
12．如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45和30角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解：由题意可得kOA＝tan 45＝1，
kOB＝tan(180－30)＝－，
所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(， )．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝.
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.
1．直线l过点(－1,2)且与直线3y＝2x＋1垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：选A 法一：设所求直线l的方程为3x＋2y＋C＝0，则3(－1)＋22＋C＝0，得C＝－1，即l的方程为3x＋2y－1＝0.
法二：由题意知，l的斜率是k＝－，则直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
2．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1
1或k<
C．k>或k<1 D．k>或k<－1
解析：选D 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，
则－3<1－<3，解得k>或k<－1.
3．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．
解析：∵线段AB的方程为＋＝1(0≤x≤3)，
∴y＝4－x，代入xy得xy＝－x2＋4x＝－2＋3，∴由二次函数性质知，当x＝时，xy的最大值等于3.
答案：3
4．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
解：法一：设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1，b＝.
从而S△ABO＝ab＝a＝.
故有S△ABO＝
＝(a－3)＋＋6
≥2 ＋6＝12，
当且仅当a－3＝，
即a＝6时，(S△ABO)min＝12，
此时b＝＝4.
故所求直线l的方程为＋＝1，
即2x＋3y－12＝0.
法二：设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
代入P(3,2)，得＋＝1≥2 ，
得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，
当且仅当＝时，等号成立，此时k＝－＝－，
故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
法三：依题意知，直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，
则有A，B(0,2－3k)，
则S△AOB＝(2－3k)
＝
≥＝(12＋12)＝12，
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．
故所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
法四：如右图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N.
设θ＝∠PAM＝∠BPN，
则S△AOB＝S△PBN＋S四边形NPMO＋S△PMA
＝33tan θ＋6＋22
＝6＋tan θ＋
≥6＋2 ＝12，
当且仅当tan θ＝，
即tan θ＝时，S△AOB＝12，此时直线l的斜率为－，其方程为2x＋3y－12＝0.
[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、会求两条平行直线间的距离.
1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出现在相关的位置关系中．
2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与圆或圆锥曲线的问题中来考查.
[归纳知识整合]
1．两条直线的交点
设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组
的解，
(1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；
(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立．
[探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？
提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个交点时，两条直线重合．
2．距离
点P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝
[探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？
提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．
[自测牛刀小试]
1．(教材习题改编)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：选D d＝＝.
2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3,4)，则AB的长为( )
A．10 B．5
C．8 D．6
解析：选A 设A(a,0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．所以|AB|＝＝＝10.
3．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝( )
A．－1 B．－
C．2 D.
解析：选B 由得
将其代入x＋by＝0，得b＝－.
4．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为________．
解析：设直线l1的方程为x＋y＋λ＝0，则
＝＝，解得λ＝1或λ＝－3.即直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
5．点(2,3)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．
解析：设对称点为(a，b)，则
解得
答案：(－4，－3)
两条直线的交点问题
[例1] (1)经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程是________________．
(2)已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0，若l1与l2相交，则实数m，n满足的条件是__________．
[自主解答] (1)法一：由方程组
解得即点P(－2,1)，
∵l3⊥l，∴k＝－，
∴直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.
法二：∵直线l过直线l1和l2的交点，
∴可设直线l的方程为x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，
即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.
∵l与l3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－.
∴直线l的方程为x＋y＝0，即x＋2y＝0.
(2)因为两直线l1与l2相交，所以当m＝0时，l1的方程为y＝－，l2的方程为x＝，两直线相交，此时m，n满足条件m＝0，n∈R；
当m≠0时，由两直线相交．
所以≠，解得m≠4，此时，m，n满足条件m≠4，n∈R.
[答案] (1)x＋2y＝0 (2)m≠4，n∈R
若将本例(1)中条件“垂直”改为“平行”，试求l的方程．
解：由方程组解得
即点P(－2，1)．
又l∥l3，即k＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x＋2)，
即2x－y＋5＝0.
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经过两条直线交点的直线方程的设法
经过两相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(这个直线系方程中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0.
1．设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.
