徐芝纶弹性力学简明教程(第四版)所有课后习题解答

弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论1-1试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各 向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。非均匀的各向同性体如：混凝土。1-2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？ 一般的岩质地基和 土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性, 各向同性假定。【解答】一般的混凝土构件和土质地基町以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和 岩质地基不町以作为理想弹性体。1-3五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体枳都被组成这 个物体的介质所填满，不留卜任何空隙。引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理 最就町以看成是连续的。因此，建立弹性力学的基本方程时就町以用坐标的连续函数来表示 他们的变化规律。完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体左对应形变的外力被去除后，能够完全 恢复原型而无任何形变。这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者 之仙是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为 线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整 个物体的所右各部分才人仃相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的， 因而物体的弹性常数不随位豐坐标而变化。各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此 假定后，物体的弹性常数不随方向而变。小变形假定：假定位移利变形是微小的。亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的 位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。这样在建芷物体变形以后的 平衡力程时，就叫以力便的用变形以前的尺寸米代替变形以后的尺寸。任考寮物体的位移勺 形变的关系时，它们的二次幕或乘枳相对于其本身都町以略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性的微分方程。【1山】应力和面力的符号规定有什么区别？试画出正坐标面和负坐标面上的正的应力 和正的面力的方向。【解答】应力的符号规定是：当作用面的外法线方向指向坐标轴方向时（即正面时）， 这个面上的应力（不论是正应力还是切应力）以沿坐标轴的正方向为正，沿坐标轴的负方向 为负。当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时（即负面时），该面上的应力以沿坐标轴的 负方向为正，沿坐标轴的正方向为负。而力的符号规定是：当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正，沿坐标轴的负方向为负。 由卜图町以看出，正面上应力分量与面力分量同号，负而上应力分量与而力分量符号相 反。正的应力正的面力1#%)1-5试比较弹性力学和材料力学中关于切应力的符号规定。【解答】材料力学中规定切应力符号以使研究对象顺时针转动的切应力为正，反之为负。 弹性力学中规定，作用于正坐标面上的切应力以沿坐标轴的正方向为正，作用于负坐标 向上的切应力以沿坐林轴负方向为止，反之为负。1-6试举例说明正的应力对应于正的形变。【解答】正的应力包括正的正应力与正的切应力，正的形变包 括正的正应变9正的切应变，本题应从两方而解答。正的正应力对应于正的正应变：轴向拉伸情况卜，产生轴向拉 应力为正的应力，引起轴向伸长变形，为正的应变。正的切应力对应于正的切应变：在如图所示应力状态情况卜， 切应力均为止的切应力，引起直角减小，故为正的切应变。1-7试画出图14中矩形薄板的正的体力、面力和应力的方向。【解答】正的体力、面力Oz兀3#1-8试画出图1-5中三角形薄板的正的面力和体力的方向。【解答】1-9在图1-3的六面体h, y面上切应力6=的合力与z面上切应力的合力是否相 等？【解答】切应力为单位面上的力，量纲为I7lMT，单位为N/n?。