2.3矩阵的条件数与病态方程组

2021/6/16 1 2.3 矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态三、病态线性方程组的求解 2021/6/16 2 2.3 矩阵的条件数与病态方程组例1 方程组 0001.4 410001.3 13 21xx准确解： TTxx 1,1, 21 若A及b作微小变化，考虑扰动后的方程组： 0002.4 419999.2 13 21xx准确解： TTxx 10,2, 21 方程组解的几何解释为：平面上两条接近于平行的直线的交点，当其中一条直线稍有变化时，新的交点与原交点相差很远。 2021/6/16 3 例2 方程组 3133233210957 91068 5657 78710 4321xxxx准确解为：TTxxxx )1,1,1,1(),( 4321 （1）对右端b作微小扰动： 9.30 1.33 9.22 1.3210957 91068 5657 78710 4321xxxx TTxxxx )1.1,5.4,6.12,2.9(),( 4321 （2）对系数矩阵A作微小扰动： 3133233298.9999.499.6 989.998.58 5604.508.7 2.71.8710 4321xxxx TTxxxx )22,34,137,81(),( 4321 AA xxbb xx 4488倍15111倍 02.0001.001.0 011.002.00 0004.008.0 2.01.000A 0 .3 0 .9 %3 3 0 .1 0 .3 0 3 %3 3 %136001136 %13601 6.13 2021/6/16 4 2.3 矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数 矩阵条件数的定义矩阵条件数的性质 2021/6/16 5 一、矩阵的条件数 )(1 1 1 bbAAAAAA AAxx 改写（2.22）式： 2021/6/16 6 矩阵条件数的定义：矩阵条件数的性质： 2021/6/16 7（6）Cond(AB) Cond(A) Cond(B) 2021/6/16 8 二、线性方程组的性态 2021/6/16 9答案：TxAcond )0,2(,104)()1( 4 Txx )1,1()2( %50%,005.0)3( xxbb 2021/6/16 10 希尔伯特（Hilbert）阵njijihhH jinnji ,2,1,11,)( , 12 121111 11413121 131211 nnnn nnH n 定义： -最著名的病态矩阵对称正定矩阵在MATLAB中，函数hilb（）提供了Hilbert矩阵 )4(4 hilbH 2021/6/16 11108 7644 1053.1)( 1049.1)(,1055.1)( Hcond HcondHcond希尔伯特（Hilbert）阵-最著名的病态矩阵Hilbert矩阵的条件数：18201715 131055 109084.1)(10488.8)( 106025.1)(,10761.4)( HcondHcond HcondHcond 2021/6/16 12 求解病态方程组出现的问题：例：用MATLAB求解线性方程组bxHn Tn eeHb )1,1,1(, 输入： ,;);1,(*);(;5 xbHxnonesHbnhilbHn 得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：,;);1,(*);(;10 xbHxnonesHbnhilbHn 得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,0.9999 1.0002，0.9996，1.0004，0.9998，1.000 2021/6/16 13 输入：,;);1,(*);(;5 xbHxnonesHbnhilbHn 得：ans=1.000,1,000,1.000,1.000,1.000输入：得：ans=1.000, 1,000, 1.000, 1.000, 0.999 1.000，0.999， 1.000， 0.999，1.000,;);1,(*);(;10 xbHxnonesHbnhilbHn 输入：得：ans=1.000, 1,000, 1.001, 0.979 1.202 -0.141, 4.886, - 6.842, 9.446, -2.9071 6.4271, -19.1914,24.787,9.577, -50.545, 65.566, -47.751, 27.814, -9.191, 2.883 ,;);1,(*);(;20 xbHxnonesHbnhilbHn 2021/6/16 14 三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别 2、病态线性方程组的求解（1）采用高精度（2）（预处理）平衡法（3）残差校正法（4）奇异值分解法 2021/6/16 15 三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别例（P49） 2021/6/16 16 三、病态线性方程组的求解1、病态线性方程组的判别 10101.0 1.01.0A 1110)( Acond 1010 101.0 1.010B 1)( Bcond例（P49） 2021/6/16 17 2、病态线性方程组的求解（2）预处理设有预处理矩阵P，对方程组AX=b预处理PAX=Pb使 )()( AcondPAcond 2021/6/16 18 2、病态线性方程组的求解（1）采用高精度（2）预处理)()( AcondPAcond 2021/6/16 19 例4（P49） 102110 102.0101.0 1.01.0 xx 1110)( Acond方程组病态进行行平衡: )10,10(,10,1.0 101021 diagDss得同解方程组: DbDAx 12110 11 2111 xx4)( Acond 2021/6/16 20 (3)残差校正法（迭代求精法，迭代改善法）bAx xAbr rxA xxx x近似解xx Stop?0r xx YN 2021/6/16 21 (3)残差校正法（迭代求精法，迭代改善法） 2021/6/16 22 （4）奇异值分解法TUSVAU、V正交阵，S对角阵在MATLAB中，函数svd（）作矩阵的奇异值分解a)奇异值分解（Singular-Value Decomposition） 如：求H4的奇异值分解。输入 )4(, hilbsvdVSU 2021/6/16 23 如：求H4的奇异值分解。输入)4(, hilbsvdVSU 得到：U=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146S=1.5002 0 0 0 0 0.1691 0 0 0 0 0.0067 0 0 0 0 0.0001 V=-0.7926 0.5821 -0.1792 -0.0292 -0.4519 -0.3705 0.7419 0.3287 -0.3224 -0.5096 -0.1002 -0.7914 -0.2522 -0.5140 -0.6383 0.5146 2021/6/16 24 b)用奇异值分解解线性方程组TUSVAbAx bAx 1 bVSUT ni iiTi vbu1 ),(),( 2121 nn vvvVuuuU nS 21思考:这种方法有问题吗？令请大家自己查阅有关书籍数值分析与实验，薛毅 2021/6/16 25 小 结2.3 矩阵的条件数与病态方程组一、矩阵的条件数 二、线性方程组的性态:病态和良态三、病态线性方程组的求解1)( AAAcond（1）采用高精度（2）（预处理）平衡法（3）残差校正法（4）奇异值分解法 2021/6/16 26 证明 (1)只要证明A+A非奇)()( 1 AAIAAA ?11 AA (2) bbxxAA )()( bbxAxAAxAx bxAxAAx xAAAxAbAx 111 xAAAxAbAx 111 xAAxAAbA 111 AAx bAxxAA 111 )1( 2021/6/16 27 AAxAx bAAxxxAA 111 )1( AAb bAA 11 )(1 1 1 AAbbAA AAxx 证毕 AAx bAxxAA 111 )1( )(1 1 1 AAbbAAAA AAxx 若有不当之处，请指正，谢谢！