(1)证明l1与l2相交；
(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．
证明：(1)反证法：假设l1与l2不相交，则l1与l2平行，则有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0得k＝k＝－2，显然不成立，与已知矛盾，从而k1≠k2，即l1与l2相交．
(2)由方程组
解得交点P的坐标为，
而2x2＋y2＝22＋2
＝
＝＝1，
即交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上．
距离公式的应用
[例2] 已知点P(2，－1)．
(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；
(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？
(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
[自主解答] (1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，
过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.
若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝.
此时l的方程为3x－4y－10＝0.
综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作图可得过P点与原点O的距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，如图．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝.
(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，
因此不存在过P点且到原点距离为6的直线．
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求两条平行线间距离的两种思路
(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．
(2)利用两平行线间的距离公式．
2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2.
解：设点P的坐标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
∵点P(a，b)在上述直线上，
∴a－b－5＝0.①
又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴＝2，
即4a＋3b－2＝10，②
由①②联立可得或
∴所求点P的坐标为(1，－4)或.
对 称 问 题
[例3] 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
[自主解答] (1)设A′(x，y)，再由已知
解得
故A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
得M′.
设直线m与直线l的交点为N，则
由
得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
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求点关于直线对称问题的基本方法
(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
(2)已知点与对称点的中点在对称轴上．
利用以上两点建立方程组可求点关于直线的对称问题．
3．直线y＝2x是△ABC的一个内角平分线所在的直线，若点A(－4,2)，B(3,1)，求点C的坐标．
解：把A，B两点的坐标代入y＝2x知，A，B不在直线y＝2x上，因此y＝2x为∠ACB的平分线，设点A(－4,2)关于y＝2x的对称点为A′(a，b)，则kAA′＝，线段AA′的中点坐标为，∵
解得∴A′(4，－2)．
∵y＝2x是∠ACB平分线所在直线的方程，∴A′在直线BC上，∴直线BC的方程为＝，即3x＋y－10＝0.
由解得∴C(2,4)．
1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
1种思想——转化思想在对称问题中的应用
一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决．
2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的注意点
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑；
(2)运用两平行直线间的距离公式d＝的前提是将两方程中的x，y的系数化为分别相等.
创新交汇——新定义下的直线方程问题
1．直线方程是高考的常考内容，但一般不单独考查，常与圆、圆锥曲线、函数与导数、三角函数等内容相结合，以交汇创新的形式出现在高考中．
2．解决新定义下的直线方程的问题，难点是对新定义的理解和运用，关键是要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中．
[典例] (2013上海模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点．
对于以下结论：①符合[OP]＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；
②设P为直线x＋2y－2＝0上任意一点，则[OP]的最小值为1；
其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)．
[解析] ①由[OP]＝1，根据新定义得，|x|＋|y|＝1，上式可化为y＝－x＋1(0≤x≤1)，y＝－x－1(－1≤x≤0)，y＝x＋1(－1≤x≤0)，y＝x－1(0≤x≤1)，画出图象如图所示．根据图形得到四边形ABCD为边长是的正方形，所以面积等于2，故①正确；
②当点P为时，[OP]＝|x|＋|y|＝＋0<1，所以[OP]的最小值不为1，故②错误；所以正确结论有①.
[答案] ①
1．本题有以下创新点
(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙地结合创新．
(2)考查新定义、新概念的理解和运用的同时考查思维的创新，本题考查了学生的发散思维，思维方向与思维习惯有所不同．
2．解决本题的关键有以下两点
(1)根据新定义，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；
(2)认真观察直线方程，可举一个反例，得到[OP]的最小值为1是假命题．
3．在解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点
(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；
(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；(3)注意新概念、新结论的正用会怎样，逆用会怎样，变形用又将会如何．
四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0)，A(6,2)，B(4,6)，C(2,6)，直线y＝kx把四边形OABC分成两部分，S表示靠近x轴一侧那部分的面积．
(1)求S＝f(k)的函数表达式；
(2)当k为何值时，直线y＝kx将四边形OABC分为面积相等的两部分．
解：(1)如图所示，由题意得kOB＝.
①当4或m<－4 B．－43或m<－3 D．－34或m<－4.
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．
解析：d＝ ＝ ≥.
即最小值为.
答案：
8．与直线x－y－2＝0平行，且它们的距离为2的直线方程是________________．
解析：设与直线x－y－2＝0平行的直线方程为x－y＋c＝0，则2＝，得c＝2或c＝－6，即所求直线方程为x－y＋2＝0或x－y－6＝0.