因此，应力的合力应乘以相应的面积，设六面体微元尺寸如dxxdyx dz，则y面上切应力厂咒的合力为：rdxdz(a)z面匕切应力J的合力为：dxdy(b)由式(a) (b)可见，两个切应力的介力并不相等c【分析】作用在两个相互垂立面上并垂II于该两面交线的切应力的介力不相等，但对某 点的合力矩相等，才导出切应力互等性。#第二章平面问题的基本理论（24试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中（图2J4）其应力状态接近 于平面应力的情况。【解答】在不受任何面力作用的空间表面附近的薄层中町以认为在该薄层的上卜表面都无面力，且在薄层内所有各点都 = = = 0,只存在平而应力分量q.by巧.且它们不沿z方向变化.仅为x, y的函数。町以认为此问题是平面应力问题o【22】试分析说明，在板面上处处受法向约束J1不受切向面力作用的等厚度薄片中（2-15）,当 板边匕只受x, y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近干平面应变的情况。10)CSLf【解答】板上处处受法向约束时6=0,且不受切向面力作用，则 冷= 2 = 0（相应r=x = r= =）板边上只受X, y向的面力或约束，所以仅存 在6，耳，人，II不沿厚度变化，仅为x, y的函数，故其应变状态接近于平而 应变的情况。（2-3在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平很条 件工Me = 0改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形 式的方程？【解答】将对形心的力矩平衡条件工Mc=0,改为分别 对四个角点A、B、D、E的平衡条件，为计算方便，在z方 向的尺寸取为单位1。yviA=ocrydx l + (crx + dx)dy 1-(r. + dx)dy l dx- crydy 1-2dx一Sx2(a) COrlvdvrl v_(込.+ dy)dx l + g + dy)dx l dy+ 4dxdy l - fdxdy l = 02 2d(ydvdx(er + -dx)dy- b + (r + 二 dy)dx- ldy+ (er + dy)dxl 5x2dy62p)-r.dy 1 dx- rxdy1 * + fxdxdy l+ &4丫.1曽=0(b + -dy)dx-1 -rdy-1 dx+ axdy l +r dx l-dy8y22-7dx l- -(o-x + -dx)dy l - tdxdy l + Ldxdy l = 0 2Sx22 y2SMe=dxdydx-(cry + dy)dxl+(7xdyl+ r)xdx-1 dy+ 7ydxl5y一2(xo【分析】由本题町得出结论：微分体对任一点取力矩平衡得到的结果都是验证了切应力互等定Ho2-4在图2-3利微分体中,若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，验证将导出什么形 式的平衡微分方程？【解答】微分单元体ABCD的边长dxdy都是微量，因此可以假设在各而上所受的应力如图a 所示，忽略了二阶以上的高阶微量，而看作是线性分布的，如图（b）所示。为计算方便，单元体在 Z方向的尺寸取为一个单位。Wa(7.X,DA6Df厂(a) 各点正应力：OJA = 5 :(q)B = q + dy：6(b)(S)A = jObv)B严石dy(bJc = + 警 dx+警內；ex oydcr(S)D = q +盂肚5ada(S)c = S + 才 dx+ 才 Sy excy各点切应力:g)A=4)B = b + dy：dr dr(dx+ fvdxdy = 05crv(rv + -dx axdx+dy+ fvdxdy = 06 氐丿以上二式分别展开并约简，再分别除以dxdy,就得到平而问题中的平衡微分方程:【分析】由本题町以得出结论：弹性力学中的平衡微分方程适用于任意的应力分布形式。2-5在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是 什么？【解答】(1)在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假设是：物体的连续性和 小变形假定，这两个条件同时也是这两套方程的适用条件。(2) 在导出平而问题的物理方程时应用的基本假定是：连续性，完全弹性，均匀性和各向同性假 定，即理想弹性体假定。同样，理想弹性体的四个假定也是物理方程的使用条件。【思考题】平而问题的三套基本方程推导过程中都用到了哪个假定？【26】在工地上技术人员发现，当直径和厚度相同的情况下，在自重作用下的钢圆环（接近平 面应力问题）总比钢圆筒（接近平面应变问题）的变形人。试根据相应的物理方程來解释这种现彖。【解答】体力相同情况下，两类平面问题的平衡微分方程完全相同，故所求的应力分量相同。 由物理方程可以看出，两类平而问题的物理方程主要的区别在于方程中含弹性常数的系数。由于E 为GPa级别的量，而泊松比“取值一般在（0, 0.5）,故主要控制参数为含有弹性模屋的系数项，比 较两类平面问题的系数项，不难看出平面应力问题的系数1/E要人于平面应变问题的系数（1-A2）/Eo因此，平面应力问题情况卞应变要人，故钢圆环变形人。2-7在常体力，全部为应力边界条件和单连体的条件下，对丁不同材料的问题和两类平面问 题的应力分量0.和厂冷均相同。试问其余的应力，应变和位移是否相同？【解答】（1）应力分屋：两类平面问题的应力分量q，by和：矽均相同，但平面应力问题=而平面应变问题的TH h h a 6 h MS + S ）（2）应变分臺：已知应力分呈求应变分呈需要应用物理方程，而两类平面问题的物理方程不相同，故应变分量久2z=O矽相同，而不相同。（3）位移分量：由于位移分量要靠应变分量积分來求解，故位移分量对于两类平而问题也不同。图 2-162 8在图2-16中试导出无而力作用时AB边界上的 J by, 之间的关系式【解答】由题可得:1 = cos a. m = cos （a - 90 ） = sin aE（ab） = 0,.（ab） = 0将以上条件代入公式(2-15),得:9J屈 cosa + WJsina, (ay)siiia + (rx.)ABcosa = 0 =(氐)屈=一(.)屈 tan a =(齐)屈 tan2 a7【29】试列出图217图218所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原 理列出三个积分的应力边界条件。=01pgbh2y他b)v图 2-17【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件.若为小边界也町写成圣维南原理的三个积 分形式，人边界上应精确满足公式（215）。【解答】图2-17：上(y=0)左(x=0)右(x=b)1011111100亿(s)0Qg(y+h)- Qg(y+h)fy(s)00代入公式（215）得在主要边界上沪0, x=b上精确满足应力边界条件：（）3C=o=-pg（y+hiX（）3S=0=0；y b=-如 y+()“=o； 在小边界y=o上，能精确满足下列应力边界条件:（）网=业（切网=0 在小边界y = h2,能精确满足卜列位移边界条件：W =0，W）f = 0这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个枳分的应力边界条件來代替，当板厚5=1 时，町求得固定端约束反力分别为：耳=0,Fn = -pgbjbM = 0由于y=h为正面，故应力分量与面力分量同号，则有:fo(.)x=odx = -Fs9丄=0此=-片(M = -M-Fsl-2 2 2 2 由于41为正面，应力分量与面力分量同号，故J： )x=i dy = F； = qj - FnJ：(b*)m ydy =M，=罟-M _ Fsl - %匸：(5dy=FsTl-Fs92-10试应用圣维南原理，列出图219所示的两个问题中 OA边上的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是是 静力等效？【解答】由于hl, OA为小边界，故其上可用圣维南原理, 写出三个枳分的应力边界条件：（a）上端面OAjffi上面力fx = 0, fy = -qbQ XOFp XAhhAb/2 b/2F212by (hb,J=l)y(a)(b)图29xdxT；(xdx 赛qb12 （对OA中点取矩）由于OA面为负面.故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符 号相反.冇（b ）应用圣维南原理负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y向为正, 主矩为负，则kUdx=-FN=-y.J：（S）冋如-M = 航）网血=0综上所述，在小边界OA上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力 等效的。2-11检验平面问题中的位移分屋是否为正确解答的条件是什么？【鯉答】（1）在区域内用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在為上用位移表示的应力边界条件式（219）；（3）在上的位移边界条件式（2-14）：对于平面应变问题，需将E、作相应的变换。【分析】此问题同时也是按位移求解平面应力问题时，位移分最必须满足的条件。2-12检验平面问題中的应力分量是否为匸确解答的条件足什么？【傩答】（1）在区域A内的平衡微分方程式（2-2）：（2）在区域A内用应力表示的相容方程式（221）或（222）：（3）在边界上的应力边界条件式（215）,其中假设只求解全部为应力边界条件的问题:（4）对于多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是按应力求解平面问题时，应力分量必须满足的条件。【补题】检验平面问题中的应变分量是否为正确解答的条件是什么？【解答】用应变表示的相容方程式（220）2-13检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件足什么？