答案：x－y＋2＝0或x－y－6＝0
9．平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________(将你认为所有正确的序号都填上)．
①0 ② ③1 ④2 ⑤3
解析：三条直线将平面分为6部分，则这三条直线相交于一点或有且只有两条平行，经验证可知，当k＝0,1,2时均符合题意．
答案：①③④
三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)
10．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
11．光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求BC所在的直线方程．
解：作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.
故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0.
12．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P，
(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．
解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，解得λ＝2或λ＝.
∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．
∴dmax＝|PA|＝.
1．记直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直时m的取值集合为M，直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行时n的取值集合为N，则M∪N＝________.
解析：当直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直时，m满足(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝或m＝－2，
故M＝；
直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行，当n＝0时，显然两直线不平行；当n≠0时，两直线平行的充要条件是＝≠，即n＝－2，所以N＝{－2}．
故M∪N＝.
答案：
2．已知 A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分线在y＝x＋1上，则AC所在直线方程是________________．
解析：设点A关于直线y＝x＋1对称的点A′为(x0，y0)，
则解得 即A′(0,4)．
故直线A′B的方程为2x－y＋4＝0.
由得
即C(－3，－2)．
故直线AC的方程为x－2y－1＝0.
答案：x－2y－1＝0
3．已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．
解：法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，
此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，
截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，
分别与直线l1，l2的方程联立，
由解得A.
由解得B.
由两点间的距离公式，得
2＋2＝25，
解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.
综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.
法二：设直线l与l1，l2分别相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.
两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②
联立①②可得或
由上可知，直线l的倾斜角分别为0和90，
故所求的直线方程为x＝3或y＝1.
法三：因为两平行线间的距离
d＝＝，
如图，直线l被两平行线截得的线段为5，
设直线l与两平行线的夹为角θ，则sin θ＝，
所以θ＝45.
因为两平行线的斜率是－1，
故所求直线的斜率不存在或为零．
又因为直线l过点D(3,1)，
所以直线l的方程为x＝3或y＝1.
4．已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点A(1,3)到直线l的距离为，求直线l的方程．
解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，可设方程为x＋y＋m＝0(m≠0)，
由已知＝，解得m＝－2或m＝－6，
故所求的直线方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距为零时，可设方程为y＝kx，
由已知＝，解得k＝1或k＝－7，
故所求的直线方程为x－y＝0或7x＋y＝0.
综上，所求的直线方程为
x＋y－2＝0或x＋y－6＝0或x－y＝0或7x＋y＝0.
[备考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.掌握确定圆的几何要素．
2.掌握圆的标准方程与一般方程.
圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆的基础知识时最常涉及的要素．大多以选择题或填空题的形式考查，有时也会穿插在解答题中，如2012年江苏T12等.
[归纳知识整合]
1．圆的定义
(1)在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．
(2)确定一个圆的要素是圆心和半径．
2．圆的方程
(1)标准方程
①两个条件：圆心(a，b)，半径r；
②标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圆的一般方程
①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圆的充要条件为：D2＋E2－4F>0；
③圆心坐标，半径r＝.
[探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？
提示：不一定．只有当D2＋E2－4F>0时，上述方程才表示圆．
2．如何实现圆的一般方程与标准方程的互化？
提示：一般方程与标准方程互化，可用下图表示：
3．点与圆的位置关系
(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．
(2)三个结论
圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；
③(x0－a)2＋(y0－b)21 D．k<－1或k>4
解析：选D 由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.
3．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是( )
A．－10)，
则
解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
(2)根据题意可知圆心坐标为(－1,0)，圆的半径长为＝，故所求圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
[答案] (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) (2)(x＋1)2＋y2＝2
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求圆的方程的两种方法
求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法：
①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．
1．求下列圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为
y＋2＝x－3.
与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，
所以半径r＝＝2.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中点坐标为(4,11)，
kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.
联立得
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝＝10，
所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
与圆有关的最值问题
[例2] 已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[自主解答] (1)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝.
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2.
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
本例条件不变，求点P(x，y)到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．
解：∵圆心(2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝，
∴P(x，y)到直线3x＋4y＋