【解答】（1）在区域A内用应力函数表示的相容方程式（225）：（2）在边界S上的应力边界条件式（2-15）,假设全部为应力边界条件；（3）若为多连体，还需满足位移单值条件。【分析】此问题同时也是求解应力函数的条件。（2-14检验卜列应力分量是否是图示问题的解答：q a a Q图 2-2011#(a)图 2-20, sx= Zrq, /12 I4 （还b） = J1/4_（1/2_1） （6 - bj由上式可见当-12= 0时，即1=卫 时，G为最大或最小，为 亿）3=空竺。因此2V 2miu2切应力的绘人，最小值发生在与x轴及y轴（即应力主向）成45的斜面上。（2）求最大，最小切应力作用面上，正应力S的值任一斜面上的正应力为最大、最小切应力作用面上1 = 厲0,带入上式，得入=牙（5-疔2）+6 =牙（5 + 6）证毕。2-16J设已求得一点处的应力分屋，试求5,6。(a)crx = 100,b、. = 50,. = 1050; (b)crx = 200, ay = 0,抵=-400;【解答】由公式(2-6)(c) q = 一2000, q. = 1000, j = -400: (d)q = -1000, q. = -1500石=500.200 + 0 +200-0+ (_400=512-312512 200a. = aictaii = arctan (-0.78) = -37571-4006 (0-2000+1000 +-2OOO+1OOOY+(_4OO)21052-205215#= aictan1052 + 2000 = arctan (-7.38)= -8232 - -400-1000-1500 +-1OOO + 15OOY + 50o2-691-1809好九沁一 691 + 1000診沁0.618 = 31。435002-17设有任意形状的等候厚度薄板体力可以不计，在全部边界上（包括孔I I边界上）受有均匀压力q。试证sx= sy= -q及q. = 0能满足平衡微分方程.相容方程和应力边界条件.也能満足位移单值条件因而就是正确的解答。【解答】（1）将应力分量q = by =-q.r矽=0 ,和体力分量$= = 0分别带入平衡微分方程、相容方程da dr+ + f = 0 dx dy K 竺工十经十F -0 dyB( + s)=o(b)显然满足（a） （b）（2）对于微小的三角板A, dx, dy都为止值，斜边上的方向余弦1 = cos（n、x）、m= cos（n、y）将氐=5 =丄鼻=0 代入平面问题的应力边界条件的表达式(215),且 = -qcos(n, x), f, = qcos(n, y),则有ax cos(n.x) = -q cos (n.x),crv cos (d y) = -q cos (n, y)所以 bx = _q,by = _q。对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。14#该题为平而应力情况.首先.将应力分量代入物理方程（212人 得形变分量.卑%心=響爲=0将（d）式中形变分量代入几何方程（28）,得(d)(e)前两式枳分得到qx+ (y),v=(“I)Eqy+ $(x)(f)#英中f；（y）,f；（x）分别任意的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f）代入式（e） 的第三式，得df；(y)_ df；(x)dy dx等式左边只是y的函数而等式右边只是x的函数。因此，只町能两边都等于同一个常数Q, 于是有=cod(y)_ 八 d$(x)=UJydydx积分后得 （yr-Qy+Uo, f；（x） = yx+v0代入式（f）得位移分量(A-l)E(A-l)Eqx_ey+u qy+ /x + vQ#其中为表示刚体位移量的常数.需由约束条件求得从式（g）町见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件。因而，应力分量是正确的解 答。2-18设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有 V F | 2-22）,体力町以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力by =0,然后证明这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明这12F弯应力s =一亍护该截面上的剪力为Fs（x） = -F 剪应力为硏bl2by/E(x)S -F lx(h3/12)h/2-y+ y =-取挤压应力空=0（2）将应力分量代入平衡微分方程检验“ I、八 12F12F*第一式：左=y y= 0 =右lr h第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程。（3）将应力分量代入应力表示的相容方程h3左=W (迄+竺一空=05x5x理+竺一空=0dy dx dy(a)将（a）式变换为dcr(b)(8* d2V=(1+)(d2V d2v=一 (1 一 “)19#即平面应力问题中的相容方程为V40 = -(!-/) W将(C)式代入公式(2-22)或将(d)式中的替换为佥的平面应变情况下的相容方程:即 V4O = -证毕。第三章平面问题的直角坐标解答3-1为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（215）,而在 小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代 替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2J5）,将会发生什么问题？【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边値问题，而要使边界条件完全得到满足, 往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很人的方便。将 物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影 响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝人部分的主要边界上 用三个枳分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15）,就会影响人部分区域 的应力分布，会使问题的解答精度不足。3-2如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应 力边界条件都己满足，试证：在域后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然 满足的，固而町以不必校核。【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体 的平衡条件，即外力（面力）与内力仆立力）的平衡条件。研究对彖整体的外力是满足平衡 条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个枳分的应力边界 条件是自然满足的，因而可以不必校核【33】如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主要边界和小 边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？【解答】在m个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15）, 共2m个；在11个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2d个：如果不能满足 公式（215）的柿确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件來代替2个精确 应力边界条件,共311个。3-4试考察应力函数6 = ay3在图38所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）？hX【解答】柑容条件：L1yi图3-8不论系数a取何值，应力函数nay3总能满足应力函 数表示的相容方程，式（2-25）.求应力分量当体力不计时，将应力函数代入公式（2-24）,得S = 6ayg = 0,y = 0考察边界条件上下边界上应力分最均为零，故上下边界上无而力.左右边界上：当a0时，考察分布情况，注意到： = 0,故y向无面力右 L(x)x.i=6ay(0ye = li/6同理町知，当avo时，町以解决偏心压缩问题。【35】取满足相容方程的应力函数为：（1） =ax2y,（2）=bjQT,=cxy3,试求出应力 分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上 的面力分布，并在小边界匕表示出面力的主矢最 和主矩。图3-9【解答】（1）由应力函数 J = 0 , J = -2by考察应力边界条件，主要边界,由公式(215)得h- h - h在y =-寸主要边界，上边界上，面力为4, y = -_l = bh,fl y = -l = O下边界上，面力为f；(y=-l = -bh,f；.2,在次要边界上，分布而力可按(2-15)计算.而里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件 求得：在左边界x=0,而力分布为E(x=O)= O, fy(x=0)= 2by面力的主矢、主矩为hx 向主矢：Fx=-J_2h()x=ody=0hhy 向主矢：Fy = -Jl（L0 dy = -H（-2by）x,0 dy = 02主矩:M=-J.h2%ydy=o在右边界x=l上，面力分布为#f(x=l) = 2bl, fy(x=l) = -2by面力的主矢、主矩为.h/2 zch/2X 向主矢：Fx = j_h/2(dy = J_h/22bldy = 2bUiy向主矢：FyT：亿 Ldy=J：(2by)dy = 0fh/2 z 、fh/2主矩：MLjeEydyuL/biydy弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示=0#=0#(3) C = cxy3将应力函数代入公式(224),得应力分量表达式q = 6cxy、by = 0,入=.=-3cy考察应力边界条件，在主要边界上应粘确满足式(2-15) 上边界丫 = -空上，面力为ch2, f；(y=-|l = 0 下边界尸彳上，面力为=0h)次要边界上，分布面力可按(2-15)计算.面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得: 左边界x=0上，面力分布为4(x=0) = 0, f.(x=0) = 3cy2而力的主矢、主矩为,b/2x向主矢：Fx = -j_h*2(ax)x=0dy=O疤主矢：Fy h -匸:(嗚 IQ dy=_C(-3Cy2)dy=|Ch3 主矩：M=-J(ax)x-oydy=O 右边界X=1上，面力分布为E(x=l) = 6cly, f(x = l) = -3cy2面力的主矢、主矩为f h/2 .、h/2X 向主矢 Fx =J_hz2()x=1dy = J_h/26clydy = 0y向主矢：F； = J：(sL dy=f(-3cy2)dy = -lch3 主矩：mT：G)口 ydy訂:AcWdy弓曲 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上而力的主矢和主矩，如图所示=0#=0#【解答】(1)将应力函数代入相容方程(2-25)04夕_介显然满足(2)将错误!未找到引用源。代入式(2-24),得应力分量表达式(3)由边界形状及应力分最反推边界上的面力：=0#h在主要边界上(上下边界)上，y = ，应精确满足应力边界条件式(2-15),应力 2I X因此，在主要边界y = 牙上，无任何面力，即E y=- =0,.在4(b x=l的次要边界上，面力分别为:I 2 /=025%1口1_7 RLTy因此，齐边界上的面力分布如图所示: 在40. x=l的次要边界上.面力可写成主矢、主矩形式: x=0上x=l上fh/2 -FyL/dyMrh/2 厂 L/ydyfi肉此，可以画出主要边界上的面力,和次要边界上面力的主矢与主矩，如图:洞主矢：FN1=f_；Jdy=o, 洞主矢:FSi=22f；.dy=F, 主矩：M=J：；Eydy=o,(a)(b)内此，该应力函数町解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题。一 12qy-24qy2 空=2xdxrdyr代入(225),町知应力因数满足相容方程。(2)将代入公式(2-24),求应力分量表达式:0，6qx2y 4qy3 3qy 一 XxX 一5- + 5敢h3h35h劣等+普)xy(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推而力：-( h)= o，fy(y=_Ny=-|)=-(rJ在主要边界y = E(下而)，也应该满足(2-15)E(y = h/2) = (rJ* = ，E(y=h/2) = (q)M2 = 0 在次要边界x=0上，分布面力为竺一聲，E(x=O)f) =0 5h h3 八) 仏。4(x=O)= -(ax)x=oj-a-h/2应用圣维南原理，可写成三个枳分的应力边界条件:在主耍边界y = - (上面)，应稍确满足应力边界条件(2-15)fh/2 -Fs 订 Jydy = om=J：；詈-嘗卜y=o / 在次要边界x= 1上，分布面力为6ql h2 丄E(x=i)=亿 L27#应用圣维南原理，町写成三个枳分的应力边界条件:, rh/2 一rh/2Fn =L/2f-(X=1)dy=L/2. ch/2 rh/2F=L2f/x=1)dy=J,h/26qlT_y2ry=_ql1?M，=C(x=1)ydy=C5h6qly 4曲 3qy2综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图(b)因此，此应力函数能解决悬宵梁在上边界受向下均布荷我q的问题。3-81设有矩形截而的长竖柱，密度为“在一边侧而上受均布剪力q (图3-10),试求应力分量。【解答】采用半逆法求解。由材料力学解答假设应力分屋的函数形式。(1)假定应力分量的函数形式。Pg根据材料力学，弯曲应力主要与截面的弯矩有关，剪应力q主要与0(h? b)图3J0截面的明力右关.而挤斥应力o；主要与横向荷载右关，本题横向荷我为零.则q = 0#推求应力函数的形式将q = o,体力( = 0, fy = Qg,代入公式(2-24)有d2D一(x=29#(a)(b)CT = z-7衣f.y= 6 Axy + 2By+ 6Dx+ 2E 一 pgy(g)对y枳分，得A(x).)x=b=-3Ab2-2Bb-C = q(j)在次要边界y= 0卜.，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：/(0.)尸0血=J：(6Dx+2E)dx=3Db+2Eb = 0(k)(byhoXdxufWDx+QEjxdxu 2Db3 + Eb2 = 0(1)g dx = f (-3Ax? -2Bx-C)dx = -Ab3-Bb2-Cb = O(m)由式(i), (j), (k), (1), (m)联立求得a, d-9, c-d-e-ob b代入公式(g), (h)得应力分最6 = 0，5 =年(1-3打一加，口.=盟討2#0 。bv =-=6Bxy, rw = A 3Bx、荻 Jyx dxdy联立(a) (c)得系数代入应力分量表达式，得两侧面上受到均布剪力q的作用，试应用应力两数 Ib/2b/21 lnO = Axy+ Bx3 y求解应力分量。q|iq1h【解答】按半逆解法求解。1I将应力函数代入相容方程(2-25)显然满足。T/yr/z/z(2 b)【39】图3J1所示的墙.高度为h,宽度为b, h? b,在o由公式(2-24)求应力分屋表达式，体力为零，有图3-11叽0,考察边界条件:在主要边界X=b/2上，梢确满足公式(2-15)(bx)Lb 2 =，g)i2 =-q第一式自然满足，第二式为A Bb* = q(a)4 在主要边界Ab/2上，精确满足式(2-15)(bJi2=，W)z2=-q第一式自然满足，第二式为3 ABb* = q(b)4 在次要边界尸0上，町用圣维南原理，写出三个枳分的应力边界条件：fb (crv) dx=o 满足J-b/2v丿尸0P (crv) xdx=0 满足J-b/2、y=0P (r ) dx= P (-A-3Bx2)dx=-Ab-Bb = 0(c)J-b/2、如y-0J-b/2、)431(3-10设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力可以不计，1? h (图3-12),试用应力函数O= Ay+By2 +Cy3 + Dxy3求解 应力分量。【解答】采用半逆解法求解(1) 将应力函数代入相容方程(225人显然满足图3】2(2)由应力函数求应力分量.代入公式(224)7X = 2E + 6By+6Dxyf：；(2B+6Cy)dy=_FN =B fh/2 z .LJaLoydym=J匸：厲 L。dy =F匸：-(A+3Dy J dy = -FAh+寸 DhF, 联立方程(b) (c)得)w = 0得 A+-D1F=O2112M_h2( 2E + 6Cy) ydy = -M = C = -祜 h 2 r /w_.1-*4(b)绘后一个次要边界(x=l)上.a 3F r 2FA=,D = -T2hh3在平衡微分方程和上述边界条件均己满足的条件卜是必然满足的，故不必在校核。将系数A、B. C、D代入公式(a).得应力分量Fn 12M12FLy图413(3-11设图3J3中的三角形悬臂梁只受更力作用，而梁的#密度为p,试用纯三次式的应力旳数求解。【解答】采用半逆解法求解(1) 检验应力函数是否满足相容方程(225)设应力函数=Ax3 + Bx2y+C2 + Dy3不论上式中的系数如何取值，纯三次式的应 力函数总能满足相容方程(2-25)(2) 由式(2-24)求应力分量由体力分量fx = O,fy = pg,将应力函数代入公式(2-24)得应力分量：(x= 2Cx+6Dy(a)(b)= - = -2Bx-2Cy dxdy33#(3)考察边界条件：由应力边界条件确定待定系数.对于主要边界y=0,其应力边界条件为:(d)(e)(by)、 = 0 (Jy-O = 09将式(d)代入式(b), (c),可得A= 0, B=0对于主要边界丫= xtana (斜面上)，应力边界条件：在斜面上没有面力作用，即E=g. = O,该斜面外法线方向余弦为，l = siiuz, m=cosa.由公式(2-15),得应力边界条件-sina(rx)xtoa=0_ sin Q (入入円远。+ cos/(0；)严 =0j将式(a)、(b)、(c)、(e)代入式(f),可解得C =-cotz,D = -?-cot2 a(g)将式(e)、(g)代入公式(a)、(b)、(c),得应力分量表达式：q = pgxcot a - 2pgy cot2 agx,Bpgy这两种项的结合，其屮A, B是量纲一的量，只与a有关。应力函数 又比应力分量的长度量纲高二次，即为x和y的纯三次式，故町假设应力函数的形式为 =Ax3 + Bx2y+Oty2 + Dy3。【3-12】设图3-5中简支梁只受重力作用.而梁妁密度为Q.试用34中的应力函数(e)求解应力分量，并画出截面上的应力分布图。【分析】与3-4节例题相比，本题多了体力分最 ( = O,fy = Qg。去除了上边界的面力。依据3-4,应 力分量的函数形式是由材料力学解答假设的。【解答】按半逆解法求解。(1)由 3-4可知应力函数的函数形式为AB=(Ay3 + By，+Cy+ D) 4-xCEy3 + Fy2 + Gy)y5y4 + Hy3 + Ky2,由 3-4 町